同济大学概率论期末考题及答案

1、(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.备用数据：0975(9)=2.2622,加025(9)=2.7004,975(9)=19.0228,(2.25)=0.9878.一、填空题(18分)1、已知随机事件4”满足P(AF)=0.3,P(A)=0.7,则P(AB)=,P(AuB)=.2、设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为,在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为.(X+X+XF3、设独立且服从相同的分布，X】N(0)Y=c=一当常数c二时，服(Xj

2、Xj从自由度为的F分布.二、(12分)两台机床加工同样的零件，第一机床加工的零件的不合格品率为5%,第二台机床加工的零件的不合格品率为8%.加工出来的零件放在一起，已知第一台机床加工的零件数量是第二台机床加工零件数量的两倍.现从两台机床加工的零件中随机地抽取了一个零件.求抽到的这个零件是合格品的概率；若已知抽到的这个零件是不合格品，求它是由第二台机床加工的概率.三、(16分)设随机变量的联合概率函数为01200.250.100.3010.150.150.05定义随机变量Z=max(X1,XJ求(1)X|和X2的边缘概率函数；(2)Z的概率函数：(X,Z)的联合概率函数；(4)E(Z),D(Z)

3、和cov(XZ)四、(16分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为y0yi).五、(12分)假定某电视节目在上海市的收视率为20%,有调查公司准备在上海市随机调查8100户居民家庭，记X为彼调查的8100户居民家庭中收看该电视节目的户数.用中心极限定理求概率-0.20O.Olj的近似值；(|8100丿如杲调查完成后发现8100户居民家庭中有1458户收看该电视节目，问：你会相信该电视节目在上海市的收视率为20%吗？请说明理由.六、(14分)设某种材料的抗压强度X服从止态分布NgQ、)，现对10个试验件做抗压试验，得到试验数据1010血山“单位：公斤/亦)，并由此算出工=4600,工#=2124

4、100.分别求“和o的置信水平/=i1=10.95的双侧置信区间.七、(12分)设X”兀心是取自总体X的简单随机样本总体X服从止态分布均未知.记0=E(X2).分别写出，亍的极大似然估计量：(2)求0的极大似然估计量N问：&的极大似然估计量$是否为8的无偏估计？请说明理由.(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.备用数据:。99=2.326,4剜（99片儿如=2.575,壮如（99）=66.510,加邓（99）=138.987.一、选择题（20分）1、下列结论哪一个不正确（）（4）设A,B为任意荫个事件，则AuB-A=3;3）若A=5则A,B同时发生或A,

5、B同时不发生;（C）若Au且BU4,则4=3;（D）若Au乩则A-B是不可能事件.2、设（X,y）的联合概率函数为则（1）p（iyo）等于（、1、3,、7（5）2；（C）；（）012300.1250.250.1250100.1250.250.125(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.(C)（2）Z=X+Y的概率函数为(A)(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.

6、z01234概率0.1250.3750.250.1250.125(B)Z1234概率0.3750.250.250.125z1234概率0.1250.250.250.375(Q)z01234概率0.1250.250.250.250.125(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.3、如果EX5EY*s,且X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则必有()(4)x与y独立：(b)x与y不相关：(c)z)(r)=o：(z)D(x)D(y)=o.4、若D(J)=25,D(y)=36,X与Y的

7、相关系数p(X,r)=0.4,则X,y的协方差Cov(X.Y)等于()(4)5;(F)10;(c)12;(D)36.z14二、(12分)设x,y为随机变量，且p(xo,ro)=y,p(xo)=p(yo)=-求(1)P(niin(X,r)0).三、(10分)一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者止确识别袭击者肤色的概率只有80%,假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是照人的概率是多

8、大？问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？四、(10分)某商业中心有甲、乙两家影城，假设现有1600位观众去这个商业中心的影城看电影，每位观众随机地选择这两家影城中的一家，且各位观众选择哪家影城是相互独立的。问：影城甲至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小F0.01.(要求用中心极限定理求解)五、(16分)设随机变量(x,y)的联合密度函数为2,0vxy1其它(113、分别求x,y的边缘密度函数；求pox-y气其中谢未知参数，0紐.0,其匕求&的极大似然估计记&=丄,求参数0的极大似然估计；0问：在(2)中求得的Q的极大似然估计是否

9、为a的无偏估计？请说明理由。(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.备用数据：0(1.11)=0.8665,0(2)=0.9772,0(1.645)=0.95.仏=2.31,(8)=2.18,/(;975(8)=17.50一、填空题(共12分)1、在区间(0,1)中随机取出两个实数x,y,记A=x=r,=x+r8).二、选择题(12分，每小题4分，将答案填在()内)1、设0vP(4)vl,0vP(F)vl,且P(4阿)+P(平)=1,则下列选项中必定成立的是()(A)事件A和事件尸互不相容：事件A是事件尸的对立事件；(C)事件A和事件F不独立：(D)事件A

10、和事件尸相互独立.2、对任意常数aMab),已知随机变量X满足P(Xa)=a,P(X=0.记p=P(aXb则下列选项中必定成立的是()(A)P=1(Q+0)；(B)pni(Q+0)；(C)卩工1一(0+0)；(D)pX,X2,X3,X4相互独立且均服从相同的正态分布，即X,N(0,b)，cr0.则下列随机变量中不服从龙$分布的是()(A)丄X；+丄(2X.+3X.)2:(B)丄丄(6X|+5Xj+X：；crL13Jcr61L1(C)1(3X1+2X2)2+(4X3+3X4)2:(D)右*(2X|+Xj+圭(4/+3X/.三、（10分）在一个袋中有15个相同的乒乓球，球上分别写有1,2,，15甲

11、，乙两人先后从袋中不放回地取出一个球.（1）求甲取到的球上的数字是3的倍数的概率；（2）若已知甲取到的球上的数字是3的倍数，求乙取到的球上的数字大于甲取到的球上数字的概率.四、（12分）设随机变量X和Y相互独立且服从相同的分布，X服从区间0,2上的均匀分布，记z=|x-r|.（1）求Z的密度函数/（）：求E(Z)和D(Z).(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.五、（16分）设随机变量（X,Y）的联合密度函数为k.0 x2yx1;.0,其他（1）求常数R:（2）分别求X,丫的边

12、缘密度函数;求条件密度函数f|x（）X），fx|r（X-）六、（12分）某汽车销售点每天售出的汽车数服从参数为2的泊松分布,若一年365天这个销售点都经营汽车销售,且每天出售的汽车数相互独立，试用中心极限定理求该汽车销售点一年中售出的汽车数大于700辆的概率.七、（12分）设某种新型塑料的抗压力X服从止态分布9个试验件做压力试验，得到试验数据（单位：lOMPa）,并由此算出样本均值和样本方差分别为工=457,2=36,分别求“和O的置信水平0.95的双侧置信区间.八、（14分）某车间生产了一批产品，现要估计这批产品的不合格率宀随机抽取了容量为n的样本v卩，取到的第j件产品为不合格品；一o,取到

13、的第j件产品为合格品。求卩的极大似然估计量戶；（2）问：卩的极大似然估计量戶是否为的无偏估计量？请说明理由.（3）若抽查了这批产品中的100件,发现其中只有92件合格品求这批产品的不合格率的极大似然估计值.备用数据：(0.833)=0.80,(1.645)=0.95,ZO95(9)=1.8331,05(9)=3325,(9)=16.919.一、填空题(共18分，每小题6分)TOC o 1-5 h z1、已知P(A)=0.5,P3)=0.6,P(B|4)=0.8,则P(43)二，P(A引二,P(AJB)=.5r40Xa)=P(X1)0(B)尸=0.5e2x00.5e2xx0.三、(10分)在某外

14、贸公司出1罐头的索赔事件中，有50%是质量问题引起的，有30%是数量短缺问题引起的，有20%是包装问题引起又已知在质量问题引起的索赔事件中经协商解决的占40%,数量短缺引起的索赔事件中经协商解决的占60%,包装问题引起的索赔事件中经协商解决的占75%.现在该公司遇到一出口罐头的索赔事件.（1）求该索赔事件经协商解决的概率；（2）若已知该索赔事件最终经协商解决，求该索赔事件不是由于质量问题引起的概率.四、（12分）设随机变量x的概率函数为p（x=i）=p（x=i）=o.25,p（x=o）=o.5，随机变量y服从（nB1-I3丿，且P（XY=0）=1.求（X“）的联合概率函数：（2）求E（XY）和

15、cov（X,7）；（3）问：X是否相互独立？是否不相关？请说明理由.五、（14分）设随机变量（X）的联合密度函数为#（6-x-y）,0 x2,0y4;心叫,其他（1）求常数R:（2）分别求x,y的边缘密度函数：（3）问：是否相互独立？请说明理由；求P（X+Y4）.六、（10分）设某出租汽车公司有3600辆出租车，每辆车明年需大修的概率为0.36.各辆车每年是否需要大修是相互独立的记X表示明年该公司需大修的车辆数.求概率P（1272X2=,这里20为未知参数.分别求2的矩估计量和极大似然估计量:（2）问：2的极大似然估计量2是否为兄的无偏估计量？请说明理由.Date:Place:1(1)分别求X

16、,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.dACD&C040仏丹耳j(hJlReminders囚84玉伽）二。*|。、艸ff71s5花竝能/）二2社后加妇JVon）侔二Pr吨035b砒啰。为012Xi0I2M4。30o3o叮2/。2|2/【W/-Xt-（l龙企5中）。竭呵劲0/戾余Date:Place:1(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.-flL丄1o羽馳金竺1二將74“X对）二2弭为小斶NW鬭込卜圈4坤巾找iU或3Mi则礙伽號例砌岫）（2。妣叫77；J9JL&3片号脸何盪_丁匸爪）二8.Date:Place:(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.Reminderso51-2.却枷仏为匕Xi。|2丫oXapyWoJTcHrTfj0巧0占廿3牛才DB工H20期、囚ISfd小卩叭。Vudidfx辛讣g/I07心久勺7TTDate:Place:(1)分别求X,Y的边缘密度函数;(2)试问：X,丫是否相互独立？请说明理由.!0注6（箱亿询勺_i0臨辺迥如拠1沪病*如久柿iyN%R）二）4丿三竽J-0T-珈-办