微分几何练习题库参考答案(已修改)

1、微分几何练习题库及参照答案(已改正).微分几何练习题库及参照答案(已改正).18/18微分几何练习题库及参照答案(已改正).微分几何复习题与参照答案一、填空题1极限lim(3t21)it3jk13i8jkt22设f(t)(sint)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t)0t046，a2,1,1，b1,1,0，则已知r(t)dt=1,2,3，r(t)dt=2,1,2342463,9,5.ar(t)dt+bar(t)dt=224已知r(t)a（a为常向量），则r(t)tac5已知r(t)ta，（a为常向量），则r(t)1t2ac26.最“切近”空间曲线的直线和平面分别是该曲

2、线的_切线_和亲密平面_.7.曲率恒等于零的曲线是_直线_.8.挠率恒等于零的曲线是_平面曲线_.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线rr(t)在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点(u0,v0)处rurv0，则(u0,v0)为曲面的_正常_点.412已知f(t)(2t)j(lnt)k，g(t)(sint)i(cost)j，t0，则0d(fg)dt26cos4dt13曲线r(t)2t,t3,et在随意点的切向量为2,3t2,et14曲线r(t)acosht,asinht,at在t0点的切向量为0,a,a15曲线r(t)acost,asint,b

3、t在t0点的切向量为0,a,bxey1z116设曲线C:xtt,z2，当tee,yet1时的切线方程为12ee17设曲线xetcost,yetsint,zet，当t0时的切线方程为x1yz1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_.19.u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是_Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20.在欧拉公式knk1cos2k2sin2中，是方向(d)与u曲线的夹角.曲面的三个基本形式,、高斯曲率、均匀曲率之间的关系是2HK0.22已知r(u,v)uv,uv,uv，此中ut2,vsint，则dr2tcost,2tcos,2tvtucost已知r(,)

4、acoscos,acossin,dtt，asin，此中2，则23t1dr(,)asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acosdt24设rr(u,v)为曲面的参数表示，假如rurv0，则称参数曲面是正则的；假如r:Gr(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面25假如u曲线族和v曲线族各处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网26平面r(u,v)u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv27悬链面r(u,v)coshucosv,coshusinv,u第一基本量是Ecosh2u，F0,Gcosh2u曲面zaxy上坐标曲线xx0，yy0的交角的余弦值是a2x0

5、y0.28(1a2x02)(1a2y02)29正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一基本形式是du2(u2b2)dv230双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),2uv的第一基本形式是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv231正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的均匀曲率为032方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)0或Ldu22MdudvNdv2033.方向(d)du:dv和()u:v共轭的充要条件是II(dr,r)0或LduuM(duvdvu)Ndvv034.是主曲率的充要条件是ELFM0FMGNEduFdv

6、LduMdv或dv2dudvdu235.(d)du:dv是主方向的充要条件是0EFG0FduGdvMduNdvLMN依据罗德里格斯定理，假如方向(d)(du:dv)是主方向，则dnkndr，此中kn是沿方向(d)的法曲率37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率39k,kg,kn之间的关系是k2kg2kn240假如曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为041正交网时测地线的方程为2d=EvcosGusinds2EG2GEducos=Edsdv=sindsG42曲线是曲面的测地线，曲线(C

7、)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1已知r(t)et,t,et，则r(0)为（A）A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.2已知r(t)r(t)，为常数，则r(t)为（C）A.ta；B.a；C.eta；D.ea.此中a为常向量曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的选项是（D）A切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；D副法线与固定方向垂直4.曲面在每一点处的主方向（A）A最罕有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有.5球面上的大圆不能够能是球面上的（D）A测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线.已知r(x,y)x,

8、y,xy，求dr(1,2)为（D）A.dx,dy,dx2dy；B.dxdy,dxdy,0；C.dx-dy,dx+dy,0；D.dx,dy,2dxdy.7圆柱螺线rcost,sint,t的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.438设平面曲线C:rr(s)，s为自然参数，,是曲线的基本向量表达错误的选项是（C）A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9直线的曲率为（B）A.-1；B.0；C.1；D.2.10对于平面曲线的曲率C:rr(s)不正确的选项是（D）A.k(s)(s)；B.k(s)(s)，为(s)的旋转角；C.k(s)；D.k(s)|r(s)|.11对于曲线

9、，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）3A.充分不用要条件；B.必需不充分条件；C.既不充分也不用要条件；D.充要条件.12以下阐述不正确的选项是（D）A.,均为单位向量；B.；C.；D.13对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）A.充分不用要条件；B.必需不充分条件；C.既不充分也不用要条件；D.充要条件.14xa(tsint),ya(1cost),z4asint在点t的切线与z轴关系为（D）22A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.3422215椭球面x2y2z21的参数表示为（C）abcA.x,y,zcoscos,cossin,sin；B.x,y,zacoscos

10、,bcossin,sin；C.x,y,zacoscos,bcossin,csin；D.x,y,zacoscos,bsincos,csin2.16曲面r(u,v)2uv,u2v2,u3v3在点M(3,5,7)的切平面方程为（B）A.21x3y5z200；B.18x3y4z410；C.7x5y6z180；D.18x5y3z160.17球面r(u,v)Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu的第一基本形式为（D）A.R2(du2sin2udv2)；B.R2(du2cosh2udv2)；C.R2(du2sinh2udv2)；D.R2(du2cos2udv2).18正圆柱面r(u,v)Rcos

11、v,Rsinv,u的第一基本形式为（C）A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2；D.du2R2dv2.19在第一基本形式为I(du,dv)du2sinh2udv2的曲面上，方程为uv(v1vv2)的曲线段的弧长为（B）Acoshv2coshv1；Bsinhv2sinhv1；Ccoshv1coshv2；Dsinhv1sinhv220设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）AE0；BF0；CG0；DM021高斯曲率为零的的曲面称为（A）A极小曲面；B球面；C常高斯曲率曲面；D平面22曲面上直线（假如存在）的测地曲率等于（A）A0；B1；C2；D3423当参数曲

12、线组成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）A1lnE；B21lnE；2EuGvC21lnG；D1lnEEv2Gu24假如测地线同时为渐近线，则它必为（A）A直线；B平面曲线；C抛物线；D圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）1.向量函数rr(t)拥有固定长度，则r(t)r(t).向量函数rr(t)拥有固定方向，则r(t)r(t).3.向量函数r(t)对于t的旋转速度等于其微商的模r(t).曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.6.圆柱面rRcos,Rsin,z,z线是渐近线.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比率.

13、两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比率.等距变换必定是保角变换.保角变换必定是等距变换.空间曲线的地点和形状由曲率与挠率独一确立.在圆滑曲线的正常点处，切线存在但不独一若曲线的全部切线都经过定点，则该曲线必定是直线在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量曲面上的直线必定是测地线17.微分方程A(u,v)duB(u,v)dv0表示曲面上曲线族.18.二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvC(u,v)dv20总表示曲面上两族曲线.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.连

14、结曲面上两点的全部曲线段中，测地线必定是最短的.球面上的圆必定是测地线.球面上经线必定是测地线.测地曲率是曲面的内蕴量.四、计算题1求旋轮线xa(tsint),ya(1cost)的0t2一段的弧长解旋轮线r(t)a(tsint),a(1cost)的切向量为r(t)aacost,asint，则在0t2一522段的弧长为：sr(t)dt2a1costdt8a002求曲线xtsint,ytcost,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量解由题意知r(t)sinttcost,costtsint,ettet，r(t)2costtsint,2sinttcost,2ettet，在原点，有r(0)(0,1

15、,1),r(0)(2,0,2)，又r,(rr)rr(rr)r，rr，rrrrr因此有(0,2,2),(6,6,6),(3,3,3).223663333圆柱螺线为r(t)acost,asint,bt，求基本向量,；求曲率k和挠率.解r(t)asint,acost,b，r(t)acost,asint,0，又由公式r,(rr)r(rrr)r,rrrrrrr1asint,acost,b,cost,sint,0,1bsint,bcost,aa2b2a2b2由一般参数的曲率公式k(t)rr及挠率公式(t)(r,r,r)r3rr2有ka，b2.a2b2a2b4求正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv

16、的切平面和法线方程解rucos,sin,0，rvusinv,ucosv,b，切平面方程为vvxucosvyusinvzbvcosvsinv00，usinvucosvbbsinvxbcosuyuzbuv0,法线方程为xucosvyusinvzbvbsinvbcosvu5求球面r(,)acoscos,acossin,asin上任一点处的切平面与法线方程解rasincos,asinsin,acos，racossin,acoscos,0，e1e2e3rrasincosasinsinacosacossinacoscos06a2coscoscos,cossin,sin球面上随意点的切平面方程为xacosc

17、os,yacossin,zasina2coscoscos,cossin,sin0,即coscosxcossinysinza0，法线方程为(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin),即xacoscosyacossinzasincoscoscossinsin6求圆柱螺线xacost,yasint,zt在点(a,0,0)处的亲密平面.解r(t)asinta,cotsr,(t)acost,asitn,因此曲线在原点的亲密平面的方程为xay0z0asintacost1=0，acostasint0即(sint)x(cost)yazasint0.7求旋

18、转抛物面za(x2y2)的第一基本形式解参数表示为r(x,y)x,y,a(x2y2)，rx1,0,2ax，ry0,1,2ay，Erxrx14a2x2，Frxry4a2xy，Gryry14a2y2，I(dx,dy)(14a2x2)dx28a2xydxdy(14a2y2)dy28求正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一基本形式解rucosv,sinv,0，rvusinv,ucosv,b，Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，I(du,dv)du2(u2b2)dv29计算正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一、第二基本量解rucos,sinv,0，rvusinv

19、,ucosv,b，vruu0,0,0，ruvsinv,cosv,0，rvvucosv,usinv,0，ijkrurvcosvsinv0bsinv,bcosv,u，usinvucosvbnrurvbsinv,bcosv,u，rurvb2u2Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，Lruun0，Mruvnb，Nrvvn0b2u2710计算抛物面zx2y2的高斯曲率和均匀曲率解设抛物面的参数表示为r(x,y)x,y,x2y2，则rx1,0,2x，ry0,1,2y，rxx0,0,2，rxyryx0,0,0，ryy，002ijkrxry102x2x,2y,1，012ynrxry2x,2y,1，|

20、rxry|4x24y21Erxrx14x2，Frxry4xy，Gryry14y2，Lrxxn2，Mrxyn0，Nryyn2，4x24x24y24y211LNM240K4x24y214，EGF2(14x2)(14y2)(4xy)2(4x24y21)2H1GL2FMEN4x24y2232EGF2(4x24y21)211.计算正螺面r(u,v)ucosv,usinv,av的高斯曲率.解直接计算知E1，F0，Gu2a2，L0，Ma，N0，u2a2KLNM2a2EGF2(u2a2)2求曲面zxy2的渐近线.解2z2，qz2xy，r2z0，s2z2z2xzxy，则pyyx22y，ty2xxy因此，L=0，

21、M2y，N2x1y41y44x2y24x2y2渐近线微分方程为4y4x2y2dxdy2xdy20，1y41y44x2y2化简得dy(2ydxxdy)0，dy0或2ydxxdy0渐近线为y=C1，x2y=C2求螺旋面rucosv,usinv,bv上的曲率线.解rucosv,sinv,0,rvusinv,ucosv,b8E21,Furvr2r22b,ur0,Gvunrurvbsinv,bcosv,ubsinv,bcosv,ururvbsinv,bcosv,ub2u2ruu=0,0,0,ruv=sinv,cosv,0,rvvucosv,usinv,0，L0,Mb,N0u2b2曲率线的微分方程为:dv

22、2dudvdu2110u2b2=0或dvdu0b0u2b2u2b2积分得两族曲率线方程:vln(uu2b2)c1和vln(u2b2u)c2.14.求马鞍面ru,v,u2v2在原点处沿随意方向的法曲率.解ru1,0,2,0,1,，urvvEru214u2,Frurv4uv,G14v2(14u2)du28uvdudv(14v2)dv2nrurv2u,2v,1，rurv4u24v21Lnruu2,Mnruv0,Nnrvv24u24v214v214u22（du2dv2)222214u24v24v2)dv2.14u24v2du14u24v2dv，kn=(14u2)du28uvdudv(115.求抛物面z

23、a(x22)在点的主曲率.y(0,0)解曲面方程即rx,y,a(x2y2),rx1,0,2ax,ry0,1,2ay,E(0,0)=1,F(0,0)=0,G(0,0)=1,rxx0,0,2a,rxy0,0,0,ryy0,0,2a，L(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a,代入主曲率公式，2a0kN00，因此两主曲率分别为k1k22a.2akN求曲面ru,v,u2v2在点(1,1)的主方向.解ru=1,0,2urv,=0,1,v,2E14u2,F4uv,G14v29E(1,1)=5,F(1,1)=4,G(1,1)=5;L2,M0,N2,4u2+4v2+14u2+4v2+1L(1,1

24、)N(1,1)2,M(1,1)0,代入主方向方程，得(dudv)(dudv)0,3即在点(1,1)主方向du:dv1:1;u:v1:1.17.求曲面r(u,v)u,v,u2v3上的椭圆点，双曲点和抛物点解由ru,v,u2v3,得ru=1,0,2u,rv=0,1,3v2,ruu=0,0,2,ruv=0,0,0,rvv=0,0,6v,L2,M0,N6v,4u2424+9v+14u+9v+1LNM212v.4u2+9v4+1v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.求曲面r(u,v)v3,u2,uv上的抛物点的轨迹方程解由r(u,v)v3,u2,uv,得r=0,2u,1,rv=3v2,

25、0,1,uruu=0,2,0,ruv=0,0,0,rvv=6v,0,0,6v2,M0,N12uvL,EG-F2EG-F2令LNM272uv3=0.得u=0或v=0EG-F2因此抛物点的轨迹方程为r=v3,0,v或r=0,u2,u.19.求圆柱螺线r(t)acost,asint,bt自然参数表示.解由r(t)acost,asint,bt,得r-asint,acost,b，r(t)a2+b2,弧长s(t)ta2+b2t,ts,a2+b2dt=0a2+b2曲线的自然参数表示为r(s)s,s,bsacosasin.a2+b2a2+b2a2+b2求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解设挠曲线为a=a(s),则

26、主法线曲面为：r=a(s)+v(s),则a=a=,b=-k,ab=k,b2=k2+2,因此腰曲线是()-ab()()+k()r=asb2s=ask2+2s21求位于正螺面xucosv,yusinv,zav上的圆柱螺线xu0cosv,yu0sinv,zav（u0=常数）的测地曲率解因为正螺面的第一基本形式为du2(u2a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线uu0，10由得d由正交网的坐标曲线的测地曲率得kgGuu002GEu02a22ds五、证明题1.设曲线：rr(s),证明：k-;(r,r,r)=k2.证明由伏雷内公式，得=k，=-,两式作点积，得=-k=-k,k=-.r=，r=k,r=k+k

27、=k+k(-k+)=-k2+k+k(r,r,r)=(,k,-k2+k+k)=(,k,k)=k2.2.设曲线：rr(s),证明：(r,r,r)=k3(k-k).证明由伏雷内公式，得r=k，r=k+k=k+k(-k+)=-k2+k+kr=-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)(r,r,r)=(k(-k2+k+k)(-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)=(k3+k2)(-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)=-3k3k+2k3k+k4=k3(k-k)3.曲线rr(s)是一般螺线，证明:r1Rds也是一般螺线（R是曲线的曲率半径）证明r1R，ds两边对于s微商，得1ds1RRRR1

28、R，dsR，因为是一般螺线，因此也是一般螺线.4.证明曲线r(t)asin(t)dt,acos(t)dt,bt(a,b是常数）是一般螺线证明r(t)asint()a,cots(b)r(t)a(t)cos(t),a(t)sin(t),0,r(t)a(t)cos(t),sin(t),0a(t)2sin(t)，cos(t),0rra(t)a2b2,(r,r,r)a2b3(t)，krra(t),r,r,rb(t),3a2b2rr2a2b2rka.b5曲面S上一条曲线(C),P是曲线(C)上的正常点，k,kn,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg211证明测地曲率k

29、gkk(n)k(,n)knksin.(是主法向量与法向量n的夹角)法曲率knknkcos，k2=kn2+kg2.证明曲线retcost,etsint,0的切向量与曲线的地点向量成定角证明对曲线上随意一点，曲线的地点向量为retcost,etsint,0，该点切线的切向量为：ret(costsint),et(sintcost),0，则有：cosrre2t2，故夹角为.rr2etet24由所取点的随意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角7证明：若r和r对全部t线性有关，则曲线是直线证明若r和r对全部t线性有关，则存在不一样样时为0的f(t),g(t)使f(t)r(t)g(t)r(t)0，则t,r(t

30、)r(t)0,又k(t)rr，故t有k(t)0.于是该曲线是直线3r8证明圆柱螺线xacost,yasint,zbt的主法线和z轴垂直订交证明由题意有r(t)asint,acost,b,r(t)acost,asint,0，由(rr)rr(rr)r知cost,sint,0.rr另一方面z轴的方向向量为a0,0,1，而a0，故a，即主法线与z轴垂直9证明曲线xasin2t,yasintcost,zacost的全部法平面皆经过坐标原点证明由题意可得r(t)asin2t,acos2t,asint，则随意点的法平面为asin2t0(xasin2t0)acos2t0(yasint0cost0)asint0

31、(zacost0)0将点（0,0,0）代入上述方程有左侧asin2t0(0asin2t0)acos2t0(0asint0cost0)asint0(0acost0)0右侧，故结论成立10证明曲线x13t+2t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明r13t+2t2,22t5t2,1t2，r3+4t,210t,2t，r4,10,2，r0,0,0(r,r,r)0,0，因此曲线是平面曲线.它所在的平面就是亲密平面12r(0)3,2,0，r(0)4,10,2x1y2z1亲密平面方程为3200，4102化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z270.11.证明假如曲线的全部切

32、线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程rr(s)，定点的向径为R0，则r(s)R0(s)两边求微商，得(s)(s)(s)(s)k(1(s)(s)k0因为,10线性没关，k0k0曲线是直线.证明假如曲线的全部亲密平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为rr(t)，则曲面在任一点的亲密平面方程为(r(t),r(t),r(t)0因任一点的亲密平面过定点，因此(or(t),r(t),r(t)0,即(r(t),r(t)r,t()因此rr(t)平行于固定平面，因此rr(t)是平面曲线.若一条曲线的全部法平面包括非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.证明依据已知条件

33、，得e0，两边求导，得e0，由伏雷内公式得ke0，)k0，则曲线是直线；)e0又有可知e因e是常向量，因此是常向量，于是|0,因此0，因此曲线为平面曲线.设在两条挠曲线,的点之间成立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线相互平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明,ds2ds1由伏雷内公式得1ds2=2从而121ds1证明挠曲线（0）的主法线曲面是不能够展曲面.证明设挠曲线为rr(s)，则挠率0，其主法线曲面的方程是：r(s)t(s)取ar(s),b(s)，则13a(s),b(s)k因此,(a,b,b)(s),(s),k)(s),(s),k)(s),(s),)0因此挠曲线的主法线

34、曲面不是可展曲面.证明挠曲线（0）的副法线曲面是不能够展曲面.证明设挠曲线为rr(s)，则挠率0，其副法线曲面的方程是：r(s)t(s)取ar(s),b(s)，则a(s),b(s)因此,(a,b,b)(s),(s),)0，因此挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明设曲线rr(s),则曲线的主法线曲面为r=r(s)+v(s)rs=n=rsrs+（v-k）=(1-vk)v,rv=(s),rv（1-）-v,沿曲线（v0）n=，=vk2rv（1-v2）（）vk因此主法向量与曲面的法向量夹角,knkcos0,2因此曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18.证明二次锥面

35、raucos,busin,cu沿每一条直母线只有一个切平面.证明raucos,businc,uuacosb,sicn,为u直纹面(0,(),()）0,因此，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也能够用高斯曲率K=0证明.给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线.证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角0，则cos0两边求微商，得0因为曲线是曲率线，因此，从而0，由伏雷内公式得00时，是一平面曲线n0，即n，knkcos=0，又因为是曲率线，因此dnkndr0即n是常向量，因此是平面曲线.20求证正螺面上的坐标曲线（即u曲线族v曲线族）相互

36、垂直证明设正螺面的参数表示是r(u,v)ucosv,usinv,bv，则rucosv,sinv,0，rvusinv,ucosv,b，rurvcosv,sinv,0usinv,ucosv,b0，故正螺面上的坐标曲线相互垂直1421.证明在曲面上的给定点处,沿相互垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式knk1cos2k2sin2k*nk1cos2（）+k2sin2（）22k1sin2+k2cos2因此knk*nk1k2常数.假如曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.证明因为曲线是非直线的测地线，因此沿此曲线有n,从而n(),又因为曲线是平面曲线，因此0,进一步n.由罗德里格斯定理可

37、知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面zf(x)f(y)上曲线族x=常数，y=常数组成共轭网.证明曲面的向量表示为r(x,y)x,y,f(x)f(y),x=常数,y=常数是两族坐标曲线.rx1,0,f,ry0,1,g.rxx0,0,f,rxy0,0,0,ryy0,0,g,因为Mrxyrxry0,因此坐标曲线组成共轭网，EGF2即曲线族x=常数,y=常数组成共轭网.24证明马鞍面zxy上全部点都是双曲点证明参数表示为r(x,y)x,y,xy，则rx1,0,y，ry0,1,x，rxx0,0,0，rxy0,0,1，ryy0,0,0，rxryy,x,1，nrxryy,x,1，|rxry|x2y21Lrxxn0，Mrxyn1，Nryyn0，x2y21LNM200 x211x210，y2y21故马鞍面zxy上全部点都是双曲点25假如曲面上某点的第一与第二基本形式成比率，即II(du,dv)与方向没关，则称该点是曲I(du,dv)面的脐点；假如曲面上全部点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的证明设球面的参数表示为r(u,v)Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv，则ruRcosvsinu,Rcosvcosu,0，rvRsinvcosu,Rsinvsinu,Rcosv，ruuRcosvcosu,Rcosvsinu,0，ruvrvuRsinvsinu,Rs