立体几何中长方体和三棱柱的外接球模型

1、1.长方体的外接球模型1.1长方体的外接球设长方体且BCD-&BH的长、宽、高分别为则其外接球的克径就是AC,设外接圆的半径=a+b2+c表面积3=（/+肝+/）疗，体积/=(，+b+庁+土.例1(2017年全国卷III文长方体的长，宽，高分解：设球O的半径为R则47?别为3,2,1其顶点都在球O的球面上*则球O的表面积为-所以球O的表面积S=47?7T=14.1.2长方体的外接球模型对于三棱锥来说，如果满足共顶点的三条棱两两垂直或者有线面垂直和线线垂直，可考虑把三棱锥补成长方体，转化为长方体的外接球问题.（2010年辽宁卷）已知S,A,B,C是球O表面上的点，$4丄平面ABC,朋丄BC,SA

2、=AB=BC=2,则球O的表面积等于（）A.4兀B.3龙C.2nD.兀解：因为S/丄平面ABC,所以S/丄AB.SA丄BC,又HB丄BC,如图1,故将三棱锥S-ABC补成长方体，如图2,则三棱锥S-ABC的外接球即长方体的外接球，所以（2R）z=AB2+BC2+SA2=4,球O的表面积S=4兀选A.例3（2008年浙江卷）如图3,已知球O的面上四点A.B.C.D.DA丄平面ABC./LB丄BC,DA=AB=BC=y/3.则球O的体积等于解：因为D4丄平面ABC,得D4丄AB.DA丄BC,又丄BC,所以可把三棱锥D-ABC补成长方体，如图4,三棱锥D-ABC的外接球即长方体的外接球，所以47?2

3、=3+3+3=9,R=，7所以球O的体积v-7t=?龙32D4(2017年云南师大附中高三月考)如图5,在边形ABCD中，AB=AD=CD=,BD=Ji,BD丄CQ.将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面力BD丄平面BCD,如图6若四面体的顶点在同一球面上，则该球的体积为()A.D.2兀TA图5CC解;因为CD丄刀,且平面丄平面BCD.所以CD丄平面ABD,由丄/1Q,故可把三棱锥C-ABD放到正方体中，如图几所以4A2=3xl2=3,R=亘,2所以球的体积却例5（2008年福建卷）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为盯，则其外接球的表面积是解：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度相等,

4、故可把三棱锥放到正方体中，问题转化为求棱长为的的正方体的外接球的表面积，所以47?2=4x3=12,表面积S=4-R27t=1.则&(AC22球O表面上的不同点丄平面ABC2.三棱柱的外接球模型2.1三棱柱的外接球C例6（2Q17年沈阳市质量检测）已知是MB丄BC/SBC二逅,若球。的表面积为4打，解：设SAx.由题意.把三棱锥S-ABC放到长方体中，贝I4/?2=1+2+x2,所以球0的表面积_47=（3+尤=4厂故“1.选B.鬲帼驴B.11直三棱柱ABC-ABC1中，AB=c.AC=b、BC=67,AAh,设其外接球的球心为o,半径为过球心o作两个底面的垂线，垂足分别为则OA=OB=OC=

5、R,如图8,可知RtAOO.A=/OOxB=RtAOO.C,所以O】是AABC的外心，同理2是厶A.B.C.的外心，且OO.=OO.如图9,在RtOO.A中，hOA=Rg=,现在的关键问题是求AO.2离中数学（2010年新课程全国卷）设三棱柱的侧棱垂所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（）A.Jia2B.7,me311.urC.兀xD.3解：如图8,在正中由正弦定理得,2则济即AO=如图9,在RtOO.A中，00,=-,122r2由勾股定理得，R2=AO+=-,7所以表面积S=4R彷=匚加2选B.3高中彩宇諾图10高申烫字5高中觀宇N.2.2三棱柱的外接球模型如图9,在心00/

6、中由勾股定理得,C例8（2009年全国卷I）直三棱柱MBC-占田0的各个顶点都在同一球面上若AB=AC=AAJ=ZZBAC=120?则此球的表面积为解壬如图呂，在中由正弦定理得，.22|=一=4,川2=2.又|OQ|=b11sin301111oox所以表面积S=4R-7T=20tt三棱锥P-ABC中，刖丄底面ABC,且1ZBAC=B(0d，则可三棱锥补成三棱柱，那么三T棱锥的外接球问题可转化为三棱柱的外接球问题，如图10.若9=-,则是长方体的外接球模型.2B（例9（2017年贵阳市二模）己知等腰直角理BC（的斜边BC=2，沿斜边的高线昇将厶ABC折起，7T使二面角B-AD-C为一，则四面体A

7、BCD的外接3球的表面积为解如图11,将等腰直角沿斜边的高线将折起，得四面体4-BCD,如图12.因为AD丄DC.AD丄DB,得丄平面BCD,且ZBDC就是二面角B-4D_C的平面角，得ZBDC=60。，故可把四面体ABCD放到三棱柱，如图13,AD=1,|oq|丄BCD是边长为1的正三角形，由正弦定理得，2RIcq|=*所以7=|co+|oqf=看，得外接7球的表面积S=4Rp=兀、（例10（2017年陕西省适应性考试）如图14,在ABC中,AB=BC=忆ZABC=90,1）为/C的中点.将力BD沿3D折起到PHD的位置，使PC=PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A.7兀B.5兀C.3龙D.Ji解！因为。的/C中点且ABBC，所以BDLDP,BD丄DC,所以BQ丄平