现代信号处理技术及应用第5章

1、2022年8月27日机械工程学院机自所动态室1现代信号处理技术及应用Modern Signal Processing Technology and Its Application 何正嘉 訾艳阳 张西宁 西 安 交 通 大 学 西安交通大学研究生创新教育系列教材 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室2第五章 非平稳信号处理方法 经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。本章介绍短时傅里叶变换、小波变

2、换和小波包分析等非平稳信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室3第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室4第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室55.1 短时傅里叶变换傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数 ，通过内积运算去变换信号 ，得到其频谱 。(5.1.1)这一变换建立了一个从时域到频域

3、的谱分析通道。频谱X(f) 显示了用正弦基函数分解出x(t) 中任一正弦频率f 的总强度。傅里叶谱分析提供了平均的频谱系数，只与频率f 有关，而与时间t无关。傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的. 1946年Gabor提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室65.1 短时傅里叶变换 由加窗信号 的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。(5.1.2) 是中心位于 ，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 所观察到的信号 的部分是 。 是 STFT的基函数。 tx(t)h(t)h(t-

4、)x(t)h(t)012022年8月27日机械工程学院机自所动态室75.1 短时傅里叶变换 窗函数 的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 (5.1.3) 高斯窗函数的形状是： 1 ，1/4 ，1/16 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室85.1 短时傅里叶变换给定窗函数 和它的傅里叶变换 ，则带宽 为 (5.1.4)STFT的频率分辨率是 。两个正弦波之间的频率间隔大于 ，则可区分这两个正弦波。STFT的时间分辨率是 ，有(5.1.5)两个脉冲的时间间隔大于 ，则可区分这两个脉冲。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室95.1 短时傅里叶变换时间分辨率 和频率分辨率 不可能同

5、时任意小，根据Heisenberg不确定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，当且仅当采用了高斯窗函数，等式成立。时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室10第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 2022年8月

6、27日机械工程学院机自所动态室115.2 小波变换近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳信号分析展示了美好的前景。“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特性。小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。 1910年A. Haar提出的规范正交系 1984年，J. Morlet在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。 1986年，Y. Meyer构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起小波研究热潮。 1987年，S. G. Mallat将多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。 1988年，I. Daubechies构造了紧支集正交

7、小波基，完善小波理论体系。 1989到1991年，R. R. Coifman、M. V. Wickerhauser等提出小波包及算法。 1997年，W. Sweldens提出第二代小波变换的概念和算法。近一个世纪，特别是近二十年来，小波理论和算法发展突飞猛进。为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一个统一的框架2022年8月27日机械工程学院机自所动态室125.2 小波变换由基本小波或母小波 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数族 称为小波。有(5.2.1) 式中 是尺度因子， ， 是时移因子。 ，波形收缩； ，波形伸展。 保证在不同的 值下，即在小波函数的伸缩过程中能量保持相等。信号 的

8、小波变换为(5.2.2)小波变换是用小波基函数 代替傅里叶变换中的基函数 以及短时傅里叶变换中的基函数 而进行的内积运算。 小波变换的实质就是以基函数 的形式将信号 分解为不同频带的子信号。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室135.2 小波变换对信号 进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移因子变化去观察信号。小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频率分辨率低；在低频处时间分辨率低，频率分辨率高，即具有“变焦”的性质，也就是具有自适应窗的性质。 尺度 时宽减小（频宽增大） 时宽增大（频宽减小）t平 移 bccdda2022年8月27日机械工程学院机自所动态室145.2

9、小波变换式(5.2.2) 通过变量置换可改写为(5.2.3)随着尺度因子 的改变，通过一个恒定的滤波器 观察到被伸展或压缩了的信号波形 。尺度因子解释了信号在变换过程中尺度的变化，用大尺度可观察信号的总体，用小尺度可观察信号的细节。式(5.2.3)解释了为什么在S. G. Mallat的小波信号分解塔形快速算法中，始终使用同样的低通与高通滤波器的道理。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室155.2 小波变换小波函数族还可采用如下定义： (5.2.4)优点是在不同尺度下可以保持各 的频谱中幅频特性大小一致。因为 设 的傅里叶变换是 ，则 的傅里叶变换是与 相比，只有频率坐标比例变化，幅

10、度没有变化。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室165.2 小波变换式(5.2.2)的内积运算可以用卷积运算来表示。这是因为内积： 5.2.4) 卷积： 或记作 两式相比较，只是将 改成 ，即 首尾对调。如果 是关于 的对称函数，则计算结果无区别； 如果是非对称，在计算方法上也无本质区别。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室175.2 小波变换当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带里。如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断问题，往往使传统的信号分析技术无能为力。 小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。这种分离相当于同时

11、使用一个低通滤波器和若干个带通滤波器而不丢失任何原始信息。为机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。特别要强调，这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波基函数的正交性。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室185.2 小波变换5.2.1 多分辨分析及其工程意义在平方可积实数空间 的多分辨分析是指存在一系列的闭子空间 ，（ 代表分辨率为 的多分辨分析子空间） 是 在 中的正交补空间。这些子空间具有以下性质：1) 一致单调性： (5.2.7)性质1)表明分辨率为 的子空间 中的逼近信号包含了分辨率为 的子空间 的信息以及分辨率低于 的所有信息。这也

12、称为因果性质。2) 渐近完全性： (5.2.8)性质2)表明所有子空间组成 函数空间。随着分辨率的提高，逼近信号就更接近原始信号；反之，随着分辨率的降低，逼近信号所包含的信息就越来越少。因此，在以分辨率为 时得到的逼近信号与原始信号相比较，将会丢失部分信息。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室195.2 小波变换5.2.1 多分辨分析及其工程意义3) 伸缩规则性： (5.2.9)性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到，在不同的分辨率时，逼近运算相同。4) 平移不变性： (5.2.10)性质4)表明子空间信号在时间上平移，信号仍在该子空间，分辨率不变。5) 正交

13、补全性： (5.2.11) 符号 表示 “正交和”。 是尺度函数空间， 是小波函数空间，它们相互正交，即 。 ， 尺度函数 与 小波函数 正交,内积 (5.2.13)反复使用式(5.2.11)和关系 ，得到小波逼近空间表达式 (5.2.13)2022年8月27日机械工程学院机自所动态室205.2 小波变换5.2.1 多分辨分析及其工程意义6)Riesz基存在性:存在 ,使 是 的Riesz基。 同样使 构成 的Riesz基 (5.2.12)性质6)指存在正常数 , 有 , 对于任意序列 （ 表示所有双无限平方可求和序列空间）满足 (5.2.15) 上式是 的有界性条件， A和B分别称为Ries

14、z基下界和上界。 根据式(5.2.9) 的伸缩规则性，如果 是空间 的Riesz基，则 是空间 的Riesz基。 Riesz基的特点是它的元素线性独立，没有冗余的元素 。就能保证小波 的冗余度尽可能小，这对信号的特征提取十分有利。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室215.2 小波变换5.2.1 多分辨分析及其工程意义基于多分辨分析逼近空间 和细节空间 的频带范围。设 空间中信号 属于子空间 ， 的频谱 区间为 ,则 小波变换的多分辨分析将信号 分解到互相衔接的频带 和 中。 选定 或 子空间中的分解信号，相当于获得了浓缩的故障诊断信 息，具有理想的工程实用价值。 2022年8月27

15、日机械工程学院机自所动态室225.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取在机械动态分析与监测诊断过程中，希望尽可能减少小波基的冗余性，期望小波函数线性独立，即希望小波函数是一个Riesz基。由于正交性能够保证独立性，正交基是完备的内积空间(Hilbert空间)最理想的基函数，所以我们最感兴趣于寻找小波函数 是正交基。定义 5.2.1 （正交小波）定理 5.2.1 （标准正交基和尺度函数 ）定理 5.2.2 （由正交尺度基函数构造出正交小波基函数 ） 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室235.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取从包容关系 ，有

16、 ，所以 可以利用 子空间的尺度基函数 展开，展开系数为 。由于 ，小波基函数 ，这一包容关系表明 可以用 中的尺度基函数 展开，展开系数为 ，有双尺度关系(5.2.19)2022年8月27日机械工程学院机自所动态室245.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取根据式(5.2.19)表示的双尺度关系， 中的尺度函数 和 中的小波函数 均可由 中的尺度函数 给出。设 ，尺度函数 和小波函数 分别为(5.2.20) (5.2.21)(5.2.20)(d)t10(2t)1/21t10(2t-1)1/21t10(t)1/21-1t10(t)1(a)(b)(c)2022年8月27日机

17、械工程学院机自所动态室255.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取序列 , 称为正交镜像滤波器 (Quadrature Mirror Filters，QMF)，有 , 。 和 是QMF的频域形式。由尺度函数 和小波函数 的正交性及双尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)构造正交小波时滤波器和必须满足以上三个条件，它们分别来自尺度函数的正交性、小波函数的正交性以及尺度函数与小波函数之间的正交性。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室265.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取小波系数 与尺度系数 之间的关系 由式(5.2.28

18、)和(5.2.29)，可得到 (5.2.30) 由上式及(5.2.26)可得到两个滤波器系数之间的关系 (5.2.31)比较最后两个等式两边 的系数，可以得到(5.2.32) 若 是实序列，共轭符号 省略。 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室275.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取构造满足正交三条件的滤波器 和 方法 1、设计满足式(5.2.27)的滤波器 ,再根据式(5.2.30)设计滤波器 。2、由 得到 ，再由式(5.2.32)直接得到 。S. G. Mallat基于2p+1阶多项式样条函数构造出 (5.2.33)由式(5.2.23)，有关系 ，可得到

19、 根据式(5.2.24)和(5.2.30)，得到 。 (5.2.34)2022年8月27日机械工程学院机自所动态室285.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取当 ，则 ， 尺度函数及其傅 里叶变换、小波 函数 及其傅里叶 变换 如图所示。 允许正频率通过的区间是 ，而 允许正频率通过的区间是 ，二者在0到 区间恰好正交互补。独立化提取信息。 系数见表5.2.1。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室295.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取有了低通、带通滤波序列 和 ，就能方便地通过小波变换进行信息独立化提取。 设 是多分辨向量空间 中的线性

20、投影算子，以分辨率 逼近能量有限可测信号 。 与 最相似。 由于 ，得到唯一的表达式 (5.2.36) 称 为逼近信号， 是分辨率为 的细节信号，它包含 和 之间的信息差。重复式(5.2.36)过程，可得(5.2.37)2022年8月27日机械工程学院机自所动态室305.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取设离散采样信号为 ， ，数据长度为 ，其分辨率是 ，将信号表示为 。得到相应的分解表达式(5.2.43) Mallat在文献13里给出 的实系数值，式(5.2.43)可写成 (5.2.44) 和 是隔二抽取结果，数据长度分别是信号 的数据之半。 信号重构表达式为(5.2

21、.45)2022年8月27日机械工程学院机自所动态室315.2 小波变换5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函数 和小波函数 ,直接运用 和 参与运算，运算量正比于 。每次分解所得到的逼近信号和细节信号的数据长度是上一次逼近信号数据长度的一半。当 次分解后，逼近信号和细节信号的数据长度缩减为原始信号数据长度 的 。在重构计算的每一步中，先在数据之间插补零后再参与同低通、带通滤波器系数的运算，结果重构数据长度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶算法在傅里叶变换中的地位。正交小波变换将原始信号分解到各自独立的频带中，正交性保证了

22、这些状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了监测诊断信息。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室32第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室335.3 小波包信号分解与频带能量监测小波变换对信号的分解都是对低频逼近信号 进行再分解，不再对高频细节信号 进行分解。小波变换分解方式，高频频带信号的时间分辨率高而频率分辨率低，低频频带信号的时间分辨率低而频率分辨率高。小波包(wavelet packet)提高高频频带信号的频率分辨率。 信号的小波分解 信号的小波包

23、分解 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室345.3 小波包信号分解与频带能量监测设序列 满足 (5.3.1) 现定义一组递归函数 , n =1, ，它们由尺度函数 和小波函数 产生，有关系 和(5.3.2)式中 ，两系数也具有正交关系。当 时，上式的 和 分别对应于 和 。定义5.3.1 由式(5.3.2)产生的序列 称为由基函数 确定的小波包。2022年8月27日机械工程学院机自所动态室355.3 小波包信号分解与频带能量监测根据多分辨分析关系 ，用 代替 ，得到小波包子空间 中的分解关系(5.3.13) 小波包对小波子空间 进行逐步分解，令 n =1, 2,；j =1, 2,，得到如下的分解表示 (5.3.14) 的分解可用 来表示，分解信号为 ， m=0, 1, 2, 2022年8月27日机械工程学院机自所动态室365.3 小波包信号分解与频带能量监测小波包信号分解是正交分解，能量守衡，有如下关系(5.3.18)这里 表示信号的能量。 数据为 ，能量为(5.3.19)归一化相对能量表示。第 m 频带分解信号相对能量为(5.3.20)根据能量守衡原理，显然有(5.3.21)2022年8月27日机械工程学院机自所动态室37第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工