量子力学-束缚态和散射态概念比较

1、 束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态散射态束缚态：在势阱中EV0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论2、5势阱中的束缚态对5势阱，有V(x)=y6(x)，(y0)见右图。在x主0处，V(x)=0。E0为游离态(自由态)，E可取任何连

2、续值。E0时则可能存在束缚态，此时E取分立值。以下讨论E0,(E0屮(x)=1门cePxxL中找到粒子的几率为2jI屮(x)|2dx=e-2=0.1353L(b)奇宇称态波函数可表为IAe-Px屮(x)=1,IAepx由x=0点波函数连续性条件可得A=0，所以不可能存在奇宇称束缚定态。从物理上考虑，奇宇称态在波函数x=0点必为0。而6势阱又恰在点x=0起作用。所以6势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。2、6势与方势的关系，屮跃变的条件6势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。从6势求解更为方便。屮不连续，但粒

3、子流密度j连续。x以下仅讨论屮的跃变条件。考虑粒子对方势垒的散射。VIx1在其内部，Schrodinger方程为竺屮一2m(V0-E)0dx2力2考虑粒子能量EV情况，在势垒内部(IxIe)，波函数可表为0屮(x)=AeKx+Be-心其中k=J2m(V-E)/h。0显然屮(0)=A+B，而且屮=k(AekxBe-kx)。现在让Vfg，T0，而对6势垒，fV(x)dx=fy8(x)dx=y(?)0若保持28V二丫(常数)，则方势垒将趋于一个6势垒“(x)。0禾U用屮(8)=k(AeK8Be-ke)，屮(8)=k(Ae-keBe)得,屮(8)屮(-8)二KA(eK8-e-ks)-kB(e-k8-e

4、k8)当st0+，Vtg(保持2sV=丫)时，00K8T82mV/hT00但K28T2mV8/h2Tm/h20且当8T0时，ei0，而在势阱束缚态的E0的透射振幅，S=fi+imi1l力2k)如把E0的透射振幅解析延拓到E0)此时透射振幅由S=fl+叫1tS=fim11l力2k丿l力2k丿其中k=2mE/方，(E0)。(注意已将势垒透射振幅表达式中的yt-y)如解析延拓到eo能阈(k为虚)，由s=fiimrV1，则s有单l力2k)极点(一阶极点k=imr)。力2此时，e=竺=-mu2m2h2由前可知，此恰为6势阱的唯一束缚能级。对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。作业：p82133.

5、5一维谐振子经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等量子物理的谐振子模型：黑体辐射场量子化等，把场中的粒子看作谐振子一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。一、势函数点，则一维线性谐振子的势能为：选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能V(x)=kx2=m2x222k是谐振子的劲度系数m是粒子的质量巴是谐振子的角频率m二、薛定谔方程及解d却2m沽+_E-V(讪=0或嚳+嚳e-im2x咖=0理想的谐振子是一个无限深势阱。因为IXIts时，V(x)s屮(x)t0为束缚态。为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，g=ox，a=m/方

6、，九二2E/力上述方程可化为d2丁三屮忆)+(九弋2)屮(g)二0d2g这是个变系数常微分方程。(1)先讨论gts行为，求渐进解(此时九可略去)对方程腊“(g)-g2屮(g)二0d2g其解显然可以写为屮(g)e2g2，因为屮(g)=g屮(g)，屮(g)=g2屮(g)土屮(g)乂2屮(g)根据束缚态边界条件，有屮(g)e-2g2，(2)求实际解dudg利用屮(g)=e-g2/2u(g)，有,-ge-g2/2u(g)+e-g2/2-gu(g)+dge-g2/2d2屮dg2-u(g)-2gdg+g2U(g)+d2udg2e-g2/2代入方程(4)得所满足的方程，豊-2gd|+(九-1)u(g)=0这

7、就是所谓的Hermite方程。0为方程的常点。可在0邻域用幕级数展开。计算表明，一般情况下解为无穷级数。当IgIts时，屮G)eg2,不能满足有界条件。为得到有界解，幕级数要求中断为一多项式。可以证明，当九二2n+1时可以得出一多项式解u)=H)nn11E=E=(n+)力=(n+)hv此时n2d2，n=0,1,2,u(g)=H(g)=(一1)nege弋2nndgn第二项称为n界厄米多项式，宇称为(-l)n(?)满足下列递推关系，气二2nH(g)dg-1H(g)-2gH(g)+2nH(g)二0n+1nn-1H(g)是g的n次多项式。nfH(g)=10H(g)=2gx21/2丄axe-2a2x2奇

8、宇称）屮2E2=53(2a2x2-1)e-2a2x2(偶%肖002叭222K=0第二激发态，宇称）线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子n=11时的概率密度分布虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小；在两端速度为零，出现的概率最大。讨论：微观一维谐振子能量量子化E=（n+丄）力，n=0,1,2,n2能量特点：量子化，等间距AE=hv（2）有零点能E=1加o2符合不确定关系概率分布特点:EV区有隧道效应基态的性质零点能E=-加o2这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果基态位置概率分布p=1屮（x）|2=e-o2x2是个Gauss分布0J兀量

9、子：在x=0处概率最大W(x)=|(x)|2=e-a2x200n在其它范围也能找到粒子经典：在x二0处的粒子速率最大，概率最小。基态谐振子只允许在|xla-i(|g|a-i为经典禁区。但按照量子力学观点，V(x)=2尬2=2k/a2=2m2/(晋)=2恥xa-1为振动转折点,在IaxI=1处，势能典禁区。见右图。为总能量。定几率出现在这个区域。容易算出此几率为fe-g2dg/fe-g2dg0.1610如图所示。当nfg时，量子概率分布过渡到经典概率分布符合玻尔对应原理w-11时的概率密度分布跃迁有选择定则：An二1跃迁只能逐级进行各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线I0Ixla/2处于基态n二

10、1，求粒子的动量分布。解：分析一一由V(x)对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当n二1时的波函数屮(x)。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作Fourier变换即可。可以求得屮1(x)=-2而p(p)=1打(x)e-：pxdx2兀力1g或f(k)=JV(x)e-kxdx，(p=力k)J2兀1g则动量在ptp+dp间的几率为Ip(p)I2dp=If(k)I2dk。其中f(k)=-r-1J2(2兀)1/2a2gX九ix丄ixa十eaeikxdx21g=(2-)-1/21-Jeix(ak)+eix(ak)a2gLdxa/2注意：=丄(。-)1/22-ix(k)-IX(十k)eaeai(-k)i(+k)aaa/2这里不能用5函