20222022年我国人口增长的数学模型研究与实证分析

1、2001-2022年我国人口增长的数学模型研究与实证分析摘要：本文首先建立了我国人口增长的数学模型，给出了模型中参数确实定方法，并用20012022年的人口数据得到了我国人口增长的数学模型。最后用该模型预测了20222022年我国的人口总数。关键词：人口问题人口增长数学模型实证分析一、引言当今人类面临的五大问题：1人口问题；2工业化的资金问题；3粮食问题；4不可再生的资源问题；5环境污染问题即生态平衡问题，人口问题名列榜首。一些开展中国家的出生率较高，众多的人口使国家背上沉重的包袱，人均粮食缺乏，人均资源缺乏，工业化资金有限、生态平衡被严重破坏，等等，都与人口太多有关。而欧洲一些兴隆国家如法国

2、、德国等，人口增长率为零甚至为负，造成人口老龄化，劳动力短缺，也是不容无视的问题。建立人口增长的数学模型，用以描绘人口增长过程，通过分析，对人口增长进展预测，为国家制定相应的人口政策提供根据，以控制人口增长，于国于民均有利。二、人口增长的数学模型影响人口增长的因素很多：人口基数，出生率和死亡率的上下，人口男女比例的大小，人口年龄组成情况，工农业消费程度的上下，营养条件、医疗程度、人口素质、环境污染情况。另外，各个民族的风俗习惯、传统观念、自然灾害、战征、人口迁移，等等，对人口增减也有很大影响。我们先把问题简化，仅考虑影响人口增长的主要因素出生率与死亡率，或者说增长率出生率减去死亡率及人口基数，

3、其余因素的影响不予考虑，建立一个简单的数学模型，假设需要，再在这个模型的根底上逐步考虑次要因素，进而建立精度更高的模型。人口的增长过程我们用微分过程来描绘，虽然人口总数是按照整数变化的，且不是时间的可微函数，但是，假设总数很大时，就可以近似地认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。这种处理方法，数学上称为离散变量的连续化处理。设某区域在时刻t以年为单位的人口数为pt，这个区域的出生率为b，死亡率为d，经过时间t，在这段时间内出生人数为bpt，死亡人数为dpt，总人口的改变量为p=b-dpt，当t0时，有=b-dp，其中b-d不能假设为常数，否那么我们将得出人口数将无限增加当bd时，或者人口数将

4、无限减少，这显然是不符合实际情况的。根据历史资料作数理统计，我们可以假设出生率和死亡率均是人口数pt的线性函数，且b=-npt，d=r+spt，式中，n，r，s都是正的常量，此假设说明，当人口总数增加时，出生率将随人口总数的增加而减少，死亡率却随人口总数的增加而增加，即b是pt的减函数，d是pt的增函数。这个假设显然是符合客观实际的。因此上面的微分方程可以写成：=b-dp=-rp-n+sp假设记=-r，=n+s，那么有：=p-p1其初始条件为pt=p，其中，称为生命系数，一般来说，常数与相比是很小的，假设pt不太大，-p项可称为竞争项与p相比可以忽略，人口总数将按指数方式增长，当pt很大时，-

5、p项不能忽略，由于这一项的作用，人口总数剧增的速度将减缓下来。因此-p项也可称为控制项。方程1是Bernulli方程，也是一阶可别离变量的微分方程，用别离变量法求解，在应用初始条件后1的通解为：pt=2或pt=3这就是人口增长的计算公式。称为Lgisti方程，方程1在数学上称为阻滞方程。讨论2，可以得出人口总数具有如下规律：1.当t时，pt，即不管初值如何，人口总数最终将趋向于极限值。2.当0p时，所以pt是时间t的单调增函数，又因为=-2p=-2pp-p，显然，当p时，0，曲线向下凹，当p时，0，曲线向上凸，函数pt的图形称为S形曲线。3.在人口总数到达极限值一半即以前，是加速增长时期，过这

6、一点以后，增长的速度逐渐减小，进入减速增长时期，最后增长速度为0，趋近于极限值。三、模型中和确实定为了获得我国人口增长的数学模型，需要确定1式中的和。和一般采用最小二乘法来确定，方法如下:令p=p-p，作L=p-p+p，对取和偏导数，并令偏导数等于零，那么得=2p-p+p-p=0=2p-p+pp=0由此得方程组p-p=ppp-p=pp解此方程组，可确定和的值。另一种方法是文献1中的方法。主要利用e=4确定和的值。由4式有e=及e=相除得e=，再假定t-t=t-t可得=解此方程可得=5另一方面，从e=取对数可得=ln四、人口增长的数学模型与实证分析下面我们用文献中的方法确定和的值。以2001年的

7、人口总数为p，p=127627，2022年的人口总数为p，p=130756，2022年的人口总数为p，p=133474，代入5经计算可得=148670，=ln=0.0462，及=3.10810因此，我国人口增长的数学模型为：pt=6以上计算说明，我国人口增长的最大值极限值为14.867亿，且用模型6对2001-2022的人口总数重新进展了计算与预测，计算说明，相对误差很小，模型具有较高的精度。可用于预测2022-2022年人口总数。预测结果见表1后5行。表12001-2022年的人口总数万人五、结语通过利用上述人口增长的数学模型，我们得到了一些有价值的结论，我国人口的最大值为15亿。到十二五末人口总数为13.7亿。但是从长远看，随着我国人口老龄化的到来，我国的人口政策一定会作出调整，人口总数还