同济大学弹塑性力学试卷及习题解答

1、弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材弹性与塑性力学陈惠发1.是非题(认为该题正确，在括号中打，；该题错误，在括号中打X。)(每小题2分) TOC o 1-5 h z (1)物体内某点应变为 0值，则该点的位移也必为 0值。()(2)可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。()(3)因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。()(4)弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。()(5)对于常体力平面问题，若应力函数x, y满足双调和方程2 20,那么，由 x, y确定的应力分量必然满足平衡微分方程。()(6)若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑

2、性状态势必也呈各向同性。()(7) Drucker假设适合于任何性质的材料。()(8)应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。( )(9)对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。()(10)塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。P107; 226()2.填空题(在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。)(每小题2分)42 24(1)设 x, y ax a?x y a3y ,当 a1，a2, a3满足 关系时x, y能作为应力函数。(2)弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的 的一门学科。(3)导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材

3、料 。(4)兀平面上的一点对应于应力的失量的 。 P65(5)随动强化后继屈服面的主要特征为： 。(6)主应力轴和主应变轴总是重合的材料为 。 P107(7)相对位移张量 j通常 对称的，对于小变形问题由此引起的位移含 。 P7s 76(8)若f j j k 0,请分别简述j,k,的真正含义及对应的强化描述： OP236238精选3.选择题（分别为3, 3, 4分）(1)对不可压缩的弹性体，有性质（)。P104(2)(3)A.x y z 0 且 0.5C.x y z0 且 x y z 0在与三个应力主轴成相同角度的斜面上，正应力C.1B.D.D.z 0 且=0.5)。P41; 50; 53倘若

4、将塑性功增量表述为dWDpedp,则其有效应力e和有效应变d p应分别为pA.C.P227、 228; 239241;B.曲;&,j|d ijpd ijpD.4.计算分析题1.现已知一点的应力张量为3212 . 212 . 212、21145412.25一 。(14 分)P70习题 2.24114求：（1）主应力及其主方向;P43、44（2）应力不变量的|1、I2 和 I3 ； P41（3）八面体正应力与剪应力。P50、51（应力单位）精选182G8成立。(10分).证明在弹性应力状态下，式P50; 83; 103;.习题5.1所示结构由4根横截面均为 A/4的竖直杆和一根水平刚性梁组成，竖杆

5、为理想 弹塑性材料，杆1的屈服应力为 01,杆2的屈服应力为02 ,设各杆材料常数E相同，并设 0201 ,试求P192习题5.1(a)在单调加载下的弹性极限荷载Pd ,各杆均进入塑性时的最大荷载Pp,相应于Pd的铅垂变形Ue和相应于Pp的铅垂变形Up。(b)若各竖杆的应变u/L达到2 02 / E后卸载，确定当P完全卸去后和竖杆的残余应力和 残余应变。P177例 5.2.在简单拉伸试验中材料的应力一应变关系为其中，0 200MPa为初始屈服应力，材料常数 E 200000MPa,就下面两种情况，求 先施应变至p 0.002时逆向加载的应力一应变关系。(a)随动强化；(b)各向同性强化。P18

6、6例 5.3精选2.1 计算：（1）答案（1）答案（2）解：（3）本教材习题和参考答案及部分习题解答弟早pi iq qj jk , (2) epqi ejk Ajk , (3)pi iq qj jk pk ；epqi eijk AjkApqAqp ；ejp ekip Bki Bij ( ik ji iijk) Bki Bij加 ap Bki BjoBii Bjj Bji Bij o2.2证明：若（需证明）aij a ji ,贝U ejk ajk 0 。2.3 设 a、b和c是三个矢量，试证明:证：因为所以a,b,c2aibacaia2a3aibbbcbib2b3a2cbcccic2c3a3bb

7、2b3cic2a a abacaia? a3a1blgdet biaibbb c det( bib? b a2 bz c2ca cbcccic2 c3 a3 b3 c3a a a b a ca aa biaiGaia2a3aibicib a b b b cb a bb bi cbib2b3a2b2c2c a c b c cc a cbi ggcic2c3a3b3c3caic和d是四个矢量，证明:2.4 设 a、cia2a3b3a2a3(a b) (c d) (a c)(b d) (a d)(b c) 证明：(a b) (c d)2.5设有矢量u ue标系中的分量。原坐标系绕z轴转动答案:Uiu

8、icosU2sinbicib3U2ui sinu 2 cosu3u3 o2.6设有二阶张量T2a,b,c。角度，得到新坐标系，如图所示。试求矢量u在新坐2.4Tei ej。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量 Ti、Ti2、Ti3 和 T33。提示：坐标变换系数与上题相同 答案：精选TiiT12Ti3T33Ti T222T 2 T212T 3 cosT33 。Tn T22 cos2Ti 2 T2 1 cos2T23sinTi 2 Tai sin22T22sin2设有3n个数Aii2in ,对任意m阶张量Bjij2 jm ,定义Ci1i2inj1j2 jm Aii2 in B

9、ji j2 jm若Ciii2 injij2 jm为门m阶张量，试证明 Aii2 in是门阶张量 证：为书写简单起见，取 n 2 , m 2 ,则设A为二阶张量，试证明I A trA o证：设a为矢量，A为二阶张量，试证明：a A(AT a)T , A a (a AT)T证：(i)(AT a)T(Ajie ej akek)T(Ajieakejknen)T(Aji ak ejkn ei en)，Ajn ak ejki eienakek Ajnej en a A 证：(2) (a AT)T已知张量t具有矩阵 TOC o 1-5 h z 23T456789求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

10、解：2.ii已知二阶张量T的矩阵为3 i 0T i 3 0 00 i求T的特征值和特征矢量。解：求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：A I mm,Bmnnm其中， 和 是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。解：因为A m ( I m m) m ( )m ,所以m是A的特征矢量，是和其对应的特征值。设 a是和m垂直的任意单位矢量，则有A a ( I m m)a a所以和m垂直的任意单位矢量都是 A的特征矢量，相应的特征值为 ，显然 是特征方程的重根。则有-2-(e2+e3)(e2 +e3)上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。张量 B可以表示成精选B 0ei ei e2 e2 +e3 e所以，

11、三个特征值是i、0和i,对应的特征矢量是 e3、ei和金。设a和b是矢量，证明:(a)( a)2a(2) (a b) b ( a) a ( b) a( b) b( a)证：(2)1 ,设a x2yzei 2xz3e2 xz2e3,求 w -(aa)及其轴向矢量。解：w ：(aa)ei(x2z 2z3)ei e2 (x2y z2)ei e3 (2z3 x2z)e222226xz e2 e3 (z x y)e3 ei 6xz e3 e2 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量w | a g6xz2e (x2y z2)e2 (2z3 x2z)e。设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一

12、点的矢径，试证明：若原点O在S的外面，积分 n-dS 0；r3S若原点O在S的内部，积分 UdS 4 r3S证：(i)当r 0时，有2.I6隼)至华)0因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得(b)，r、 ._()dv 0。V r3(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为 a的球面S完全在S的内部。用V表示由等dSSS r3即S在S上，SS设 f yeiS和S所围的区域，在 V中式(b)成立，所以n4dSs r3sSa , n(x 2xz)e2r()dV 0 r3Vr/a ,于是dS dSSa2a2Sxye3,试计算积分( f) ndS。式中S

13、是球面x2 y2 z2 a2在xyS平面的上面部分.解：用c表不圆x2 y2(f) ndS 蜓 drSca2,即球面x2 y2 z2 a2和xy平面的交线。由Stokes公式得ydx xdy 0。c精选AfV*弟二早3.1设r是矢径、u是位移，% rU。求d%并证明：当Uidrii,j=1时 d%是一个可逆的二阶张量。 dr解：照d dr drdu .I u drd% I U的行列式就是书中的式(3.2),当Ui,j = 1时，这一行列式大于零，所以d%可逆。 TOC o 1-5 h z dr5 dr设位移场为u Ar,这里的A是二阶常张量，即 A和r无关。求应变张量 ”反对称张量Q (u u

14、)/2及其轴向矢量 。11解：u A , 12(A AT) , 2 12(A AT),1 一 uei Ajkej ek xe2Xi3.312 Ajk ejm em设位移场为u A(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面;1八1 Aek ii e Ajk ejm em ki Ajiejmem22r ,这里的A是二阶常张量，且ui,j = 1 o请证明:(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为b的点的直线方程可以写成r ta 小(1)其中t是可变的参数。变形后的矢径为% r u r Ar (I A) r(2)用I

15、 A点积式(1)的两边，并利用式(2),得% t(I A) a (I A) r0上式也是直线方程，所表小的直线和矢量(I A) a平行，过矢径为(I A) s的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。(2)因为ui,j = 1,所以I A可逆。记B (I A) 1 ,则 TOC o 1-5 h z r (I A) 1 % B %(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成a r c( 4)其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。将式(3)代入式(4),得(a B) % c(5)上式表示的是和矢量 a B垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。变形前两个平行的平面可以表示成a r ci ,

16、a r c2变形后变成(a B) % Ci , (a B) % c2仍是两个平行的平面。在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反 之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案:能；能。设位移场为u A r ,其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。答案：n (A AT) m ctg (n A n m A m)。sin设n和m是两个单位矢量，dr ndr和r m r是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为A dr r ,试用应变张量把变形时它的面积变化率A

17、/A表示出来，其中A是面积变形前后的改变量。精选解：变形后，dr和r变成dr% dr edr w dr ,% r e r 3 r对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得d% % dr r dr e r dr r对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得(dr% %(d% %(dr r) (dr r) 2(dr e r) (dr r) 2(dr r) (dr r) (a) 注意到(dr% r%(d% % (A A)2 A2 2( A)A(dr r) (dr r) A2所以，从式(a)可得A (dr r) (dr r) (dr r) (dr r)A(dr r) (dr r)(n m) (n m) (n

18、 m) (n m)(n m) (n m)利用习题2.4中的等式，上式也可写成A n en 2(n em)(n m) m emA1 (n m)2求在新坐设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij ,让坐标系绕Z轴转动 角，得一个新的坐标系,标系中的应变分量。答案：-ycos22xy sin2y2-x ycos22xysin2xy-sin2xyCOS2xzCOS3.8在Oxy平面上,yzSin ,Oa、 Ob、y z xz sin yz csOc和x轴正方向之间的夹角分别为z0、60、120,3.9所示,这三个方向的正应变分别为 答案：a、 b和c。求平面上任意方向的相对伸长度33( b c)sin2

19、2 cos233.9试说明下列应变分量是否可能发生:一 2一 2x axy2, y ax2 y,yz ay2 bz2 , 其中a和b为常数。 解：xz ax2z axy , by2,xy 0n。3.10 确定常数 A。，A, B。，B, C。，Ci ,xAA(x2y2)x4y4,yB0Bi(x2y2)x4y4,xy C0 Cixy(x2 y2 C2), z zx zy 0 0C2之间的关系，使下列应变分量满足协调方程解:精选若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式, 解：(由于应变张量 和空间位置无关，所以书中的式 (3.36a)简化成)yzc是常量，求位移的一般

20、表达式。342 设 x ax, y by , z cz, xy 解：第四章已知物体内一点的六个应力分量为：x 50a, y 0, z 30a, yz试求法线方向余弦为ni 1, n2 4 , n3 答案：总应力 T JT2 T22 T32 111.8a o正应力 n Tn 26.04a。剪应力n 6I 108.7a o过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为证 T1 m T2 n。证：(利用应力张量的对称性)75a , zx 80a, xy 50a心的微分面上的总应力 T、正应力 n和剪应力nn和m ,在这两个面上的应力矢量分别为Ti和T2,试4.3某点的应力张量为 xxyxzyxyyzzxz

21、yz且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y及该平面的单位法向矢量。解：设要求的单位法向矢量为ni ,则按题意有ij nj 0即n2 2n3 0, n1yn2 n3 0 , 2rn n2 0(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得(2 y 2)n2 0上式有两个解：n2 0或y 1。若n2 0 ,则代入式(a)中的三个式子，可得 ni 巾0 ,这是不可能的。所以必有y 1。将y 1代入式(a),利用nni 1 ,可求得22 3J64.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8 ,下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量y xyxA(arctg-;C)xx2y2 HYPERL

22、INK l bookmark47 o Current Document yA(arctgy3 2B)xx2y2精选y图4.8z yz xz 0 , xyA-g -x2 v满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A、B和C。解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。在y 0的边界上，有边界条件(y)y 0 q , 所给的应力分量AB q在上斜面上，有(xy)y 0 0 xy自动满足上面的第二个条件。将y的表达式代入上面的第一个条件,(1)y xtg ,所以斜面上的应力分量可以简化成x A( sincos C),xy Asin2z yzxzx A(0sincosB),斜面上的外法向方

23、向余弦为nisin , n2cos将式(2)和(3)代入边界条件n3ijnjA(sincos ) AB cos联立求解(1)和(4),得4.5A -, B tgtg图4.9表示一三角形水坝，x ax by, y cx已求得应力分量为dy, z 0,yz xz 0 , xy dx ay x和1分别是坝身和水的比重。求常数 量满足边界条件。解：在x 0的边界上，有边界条件(x)x0 iy, (xy)x0将题中的应力分量代入上面两式，可解得:在左侧的余面上，x ytg ,外法向方向余弦为使上述应力分0 ,可解得：dictg2n1 cos , n2 sin , % 0把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件c ctg (2 1ctg2 )。4.6物体的表面由f(x,y,z) 0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷p(x,y,z),试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为按题意，边界条件为