高二物理竞赛课件：量子力学之Schrodinger 方程VIP

1、1Schrodinger 方程（一）引言 （二）引进方程的基本考虑 2这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1) 在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2) 波函数如何随时间演化。（一）引言31.薛定谔简介(ESchrdinger, 18871961) 奥地利理论物理学家，波动力学的创始人。 薛定谔1887年生于维也纳。1910年获得博士学

2、位。第一次世界大战期间，他服役于一个炮兵要塞，利用闲暇研究理论物理学。战后回到第二物理研究所。1920年担任M维恩的物理实验室助手。1921年，薛定谔受聘到瑞士苏黎士大学任数学物理学教授，在那里工作了6年。1927年接替普朗克任柏林大学理论物理学教授。同年当选为普鲁士科学院院士。1933年受德国纳粹党徒的迫害，离开苏黎士到英国任牛津大学物理学教授。同年和狄拉克一起荣获诺贝尔物理学奖。波动力学的建立41936年回到奥地利，1938年奥地利沦陷，薛定谔再度受到纳粹的迫害，于9月1日仅“带了一只小小皮箱”逃往爱尔兰的都柏林，在都柏林高级研究所，成为理论物理学的领导。在那里，他逗留了17年。在此期间，

3、他继续从事科学研究，并发表了许多论文。1956年，他回到奥地利，成为维也纳大学物理系的名誉教授。奥地利政府给了他极大的荣誉，设立了以他的名字命名的国家奖金，并把第一次奖金授予他本人。 1957年薛定谔接受了德国高级荣誉勋章。他还被许多大学和科学团体授予荣誉学位，其中包括英国伦敦皇家学会、柏林普鲁士科学院、奥地利科学院等。1961年1月4日，在奥地利病逝。5（二）引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况6（

4、2）量子情况3第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1因为，t = t0 时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间 的一阶导数。2另一方面，要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。7（三）自由粒子满足的方程

5、这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对 t 微商，得：(1)(2)式8满足上述构造方程的三个条件讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式 E = p2/2 写成如下方程形式：做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3）。(1)(2)式9设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 i (i=1,2,., N) 体系波函数记为 (r1,r2,., rN;t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1,r2,.,rN) 则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：10多粒子体系 Hamilton 量对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。例如：1112（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论求解 S 方程 分四步： （1）列出各势域的一维