江苏专2019届高三数学备考冲刺140分问题08由复杂递推关系式求解数列通项公式问题含解析

1、江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题08由复杂递推关系式求解数列通项公式问题含分析江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题08由复杂递推关系式求解数列通项公式问题含分析21/21江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题08由复杂递推关系式求解数列通项公式问题含分析问题由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出此刻客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,平常将所给递推关系式进行合适的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,结构或转化为等差数列或等比数列,而后求通项.二、经验分享()已知，求的步骤当时

2、，；当时，；()对时的状况进行检验，若合适的通项则能够归并；若不合适则写成分段函数形式()已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：假如符号正负相间，则符号可用()或()来调理.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其余方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、概括、转变(转化为等差、等比或其余特别数列)等方法来解决.()已知数列的递推关系求通项公式的典型方法当出现时，结构等差数列；当出现时，结构等比数列；当出现()时，用累加法求

3、解；当出现()时，用累乘法求解三、知识拓展若数列满足，则数列都是公差为的等差数列，若数列满足，则数列都是公比为的等比数列.四、题型分析(一)用累加法求数列的通项【例.】在数列中,则该数列的通项公式【分析】题目已知条件是【分析】因为,且）形式,用叠加原理求解.,所以运用累加法即可获取：,所以,故应填【评论】当,且）满足必定条件时,可用来求通项,这类方法平常叫累加法.此题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保存哪些项,于是前项的和变为首尾若干少量项之和.还有许多同学会出现的错误,认为或是常数,实质上或是个变量,变化随之改变.【小试牛刀】数列满足.()设,证明是等差数列；()求

4、的通项公式【分析】()证明：由得,即.又.所以是首项为,公差为的等差数列()由()得(),即.于是()(),所以,即.又,所以的通项公式为.【评论】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题第()问中要注意对数列的整体掌握第()问顶用的是累加法注意切忌忽视对的考证(二)利用累乘法求数列的通项【例】设是首项为的正项数列,且,则.【分析】观察已知的递推式,用十字交织法分解因式,可求得与的关系式,再用累乘法求解.【分析】,因为得各项为正,即,将以上各式相乘得,又,.【评论】形如型的递推公式常用累乘法.当为常数且不等于时,数列为等比数列,；当为函数时,.此题可思虑为常数数列.【小试牛刀】数列中，前项

5、和为，()求数列的通项公式；()令，证明：.【分析】()，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以，相乘得，且当、时，满足此式，所以.()，因为，所以；.(三)用结构法求数列的通项【例】【江苏省泰州中学届高三月月考】已知数列满足：，（），则数列的通项公式为【分析】变形为,结构新数列求解.【答案】【分析】由得：，变形得：，所以是认为公比的等比数列，所以，所以.【评论】数列是一种特别的函数,经过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要考证通项的正确性.易出现的错误是只考虑了前项,就猜想出.用结构法求数列的通项,要认真观察递推等式,选准要结构的新数列的形式,再确立系数.【小试牛刀】已知数列

6、满足,则【答案】【分析】且,又,是首项为,公差为的等差数列,故应填(四)利用与的关系求数列的通项【例】【江苏省南通市基地学校届高三月联考】已知数列的各项均不为，其前项和为若，（）求的值；（）求数列的通项公式；（）若数列满足【分析】（）将代入从而可得数列，两式作差可得及数列，求证：数列是等差数列，可求得；（）由，从而推得均为等差数列，从而求得通项；可求得（）由与关系可得：，即，两式作差可得：，从而推得，即，则证明结束.【分析】（）解得（）时，由则因为，所以所以得所以时，由，得，两式相减得得即数列及数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（）由，所以因为，所以所以两式相减得所以两式相减得所以因为，可

7、得所以，得，即都成公差为的等差数列所以数列是等差数列【评论】由和的关系求通项的注意问题：()应重视分类谈论的思想,分和两种状况谈论当时不合适的状况要分开写,即，.)()要注意和互化拥有双向性,既可由化为,也可由求.【小试牛刀】已知数列为单一递加数列，为其前项和，（）求的通项公式；.（）若，为数列的前项和，证明：.【分析】（）当时，所以()，即，又为单一递加数列，所以由得，所以，整理得，所以()所以，即，所以是认为首项，为公差的等差数列，所以（）所以()()(五)递推公式为（此中,均为常数）.解法一（待定系数迭加法）:【例.】数列：,求数列的通项公式.【分析一】解法一(待定系数法)：先把原递推公

8、式转变为此中满足.【分析二】(特色根法)：对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特色方程.若是特色方程的两个根,当时,数列的通项为,此中由决定（即把和,代入,获取对于、的方程组）；当时,数列的通项为,此中由决定（即把和,代入,获取对于、的方程组）.【解法一】（待定系数迭加法）:由,得,且.则数列是认为首项,为公比的等比数列,于是.把代入,得,.把以上各式相加,得.【解法二】（特色根法）：数列：,的特色方程是：.,.又由,于是故.【小试牛刀】【江苏省常州市届高三上学期期末】已知数列中，且.（）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（）数列中能否存在不一样的三项依据必定次序从头摆列后，构成等

9、差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明原由.【分析】（）因为，所以，因为，所以数列是认为首项，认为公比的等比数列，所以，即；（）假定存在三项按必定次序从头摆列后成等差.若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右侧是的整数倍，左侧不是的整数倍，故等式不建立.若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右侧是的整数倍，左侧不是的整数倍，故等式不建立.若，则，整理得，两边同除以，可得，等式左侧是的整数倍，右侧不是的整数倍，故等式不建立；综上，不存在不一样的三项吻合题意.五、迁徙运用【江苏省泰州中学届高三月月考】已知数列满足：，（的通项公式为【答案】【分析】由得：，变形得：，所以），则数列是认为公比的

10、等比数列，所以，所以.【江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校届高三上学期第一次学情监测】设数列项，且满足与，则数列的前项和为【答案】【分析】观察数列的奇数项，联合递推关系有：，且，则数列构成首项为公比为的等比数列，令：，则：，即：，的首而，据此可得：数列的前项和为.【江苏省淮安市盱眙中学届高三第一次学情调研】设函数满足，则且【答案】【分析】满足，各式相加可得，故答案为.【年代届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知数列对随意满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，求使得建立的正整数的最小值【分析】（）因为，所以，两式相减，得，所以又当时，得，不满足上式所以数列的通项公式为（）

11、由（）知，所以不建立，当时，由，得令，则为增函数，又所以要使建立，只要，故使建立的正整数的最小值为【江苏省南京市、盐城市届高三第二次模拟】已知数列各项为正数，且对随意，都有.（）若，成等差数列，求的值；（）求证：数列为等比数列；若对随意，都有，求数列的公比的取值范围.【分析】（）因为，所以，所以，成等比数列.设公比为，因为，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（）因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，由（）知，所以，所以数列为等比数列.当时，由时，可得，所以，所以，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，所以，所以，即，因为，所以，与随意恒建立相矛盾，所以不满

12、足条件.综上，公比的取值范围为.【江苏省如皋市学年高三年级第一学期期末】已知等差数列的前项和为，若为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）能否存在正整数，使成等比数列？若存在，恳求出这个等比数列；若不存在，请说明原由；（）若数列满足，且对随意的，都有，求正整数的最小值【分析】（）设等差数列的公差，则，又是等差数列，所以，即，解得此时，吻合数列是等差数列，所以（）假定存在，使得，成等比数列则，由（）可知，代入上式，得，整理得（*）法一：令，则，所以在上单一增，所以在上最罕有一个根又，故是方程（*）的独一解所以存在，使得，成等比数列，且该等比数列为，法二：，即，所以方程（*）可整理为因为，所以无解

13、，故所以存在，使得，成等比数列，且该等比数列为，（）由可知，又，故，所以依题意，对随意恒建立，所以，即，故若，据，可得当，时，由及可得所以，当，时，即故当，时，故不合题意若，据，可得，即所以，当，时，当时，得，所以当，时，所以，故故当时，对随意都建立所以正整数的最小值为【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)届高三第一学期期末】已知数列的首项，其前项和为，对于随意正整数，都有.（）求数列的通项公式；（）设数列满足.若，求证：数列是等差数列；若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.【分析】（）令，则由，得因为，所以，当时，且当时，此式也建立.所以数列的通项公式为（）【证法一】因为，所以

14、由所以所以所以，所以所以数列是等差数列【证法二】因为所以所以所以所以记，.，得.，两式相减得，所以，所以，当时，由所以，当时，得，当时，上式也建立，所以，()所以数列是等差数列.【证法三】因为所以，（）所以，（）（）（）得，（）所以，（）（）（）得，所以.由知.所以，所以数列是等差数列不如设数列超出三项，令，由题意，则有，即，代入，整理得（*），若，则，与条件矛盾；若，当时，当时，得，代入（*）得，所以，与条件矛盾.故这样的数列至多存在三项.【江苏省泰州市届高三上学期期末】已知数列的前项和为，且对随意的*，都有。（）若，求的值；（）数列可否是等比数列？说明原由；（）当时，求证：数列是等差数列。

15、【分析】（）令，得：，即：，化简，得：，因为，所以，解得：.（）假定是等比数列，公比为，则，且，解得或，由，可得，所以，两式相减，整理得，两边同除以，可得，因为，所以，所以上式不行能对随意恒建立，故不行能是等比数列.（）时，令，整理得，又由可知，令，可得，解得，由（）可知，所以，两式相减，整理得，所以，两式相减，可得，因为，所以，即，又因为，所以数列是认为首项，为公差的等差数列.【江苏省镇江市届高三上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列，数列满足：对随意的正整数，都有（）分别求数列与的通项公式；（）若不等式对全部正整数都建立，务实数的取值范围；（）已知，对于数列，若在与之间插入个，获取一个

16、新数列设数列的前项的和为，试问：能否存在正整数，使得？假如存在，求出的值；假如不存在，请说明原由【分析】（）因为是等比数列，且各项均为正数，所以，解得，公比，所以，因为，所以，两式相减，得因为当时，（）因为，所以当时，所以，吻合，所以，所以当时，原不等式建立，；当时，原不等式可化为，设，则，则，所以，即数列单一递减，所以，解得，综上，；（）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，所以当时，设，易解得，当时，因为，且，所以当时，.【江苏省南师大附中届高三年级第一学期期中】已知，都是各项为正数的数列，且，对任意的正整数，都有，成等差数列，成等比数列（）求数列和的通项公式；（）若存在，使得会合恰

17、有一个元素，务实数的取值范围【分析】（）依据题意，于是，又因为，上式可化简为对随意*恒建立，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以数列的通项公式()，把上式代入，则，特别地，当也吻合上式，故数列的通项公式()（）令，则，当，数列单一递减，因为会合中只有一个元素，所以，即；当，中不行能只有一个元素，所以不吻合题意；当，数列单一递加，中不行能只有一个元素，所以不吻合题意；当，令，即是小于等于的最大整数，则若时，则，中不行能只有一个元素，所以不吻合题意；若时，则，且，所以，即；若时，则，且，所以，即；综上，当时，；当时，取，（）若时，；（）若时，【江苏省清江中学届高三第二次教课质量调研】设数列的前