高中必修1数学建模建立函数模型解决实际问题几类不同增长的函数模型教学设计

1、几类不同增长的函数模型（第一课时）教学设计成都市铁路中学校 王琳一、教材分析1、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书数学(人教版)（必修一）几类不同增长的函数模型的第一课时，是在学生系统地学习了基本初等函数及性质,掌握了指数函数与对数函数的图象和性质的基础上展开研究的.该课将经历“运用”和“选择”函数模型这两个过程，去完成对实际问题的求解，从而认识到即使同为递增函数的模型，却存在增长的差异，并从中感受数学建模的思想.2、在教材中的地位与作用教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况的比较，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了不同模型的增长差异性.学生通过实例体

2、会直线上升、指数爆炸、对数平缓增长的含义；感受运用函数概念建立模型的过程和方法；逐步培养分析问题、解决问题的能力，初步了解数学在解决实际问题中的应用.必修一的前两章，教材安排了函数的性质及基本初等函数，在本节之后是函数模型的应用及自主建模解决实际问题.因此，从内容上看，本节课是对前面所学的几种基本初等函数及其性质的巩固和应用，从思想方法上看，是对研究函数的方法上的进一步深化，同时，也为后续函数模型的应用举例奠定基础.故本节内容既是第二章基本初等函数的延续，又是函数模型应用的基础，起着承前启后的作用.二、目标分析1、学情分析本节课的授课对象为省重点中学高一实验班的学生，学生的理科思维较为严谨，具

3、备一定的钻研和探索能力，但是对数学专业术语的表达上还有所欠缺.知识层面上，学生对指数函数，对数函数，一次函数的增长速度有一定认识，但让学生比较并总结几种函数模型的增长差异是存在一定困难的，如何选择恰当的函数模型分析和解决问题也是个难点.2、教学目标（1）结合实例问题的解决，运用函数表格及图象，比较直线型、指数型、对数型模型的增长，认识他们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的意义.（2）通过恰当的运用函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法），建立实际问题中的函数模型，再借助信息技术解决模型中的数学问题，从而认识研究函数模型的一般方法：观察归纳猜想证明.（3）在教师引导下，学生自主讨论

4、探究解决实际函数模型问题，渗透数学抽象、数学建模、数学运算、数据处理等学科核心素养.（4）通过增长型的快慢变化，渗透德育目标，让学生体会努力和持之以恒的宝贵精神.3、教学重、难点教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题.三、教法与学法分析1、教法设计本节课采用教师引导和学生自主学习相结合的教学模式，数据处理上借助信息技术辅助教学，并配合几何画板动态演示，使学生的学习体验更加高效、直观，主要突出了以下几个方面：（1）

5、紧扣教材并结合生物学科，创设情景引入课题.充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理；（2）强化在实例中感受不同增长模型在增长速度上的差异.让学生经历从特殊到一般的抽象概括.（3）突出图象的作用.让学生体会函数图象是理解和研究函数的直观工具.（4）注意数学与生活及其他学科的联系，从而体会到数学有着广泛的应用价值.（5）合理使用信息技术，有助于帮助学生分析和解决问题，并且解决了课堂上数据运算及描点作图过于耗时的问题.2、学法指导本节课以教师指导学生采用自主、合作、探究的学习方法：（1）帮助学生再现对基本初等函数的已有认知结构，为理解三种模型自身的递增性扫清障碍.（2）在对比研究不同类型函数模型的

6、增长差异时，体会数形结合、特殊与一般、传递法比大小的数学方法和思想；（3）在互相交流和自主探究中获得发展，让学生变被动的接受为主动地合作学习，从而完成知识的内化过程；3、媒体分析黑板：板书探究一、探究二的主要过程及结论总结.Excel:在探究一中对函数列表法和图象法进行表示，拟合函数图象，帮助学生高效的处理数据.几何画板：动态演示增长率的变化，帮助学生更加直观的感受三种模型增长的差异性，为课堂教学，尤其是作图和数据处理提供极大的便利.四、教学流程设计练习、总结、作业回扣J型、S型曲线+创新设计教师录制微课三种模型增长总结点拨、评价、板书总结：直线型vs对数型教师点拨运用检测反思总结情景引入开始

7、提出目标复习递增函数明确本节课核心任务结束探究二 选择模型小组合作视频：澳洲野兔繁殖J型、S型曲线总结：直线型vs指数型点拨、评价、板书 几何画板演示提出学习目标解决问题解决问题Excel+几何画板演示教师点拨探究一建立模型小组合作反思归纳教师录制微课三种模型增长对比总结教师点拨点拨、评价、板书总结：直线型vs对数型五、教学过程教学环节问题情境及教学内容教师活动学生活动设计意图环节一创设情境 引入课 题展示第三章章头图播放视频“澳洲野兔繁殖泛滥”从J型、S型曲线回顾单调递增的含义.列举曾经学过的递增函数有哪些？教师引导学生用数学的眼光观察世界，从数学的情境和模型出发，认识递增的函数模型间有着不

8、同的增长速度.学生观看视频，体会实际问题中蕴藏的数学问题，抽象到单调递增的概念.通过回忆曾经学过的具备单调递增性的函数类型，从而教师指明本节课要研究的重点直线型、指数型、对数型的增长情况及差异分析.回归教材，由教材的引言部分引出课题.也让学生体会数学学科与生物学科的融合，感受数学的广泛应用.环节二探究一对比直线型与指数型增长模型假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案如下：方案A：每天回报40元；方案B：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案C：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？教师引导学生关注关键词“回报”.建立三个数

9、学模型.教师利用EXCEL完成三种数学模型的列表，即数据处理.再利用几何画板动态演示分析，直线型与指数型函数模型在增长速度上的差异.学生讨论后发言. 观察EXCEL中的数据，用自己的语言分析数据，从而做出方案的选择.1、让学生经历利用函数拟合解决实际问题的过程，了解解决实际问题的基本步骤，提高提取数据，分析数据的能力.2、在对不同方案进行比较、评价的过程中，意识到实际问题的数学本质在于不同函数模型有着不同的增长情况.环节三探究二对比直线型与对数型增长模型公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销

10、售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25?策划部给出了三个奖励模型:，其中哪个模型符合要求？（附参考数据）教师巡视各个小组的进度情况，适时适当的给予指导.引导学生关注直线型函数模型与对数型函数模型在增长上的差异.小组合作探讨模型的选择.正面选择若有难度，可以用“排除”的思路，排除掉直线型和指数型模型.在教师的帮助下解决恒成立问题的求解.最后讲对数型函数模型的增长情况填入总结表格，使得本节课的知识点系统性的呈现出来.通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解.同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养.环节四学

11、以致用 拓展思维1、从增长速度不同这个角度再次解释情境中的J型曲线和S型曲线.创新设计：这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加,请设计出具体要求.参考方案：10万 50万，奖金不超过2万50万 200万,奖金不超过4万200万 1000万, 奖金不超过20万请设计适当的函数模型，用列表或图象的方式表达你的设计方案.教师提供参考方案（方案不唯一），具体模型的选择及处理

12、办法，学生课后小组实践完成.学生课后继续思考，在实例中运用增速差异的理论.体会到函数应用的现实意义，尝试从背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性方面对应用问题进行反思环节五归纳总结 深化目标1、知识方面：体会和认识直线上升、指数爆炸、对数增长的差异2、方法方面：观察、对比、分析、建模3、数学思想：数形结合，一般与特殊的数学思想. 从知识、思想、方法上进行总结，展示文末“彩蛋”.，强化数学学科的育人功能.学生齐答让学生再一次体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他知识的研究中去.环节六布置作业 延伸课堂作业：尝试写出满足公司要求的幂函数增长模型，试探究其与指数型、对数型增长情况的差异.教师布置

13、作业引导学生课后继续探究，得出幂函数的结论，形成结论性报告.六、板书设计几类不同增长的函数模型探究一 类型 增长情况 影响因素 解答过程 常数型 直线型 指数型探究二 对数型解答过程七、教后反思本节课的引入部分紧扣教材，用了章头图中的兔子问题作为素材,能让学生体会到数学源于生活，并且在多学科中都有着广泛的应用.本节课的教学内容是通过解决两个实际问题，让学生体会三类不同类型的函数增长的差异，教师就地取材，将书本中的例1和例2的素材“生活化”，让学生从“投资人”的角度出发解决问题，课后抛出“创新设计”检测学生的应用能力.这样的设计，不但激发学生学习和解决问题的兴趣，也为本节课的整体构架起到串联的作用.问题解决围绕着“文字语言符号语言对比分析结论”进行教学.过程中注重学生的动脑思考和数学思维活动.在探究一中，引导学生从不同角度看待回报，即“日回报”与“累计回报”的辨别；建立三种模型后，引导学生从解析式到列表法、图