“放缩法”证明不等式的基本策略

1、PAGE - PAGE 28 -例谈“放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍

2、弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为

3、常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n ，求证： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) eq f( eq r(k) , eq ao(2,k) ) 3证明： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) = eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) 1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(1, eq r(k1)k(k1) ) eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(2, eq r(k1)(k1)

4、( eq r(k1) eq r(k1) ) =1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) ( eq f(1, eq r(k1) ) eq f(1, eq r(k1) ) ) =11 eq f(1, eq r(n1) ) 23本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证： 证明： ， 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三

5、项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩例8、.已知i，m、n是正整数，且1imn.(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1+m)n(1+n)m证明：(1)对于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，对于整数k=1，2，i1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+C

6、m+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目

7、标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段. 求证证明本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。求证 证明 说明：若本题从第二项起放大，则左边1+1-2 ,这使的证明失败.例 1 4 分析 浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些

8、正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。常用的放缩技巧还有：（1）若（2）（3）若则（4）（5）（6）或（7）等等。用放缩法证明下列各题。例1 求证：证明：因为所以左边因为99100（放大）所以例2 （2000年海南理11）若求证：证明：因为所以因为因为（放大），所以又所以是增函数，所以，所以例3 （2001年云南理1）求证：证明：（因为）又因为（放大），所以所以例4 已知求证：证明：因为例

9、5 求证：证明：因为（因为）（放大）所以例6 （2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当时，函数的最大值是证明：因为原函数配方得又因为所以（缩小），所以函数y的最小值是。当所以（放大），所以函数y的最大值是例7 求证：证明：因为（分母有理化）所以原不等式成立。例8 （2002年贵州省理21）若求证：证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）。例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立。例10 （1999年湖南省理16）求证：证明：因为又所以原不等式成立。例11 求证：证明：因为左边证毕。例12 求证证明：因为

10、所以左边注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。一常用公式1 23( 4()5（待学） 6 （待学）二放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由

11、到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7） 或（8）等等。三常见题型（一）先求和再放缩: 1设，求证：2设（），数列的前项和为，求证：（二）先放缩再求和:3证明不等式：4设（1）求证：当时，；（2）试探究：当时，是否有？说明理由.5设，求证：（1） （2）6设， 求证（1） （2）7 设， 求证: 8 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数.（1）试给出的值，并求的表

12、达式（不要求证明）；（2）证明：.9（10广州）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和10（010深圳）在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，2证： .3证明：2 4解：（1）当时， 又当时，.（2） 当时,要只需 即需，显然这在时成立 而,当时 显然 即当时也成立综上所述：当时，有. 5证法一： .10分证法二：，下同证法一. 10分证法三：（利用对偶式）设，则

13、.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即 10分证法四：（数学归纳法）当时, ,命题成立; 假设时,命题成立,即, 则当时, 即即故当时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数，不等式成立. 10分 由于，所以，从而.也即14分6 证明：（法一） 12分 （法二）（1）当，显然成立 5分 （2）假设时， 7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分6 证明：（法一） 12分 （法二）（1）当，显然成立 5分 （2）假设时， 7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分7证明: 当时， 当时. 故 综上，原不等式成立 8解： 由于因此，当时，有所以.又，所以. （注：直接给出结果也给分）当时，. 所以. 9（1）证明：当时，解得 当时， 即为常数，且， 数列是首项为1，公比为的等比数列 （2）解：由（1）得， ， ，即 是首项为，公差为1的等差数列 ，即（N）（3）证明：由（2）知，则所以 ， 当时， 所以 10解：（1）由已知，得，. （2）（证法1），；，.猜想,， 以下用数学归纳法证明之当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么,.时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 当为奇数时，；当为偶数时，即数列的通项公式为 （注：通项公式也可以写