2019届高考理科数学一轮复习学案第60讲离散型随机变量其分布列(含解析)

1、2019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第60讲失散型随机变量及其分布列(含解析)2019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第60讲失散型随机变量及其分布列(含解析)13/132019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第60讲失散型随机变量及其分布列(含解析)第60讲失散型随机变量及其分布列考试说明1.理解取有限个值的失散型随机变量及其分布列的看法,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的失散型随机变量的分布列.2认识超几何分布,并能进行简单的应用.考情解析考点观察方向考例观察热度失散型随2016全国卷19,失散型随机变量的分布机变量的全国卷18,2016分布列列2013全

2、国卷19真题再现2017-2013课标全国真题再现1.2016全国卷改编某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被裁汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用时期,若是备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此采集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替三年内共需更换的易损零件数,n表示购买1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器的同时购买的易损零件数.求X的分布列.2台机器解:由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年

3、内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.因此X的分布列为X16171819202122P0.00.10.20.2020.00.04644.842.2016全国卷某险种的基本保费为a(单位:元),连续购买该险种的投保人称为

4、续保人,续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下:上年度出012345险次数保费081.21.517.a.25aaa5a5a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率以下:一年内出012345险次数概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人今年度的保费高于基本保费的概率;若一续保人今年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;求续保人今年度的平均保费与基本保费的比值.解:(1)设A表示事件“一续保人今年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(2)设B表示事件“

5、一续保人今年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=,因此所求概率为.(3)记续保人今年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人今年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.3.2013全国卷经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售

6、出的产品,每1t损失300元依照历史资料,获取销售季度内市场需求量的频率分布直方图,以下列图,经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.将T表示为X的函数;(2)依照直方图估计利润T很多于57000元的概率;在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(比方:若需求量X100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学希望.解:(1)当X100,13

7、0)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000.当X130,150时,T=500130=65000.因此T=(2)由(1)知利润T很多于57000元,当且仅当120X150.由直方图知需求量因此下一个销售季度内的利润T很多于57000元的概率的估计值为0.7.X120,150的频率为0.7,依题意可得T的分布列为45000530006100065000P0.10.20.30.4因此E(T)=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400.2017-2016其他省份近似高考真题1.2017山东卷在心理学研究中,常采用比较试验的方法议论不相同心

8、理表示对人的影响,详尽方法以下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理表示,另一组接受乙种心理表示,经过比较这两组志愿者接受心理表示后的结果来议论两种心理表示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者1,2,3,4,从中随机抽取5人接受甲种心理表示,另5人接受乙种心理表示.BBBB求接受甲种心理表示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理表示的女志愿者人数,求X的分布列与数学希望E(X).解:(1)记接受甲种心理表示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=.由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P

9、(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列为X01234PX的数学希望E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2.2.2016山东卷改编甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动轮活动中,若是两人都猜对,则“星队”得3分;若是只有一人猜对,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一,则“星队”得1分;若是两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求“星队”两轮得分之和X的分布列和数学希望E(X

10、).解:由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=,P(X=1)=2+=,PX=+=,(2)P(X=3)=+=,P(X=4)=2+=,P(X=6)=.故随机变量X的分布列为X012346P因此数学希望E(X)=0+1+2+3+4+6=.32016天津卷改编某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分.别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加会商会.设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学希望.解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2.(0)=,PX=P(X=1

11、)=,P(X=2)=.因此随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学希望E(X)=0+1+2=1.【课前双基牢固】知识聚焦1.随机变量失散型随机变量2.(1)概率分布列分布列P(X=x)=p,i=1,2,n(2)p0(i=1,2,n)p=1iiii3(1)1-p(1)(2)min,.PX=Mn对点演练1.1x2解析由题中给出的分布列,可读出相应的概率值,因为(=-2)(=-1)(0)(1)08,因此12P+P+P=+P=.x.2.解析因为所有事件发生的概率之和为1,即P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,因此c+=1,所以c=.3.X123P解析由题意得X的可能取值为

12、1,2,3,(1),(2),(3),的分布列为PX=PX=PX=XX123P4.解析设所抽取的3道题中,该同学解答正确的题数为X,他能及格的概率是P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.5.解析依照失散型随机变量的分布列的两条性质可知解得c=.6.X123450.90.00.0090.00090.00019解析X的所有可能取值为1,2,3,4,5.P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.10.9=0.09,P(X=3)=(0.1)20.9=0.009,P(X=4)=(0.1)30.9=0.0009,而当X=5时,只要前4次射击不中,就要射第5发子弹,第5发子弹可能射中也可能射不中54P(

13、X=5)=(0.1)+(0.1)0.9=0.0001,因此耗用子弹数X的分布列为,因此X12345P0.90.090.0090.00090.00017.解析由题意可知,若得分不大于7分,则所取4个球都是红球或3个红球1个黑球.若4个球都是红球,则P=,此时得分为4分;若4个球中有3个红球1个黑球,则P=,此时得分为6分故(.P7)=.【课堂考点研究】例1思路点拨第一依照分布列的性质可求得P(X=0)的值,尔后再依照分布列求P(-1X4)的值.C解析因为随机变量X所有可能取值的会集是,且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,由分布列的性质可知P(X=0)=.于是P(-1X4)=P(X

14、=0)+P(X=3)=+=.变式题6解析由题设知P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,则P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,故n=6.例2思路点拨(1)依照等可能性知,每人每次赢、平、输的概率都为.再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳两人平局;另一种是小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输.逆推确定事件数及对应划拳的次数,最后利用互斥事件的概率加法公式求概率.(2)先确定随机变量的取值,再分别求对应概率,列表可得分布列.解:(1)易知对于每次划拳比赛,基本事件共有33=9(个),其中小华赢(或输)包含三

15、个基本事件,他们平局也包含三个基本事件.不如设事件“第i(iN*)次划拳小华赢”为i,事件“第i次划拳两人平局”为i,AB事件“第i次划拳小华输”为Ci,因此P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=.因为游戏结束时小华在第2个台阶,因此这包含两种可能的情况:第一种,小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳两人平局,其概率为P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=;第二种,小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)P(B2)P(C3)P(C4)+P(A1)P(C2)P(A3

16、)P(C4)P(C5)=.因此游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P=P1+P2=+=.依题意可知,X的可能取值为2,3,4,5,P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=2=,P(X=2)=2P(A1)P(A2)=2=,P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=,P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=,因此X的分布列为X2345P变式题解:(1)记事件

17、A为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加获取的新函数是奇函数”,由题意知P(A)=.(2)由题知可取1,2,3,4,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,故的分布列为1234P例3思路点拨(1)由对峙事件的概率公式可得取出的3个球中最少有1个红色球的概率是;(2)利用概率的加法公式可得取出的3个球得分之和恰为1分的概率是;可能的取值为0,1,2,3,由超几何分布求得分布列.解:(1)易知所求概率P=1-=.(2)记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C,则P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.可能的取值为0,1,2,3.P(=0)=,P

18、(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.故的分布列为0123P变式题解:(1)由题意可知,样本容量n=50,y=0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由(1)可知,租用时间在80,90)内的人数为租用时间在80,90)内的人数X的可能取值为5,租用时间在2,3,4,则90,100内的人数为2,共7人.抽取的4人中(2)=,(3)=,PX=PX=P(X=4)=.故X的分布列为X234P【备选原由】例1重视观察分布列的概率计算;例2观察失散型随机变量的分布列;例3观察超几何分布的相关知识以及分布列.1配合例1使用已知随机变量的分布列为P(=K)=,K=1,2,则P(24)=()A.B.C.D.解析A由题给出了P(=K)=的概率公式,得