三十三讲排列组合与二项式定理

1、第三十三讲 排列、组合与二项式定理一、引言： 本讲内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分.考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和.1本讲考纲要求为： 1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.能解决简单的实际问题.23能用计数原理证明二项式定理.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 本讲命题走向：单独的考题会以

2、选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中,难度较小，属于高考题中的中低档题目. 3二、考点梳理（一）两个基本原理1.分类计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法42分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，做第n步有 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法53分类计数原理与分步计数原理的共同点与区别 分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在

3、于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成6（二）排列与组合1排列的概念：从n个不同元素中，任取m（ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（ ）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.73排列数公式： （ ）.4阶乘： 表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定 记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=1

4、20，6！=720.5.组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.86.组合数的概念：从n个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数用符号 表示7.组合数公式： . 98.组合数的性质: 规定： ； + .9排列、组合应用题的解题途径： 以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数 排列、组合应用题的解题思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘

5、10（三）二项式定理1二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ +Cnkan-kbk+ +Cnnbn；2通项公式：二项式展开式中第r+1项的通项公式是：Tr+1=Cnran-rbr；3二项式的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性：求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题.11三、典型例题选讲题型1：计数原理例1 完成下列选择题与填空题:（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种.A81 B64 C24D412 解：（1）完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行，是选用基本原理的关键.将“投四

6、封信”这件事分四步完成，每投一封信作为一步，每步都有投入三个不同信箱的三种方法，因此：N=3333=34=81，故答案选A.13（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）A81 B64 C24 D4解:因学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将4名学生看作4个“店”，3项冠军看作“客”，每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家，即每个“客”有4种住宿法.由分步计数原理得：N=444=64.故答案选B.14（3）（2008重庆)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、 、 、 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡

7、都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.15（3）解： 处4种， 处3种， 处2种，则底面共 ，若 处颜色相同，则 处3种， 处1种，共有 种；若 处颜色不同，则A处3种，B处2种，C处1种，共有 种，由分类计数原理得上底面共9种，由分步计数原理得共有 种.16.DBCA(4)(2008全国I理 )如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A96B84C60D48.17归纳小结：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较

8、复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.18题型2：排列问题例2 分别求出符合下列要求的不同排法的种数:（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）.19解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为.（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 种选法，然后其他5人选，有 种选法，故

9、排法种数为 . （3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为 ；乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有 种选法，其余两棒次不受限制，故有 种排法， 20由分类计数原理，共有 种排法. （4）将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他4人一起作全排列共有 种排法. （5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有 （或用6人的排列数减去问题（4）后排列数为 -240=480).21（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后按规定的顺序放置这三人，其余3人在

10、3个位置上全排列，故有排法 种. 归纳小结：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻. 对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：22（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数.23例3 （1）（2007北京理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）1440种960种720种480种解：（1）依题意有 种方法，选B.24（2）（2008辽宁理）一生产过程

11、有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）A24种 B36种C48种 D72种25（2）解:若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有 种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有 种.不同的安排方案共有 种，选B.26（3）（2009四川理）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 60 B. 48 C. 42

12、 D. 3627（3）解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有 种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙,则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）,此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）.最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法.28解法二：同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有 种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙,为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有

13、 种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有 12种排法;29第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法.此时共有 12种排法. 三类之和为24121248种.归纳小结：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做.30题型三：组合问题例4 (1)(2009全国理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 31解：(1) 分两类:

14、 甲组中选出一名女生有 种选法; 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有345种选法.选D.32(2)（2009湖北文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有( )A.120种 B.96种 C.60种 D.48种种，周五一人有种，周六两人则有种，周日则有种，种,故选C.解:5人中选4人则有故共有33(3)（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )A14 B16 C2

15、0 D48故选B. 解:由间接法得 ,34归纳小结:组合问题结合分类计数原理和分步计数原理进行考查是文科常考的基础题.在解题时要注意分类思想的使用. 35题型4：排列、组合的综合问题例5 (1)（2009陕西文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )A.432 B.288 C. 216 D.10836解(1):首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有 种，再从剩余3个奇数中选择一个有 种，从2，4，6三个偶数中选择两个有 种，进行十位，百位，千位三个位置的全排有 种.则共有 故选C. 个.37(2)（20

16、08湖北理）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）540 B. 300 C. 180 D. 150解:(2)将分成满足题意的份有，与，两种，所以共有 种方案，故正确38(3)（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种解:分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36

17、种，选A. 39 归纳小结：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等.在解题时要仔细分析题目中的限制条件,分类时要做到不重不漏.40例6 从一组共7名学生中选男生2人，女生2人，参加三种不同的活动，要求每人参加一种且每种活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？41 解: 设男生x人，女生7-x人，则有 ， ， 且 或 男生3人，女生4人或男生4人，女生3人42归纳小结：本题是排列与组合的综合题涉及到分堆，再全排列的问题方法是选人分堆排列，也可以直接用分步法解在解未知数x时，应注意到x是正整数且 范围限制，可以使用逐个验证的办法验证出来43题型5：二项式定理

18、例7 (1)（2009浙江理）在二项式 的展开式中，含 的项的系数是( ) . A B C D 解:(1)对于 ， 令 ，则 的项的系数是.44(2)（2009北京文）若 为有理数），则 ( )A33B29 C23 D19解:(2) 由已知，得 ， .故选B.,45(3)(2007安徽理)若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于_. 解:(3) 令则有由展开式中含有常数项,所以n最小值为7.46（4）（2008广东卷理）已知 （k是正整数）的展开式中， 的系数小于120，则k= 解: 按二项式定理展开的通项为 ，我们知道 的系数为 ，即 ，也即 ,而k是正整数，故k只能取1.47 归纳小结

19、：在求系数过程中,尽量先化简，降低运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意赋值法的运用，例如求常数项，可令x=0.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.48例8 （1）（2008浙江理）在的展开式中，含 的项的系数是（ ）A.-15 B.85 C.-120 D.274 解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）的思路来完成.含 的项的系数为:49（2）（2007全国文） 的展开式中常数项为 （用数字作答）(2)解:.50（3）（2008四川理） 展开式 中 的系数为_. 解法一: 项的系数是 解法二:也可用“选括号”的方法来解:展开式中含x2的项为:.51 归纳小结：本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题.要注意“选括号” 方法的使用.此类题是中档略偏难的常规题学生易在准确性和快捷性上有缺陷52例9 若 ，求(1) ； (2) ； (3) 解：(1)令 ，则 ，令 ，则 (2)令 ，则 .53由 得：(3)由 得：.54 归纳小结：注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，