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1、页码：1/9 打印日期：2010-9-15泵站选址与水管铺设【案情描述】两个村庄位于河流的同一侧。为了取水需要，两村庄打算共同出资建造泵站、铺设水管。由于泵站的造价较高，所以计划在河边上仅设置一个取水口并在该处建造泵站。为了节约水管铺设费用，需要选择一个适当的取水口位置。水管可以直接向取水口铺设，也可以在某处设置一个三通交汇点。应该怎样设计水管铺设方案，使得水管的总长度最短？【分析】选择取水口的位置当然与两村庄及河流的相对位置有关，假定河流呈直线状，两村庄到河流的垂直距离分别是 a 和 b ，两个垂足间的距离是 c 。 a 和 b 总有大小，不妨设 a b 。定量地研究平面上的位置关系应该先建

2、立坐标系，以河流为 x 轴、村庄到河流的一条垂线为 y 轴建立坐标系，则两个村庄 A , B 的坐标分别为(0 , a) 和(c , b) ，如图1所示。如果直接向取水口铺设水管，那么用几何对称点法就可以很方便地选择取水口位置。具体做法是在图1中找到村庄 A 关于 x 轴的对称点 A (0 , a) ，连接 A , B ，直线 AB 与 x 轴的交点 P 就是所求的取水口位置。这是因为根据对称性，取水口在点 P 时，水管总长度为| AP | | BP | AB | ，而取水口放在另一点 P时，水管总长度为| AP | | BP | | AP | | BP | | AB |图1 直接向取水口铺设

3、水管图2 设置三通交汇点铺设水管这个不等式体现 APB 中的两边之和大于第三边。所以取水口设置在点 P 时，水管的总长度最短，此时，根据比例关系不难算得点 P 的横坐标为| OP | aca b 。如果允许设置一个三通交汇点，那么水管铺设方案的选择余地大了，水管的节约前景也大了，肯定会有比图1更好的方案。不过三通交汇点要在一个平面区域内选取， 度较大，选择的难度也大，采用建立函数关系的方法比较有效。【求解】如图2所示，设三通交汇点 Q 的坐标为(x , y) ，点 P 是取水口，则水管的总长度为 u | AQ | | BQ | | PQ | ，显然 PQ 应垂直于 x 轴。用坐标表示线段长度，

4、得到需要最小化的目标函数：u ( x , y ) x2 (a y)2 (c x)2 (b y)2 ymin（1）用微分法求最小值，可令二个偏导数等于零： u c xx 0 xx2 (a y)2(c x)2 (b y)2ua yb y 1 0 yx2 (a y)2(c x)2 (b y)2（2）x c xa yb y 。记这两个相等比值为 k ，即将上面的第一式移项后平方，到x c xk a yb y（3）得到这个比例关系之前实施了开方运算但没有正负号，是因为所有因子未隐含负号，例如(a y) 是正值，而( y a) 隐含负号。在解决实际问题时，要尽量让负号显现出来，以避免陷入多头思维而纠缠不清

5、。将（3）式代入方程组（2）的第二式，即得111 0k 2 1k 2 1由此解得 k 3 。回代到（3）式便到驻点y 1 a b 3 c12 x c 3(b a)0302，（4）由于驻点唯一而且水管铺设存在最优方案，所以可认为已经得到了最优解。把它代入目标 2 3 c3 c3a b umin函数（1），便得到最小的水管总长度为3。当时，这个最小值要比图1的最小值| AB | c2 (a b)2来得小，确实得到了比图1更好的铺设方案。图1中的最小值点有很明显的几何特征，由此联想图2也应该有几何意义。将方程组（2）中的各因子与图2的线段长度相对照，容易发现（2）式实际上是如下的三角函数关系式：si

6、n sin 0 cos cos 1 0（5）其中 QAO ， QBC ，图中 BC 垂直于 x 轴。从方程组（5）的第一式立得 ，代入第二式马上得到 60 。然后由 tan tan 3 即得（3）式及k 3 ，同样解得驻点（4）。看来本案利用几何变量求解要快捷得多。从这两个几何角度出发看看能否展现的几何特征。如图3所示，过三点 A , B , Q作一个圆，延长 PQ 交该圆与点 M ，连接 AM ， BM 。由平行线的性质知AQMBQM QAO 60 ， QBC 60 ，再由圆周角的性质知页码：2/9打印日期：2010-9-15MAB BQMMBA AQM 60 ， 60 。原来MAB 是正三

7、角形！这给用几何方法寻找最佳水管铺设方案提供了便利。图3 确定三通交汇点的几何作图法几何作图法的具体过程如下：以两村庄的连线 AB 为边，背向河流方向作正三角形 MAB ，从点 M 向河流 x 轴引垂线 MP ，垂足 P 就是应该选择的取水口。然后作 MAB 的外接圆，垂线 MP 与外接圆的交点 Q 就是需要确定的三通交汇点。如果觉得作外接圆不方便的话也可以不画圆，以 AO （或 BC ）为边向垂线 MP 方向作正三角形 AA1O （或 BB1C ，图3中这个三角形没有画出），直线 AA1 （或 BB1 ）与垂线 MP 的交点 Q 就是需要确定的三通交汇点。这样找出的点 P , Q ，使得水管

8、铺设的总长度恰好等于垂线长| MP |，即| AQ | | BQ | | PQ | | MP |这个等式的证明并不复杂，只要段 QM 上截取AQN | 并连接 AN ，就可以得到一个正三角形和一对全等三角形，结论便显而易见。几何方法比微分方法直观，而且容易证明它的最优性。事实上，如果将三通交汇点设在图3中的另一点 Q ，取水口设在垂足点 P，那么必有| AQ | | BQ | | PQ | | MQ | | PQ | | MP | | MP | | AQ | | BQ | | PQ |至于其中的不等式| AQ | | BQ | | MQ |，可利用图4予以证明。图4中， BEQ是正三角形， M

9、BE ABQ 。在微分法中，利用驻点的唯一性说明其最优性，理论依据不是很充分。几何方法的最优性证明就比较严格了。当然几何方法也有之处，几何作图不大方便在村庄河流所处的广阔田野上进行，如果缩小了在纸上作图，那么还需通过几何关系求得点 P , Q 的坐标（4），才能到现场去定位。】无论是微分法求得的坐标（4），还是几何法定出的点 Q ，都有可能落在 x【页码：3/9打印日期：2010-9-15轴的左边或者落在 y 轴的下方，这样的话还有最优性吗？回答是否定的。事实上，点 Q 必须在图2的矩形区域 AOCD 内选取，否则毫无最优性可言。图5是在矩形区域外设置三通交汇点的情形。如果三通交汇点 Q 设置

10、在矩形区域的左侧，如图5(a) 所示，那么有不等式| AQ | | BQ | | PQ | | AO | | BQ | | AQ | | BQ | | OQ |图4 到正三角顶点的距离Q ，所以矩形区域左侧的三通交汇点不可能有最优性。这说明点如果三通交汇点 Q 设置在矩形区域的下方，如图5 (b) 所示，那么有不等式QQ | | BQ |) | AQ | | BQ | AQ | | BQ | | PQ |AQ ，所以矩形区域下方的三通交汇点不可能有最优性。这说明点类似地可以证明矩形区域右侧和上方的三通交汇点也不可能有最优性。图5 在矩形区域外设置三通交汇点排除了矩形 AOCD 之外的部分，可知

11、最优点只能在矩形区域寻找。域称为可行域。把该矩形区在图3中用几何作图法求三通交汇点 Q ，如果BAO 120 ，三角形顶点 M 将位于 y 轴的左侧，点 Q 就会落在矩形区域的左侧；如果| AO | a ， | BC | b 过小，则点Q 不再是最优点，那么该怎样寻找最优的交汇点呢？由于目标函数（1）是可行域上的连续函数，所以最小值必定存在。如果驻点在可行域，那么它就是最优点（图3中已经证明）；如果可行域没有驻点，那么最优点Q 应该在可行域的边界上寻找。矩形区域有4 条边界，分别对应 y 0 ，x 0 ，y a 。代入目标函数，分别求以下4个函数的最小值并加以比较：x c ，u(x , 0)u

12、(0 , y)u(c , y)u(x , a)0 x c0 y a0 y a0 x c，。页码：4/9打印日期：2010-9-15这些函数都是一元函数，不难求出它们的最小值。第一个函数是图1的情形，最小值是，对应的最小值点是图1中 x 轴上的点 P ；后三个函数都是单调函 u3 a c (b a)， u4 b c ，最小值点依次是点 A ，点22数，最小值依次是 u2A 及图2中的点 D 。在 a b 的前提下，显然 u2 u3 u4 ，所以整个边界上的最小值应在 u1 和 u2 中选择，这与 a , b , c 的取值有关。从驻点（4）出发进行，当然只需考虑驻点越出矩形边界的情形，即4种情况

13、 y0 0 ， x0 0 ， x0 c ， y0 a 以及它们的组合。根据表达式（4）知， x0 c 和 y0 a 都是不可能的，所以只要若 x0 0 ，则x0 0 和 y0 0 。c 3(b a)（6）u此时比较 u 2 和 u 2 ，经简单整理可知 u，这表明在不等式（6）的条件下（此时 y 必12120为正），最优的三通交汇点是点 A ，段 AO , AB 上铺设水管是最好的方案。若 x0 0， y0 0 ，则c 3(b a)（7）此时经同样的比较可知 u1 u2 ，这表明在不等式（7）的条件下（此时 x0 必为正），最优三通交汇点是图1中的点 P ，按图1的方式铺设水管是最好的方案。条

14、件（6）和（7）之下，最优点都在矩形边界上取得，“三通交汇”已为“二通交汇”，所以称之为情形。上面关于情形的似乎有点难以把握，遇到其它形状的可行域或许更为复杂。如果从几何角度考虑则可以简单一些：图5已经表明，驻点越出可行域边界，应该让它回归到相应边界上寻找最优点，从哪条边界上越出，就回归到那条边界。这种回归方式反映到对驻点（4）的研判，就是若 x0 0 ，则令 x 0 求目标（1）的最小值； 若y0 0 ，则令y 0 求目标（1）的最小值。条件（6）和（7）的几何意义分别如图6 (a)和图6 (b) 所示，条件（6）对应图6 (a) 中的 BAD 30 ，这时水管应当沿直线段BA , AO 铺

15、设；条件（7）对应图6 (b) 中的 BAF 30 ，其中 A 是点 A 关于原点 O的对称点，这时水管应当沿直线段 AP , BP 铺设。图6情形的几何表现【推广】前面的中假定河流呈直线状，更一般地应考虑河流呈曲线状。这时河流不能作为 x 轴，设| AB | 2m ，以 AB 为 x 轴， A 为原点建立坐标系，河流的曲线方程已y 知为f (x) ，如图7所示。要在曲线上找一点 Pf (t) ，再找一个三通交汇点 Q(x , y) ，使得三线段之和(t ,页码：5/9打印日期：2010-9-15u | AQ | | BQ | | PQ |达到最小。点 A 的坐标是(0 , 0) ，点 B 的

16、坐标是(2m , 0) ，用坐标表示目标函数，即u x2 y2 (2m x)2 y2 (t x)2 ( f (t) y)2min（8）求这个三元函数的最小值，当函数 f (t) 可微时，可令三个偏导数为零：u t x f (t)( f (t) y) 0 t(t x) ( f (t) y)22 u2m xt xx 0 xx2 y2 (2m x)2 y2 (t x)2 ( f (t) y)2 0uf (t) yyy tx2 y2(2m x)2 y2(t x)2 ( f (t) y)2（9）由第一个方程得f (t) y 1f (t) t x（10）这说明 PQ 应该在曲线的法线上，相当于曲线的“垂线

17、”，这是可以想见的。方程组（9）的后两个方程不易求解。参照前面的思路，从三角函数关系出发能容易些。记三条直线的倾角分别为 , , ，如图7所示，则方程化为sin sin cos， cos cos sintan tan( 90) 2 180；取两式平方和消去两式相除得到2，从而得到 2 cos( ) 1，从而 120 。进而获得一个合理的解为 150 30,tan tanw tan于是 tan 和都可 以 用表 出。记，并 将其引 入直 线段 AQ , BQ , PQ 的斜率关系，得到3w 13w 1y tan yf (t) y 1 1 tan x 2mx3 w ，3 w ，tanwt xx ,

18、 y将 前 两 式 去 分 母 后 相 减，再 比 较 后 一 方 程 可 消 去 变 量，得 到wf (t) t m(13w) 。注意到 是曲线切线的倾角，即 w tan f (t) ，因此f (t) f (t) t m( 3 f (t) 1) 0（11）页码：6/9打印日期：2010-9-15图7 曲线河流的水管铺设由于 f (t) 是已知函数，所以（11）式是关于 t 的一元方程，能从中解出 t 的值，于是点的坐标(t ,f (t) 便可确定。将得到的 t 值代入上面的斜率关系可解得点 Q 的坐标1 3w24wx 1y m m3(w2 1) 3(w2 1) ，其中 w f (t) 。至此

19、，最优点均已得到，水管的最佳铺设方案便告完成。求解方程组（9）运用了许多技巧，求解过程并不简单。以便引出简单的几何作图法。来看看它的几何特征，（10）式实际上是直线 PQ 的方程，利用（11）式化简(x m) ( y 3m) f (t) 0(m , 3m) ，而点 M 与点 A (0 , 0) 、 B (2m , 0) 恰好此直线过点 M一个正三角形，如图8所示。另一方面，不难求得该正三角形的外接圆方程为23343 x m2 y m m2经简单的运算可知，上面求出的点 Q 的坐标恰好满足此外接圆方程。最优点的这两个几何特征为几何作图法奠定了基础。几何作图法与直线河流的情况基本相同：如图8所示，

20、以两村庄的连线 AB 为边，背向河流方向作正三角形 MAB ，从点 M向河流曲线 y f (x) 引最短距离线 MP ，曲线上的点 P 就是应该选择的取水口。如果函数可微，最短距离线 MP 必定是曲线的法线。然后作 MAB 的外接圆，直线 MP 与外接圆的交点 Q 就是需要确定的三通交汇点。如果觉得作外接圆不方便的话也可以不画圆，从点 A （或点 B ）向最短距离线 MP引 60 斜交线，交点就是需要确定的三通交汇点，所谓 60 斜交线就是使 QAQM 60 （ BQM 60 ）。这样找出的点 P , Q ，使得水管铺设的总长度恰好等于最短距离线的长度| MP | ，即| AQ | | BQ

21、| | PQ | | MP | 。这个等式的证明与直线河流的情况相同，不再赘述。顺便 ，曲线函数 y f (x) 即使不可微，或者函数的几何图形已知而表达式未知，几何作图法依然有效，只要以点 M 为中心作圆，圆的半径逐步增大，这些不断扩展的同心圆与曲线首次相交，交点 P 即为取水口点，这是点 M 到曲线的最近点，如图9所示。这种同心圆扩展法还可以检验方程（11）的最优性，因为从方程（11）中解出的 t 值仅仅是目标函数的驻点，有时甚至使目标取得最大值，验证是不大可靠的。无论是微分法解方程组（9），还是几何法确定点 Q ，都有可能出现情形。可以用回归方式应对情形。图8中，点 Q 的可行域是线段

22、AB , AD , BC 和曲线段 C D 所围的区域，其中 AD , BC 分别是点 A 、点 B 到曲线的最短距离线。如果从点 M 引出的最短距离线 MP 向出可行域，那么应让其回归到边界 AD ，即段 AD , AB 上铺设水管是最好的方案；如果从点 M 引出的最短距离线 MP 向右越出可行域，那么应让其回归到边界 BC ，即段 BC , AB 上铺设水管是最好的方案。页码：7/9打印日期：2010-9-15图9 河流曲线不光滑的几何作图图8 面对曲线河流的几何作图如果图8中的 APB 120 ，那么确定的三通交汇点 Q 将向上越出可行域的曲线边界C D ，这时应让其回归到曲线上，即 P

23、 , Q 两点合为一点，在曲线上寻找合适的点 Pf (x) ，使两线段之和 u | AP | | BP | 达到最小，如图10所示。这时目标函数(x ,为u x2 f (x)2 (2m x)2 f (x)2min（12）令 u(x) 0 ，再利用图10的三角函数关系cos sin tan cos sin tan 0PN图 10 中是 曲 线 在 点P处 的 法 线。将 这 个 三 角 方 程 变 形 为cos( ) cos( ) 0 ，不难解得 180 2 ，取正切后便化为(m x) f (x)f (x)x(2m x) f (x)21 f (x)2（13）从方程（13）中解出 x 的值，点 P 的坐标(x , f (x) 便可确定，这时水管应当沿直线段 AP , BP 铺设。方程（13）的几何意义是 180o 2 ，移项后为(90 ) ( 90) 这意味着图10中APN BPN ，也就是说直线 AP , PB 对曲线形成“镜面反射线”。根据这一特征，可以用几何法确定最优点的位置：让点 P 沿曲线移动，同时测量曲线在点 P 处的法线与直线 AP , BP 的夹角，一