高一数学必修复习：第二章函数知识点总结

1、第二章 函数知识点归纳总论：知识网络结构图一、函数的概念与图像设是一个非空的实数集，如果有一个对应规则，对每一个，都能对应唯一的一个实数，则这个对应规则称为定义在上的一个函数，记以，称为函数的自变量，为函数的因变量或函数值，称为函数的定义域，并把实数集 称为函数的值域。注意点： = 1 * GB3 定义域 = 2 * GB3 对应规则 = 3 * GB3 所谓同一函数必须要定义域和对应规则完全一致。1、求定义域的主要依据：（1）若函数为整式，则定义域为实数集R；（2）分式的分母不为零；（3）偶次方根的被开方数不小于零；（4）对数函数的真数必须大于零；（5）若函数由几个部分的数学式子构成的，定义

2、域为使各个式子有意义的实数的集合的交集；（6）如果函数由解决实际问题列出，定义域为符合实际意义的实数集。例1、下列各对函数中，相同的是（ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO例3、（05江苏卷）函数的定义域为_2、求函数值域的主要方法：（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；（2）换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；（3）利用对勾函数；（4）分

3、离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；（5）单调性法：利用函数的单调性求值域；（6）几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数例1、 ； 例2、例3、例4、 ；例5、例6、3、重要函数图像（1）一次函数（正比例函数）图像及其性质：（2）反比函数图像及其性质：（3）二次函数图像及其性质： = 1 * GB3 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标 = 2 * GB3 二次函数与一元二次方程关系： = 3 * GB3 闭区间上二次函数的最值问题：是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的

4、区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。设，求在上的最大值与最小值。将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：最小值：对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论（1）当时，的最小值是当时，（2）若，由在上是增函数则的最小值是；（3）若，由在上是减函数则的最小值是。最大值：对称轴与区间中点比较进行分类讨论（1）当时，的最大值是；（2）当时，的最大值是； 当时，可类比得结论。例1、设求函数的最小值的解析式。例2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。例3、已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求

5、，的值 = 4 * GB3 二次方程根分布问题：点拨：从三个方面进行分析：（1）（有不等实数根）；（2）对称轴；（3）端点的函数值例1、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.例2、方程有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是例3、已知关于x的方程至少有一个根在区间(1, 2)内，求实数m的取值范围.（4）对勾函数图像：二、函数的表示方法与表达形式1、函数表示的三大方法：列表法、解析法、图像法例1、购买某种笔支，所需花元，若每支笔需2元，试分别用解析法、列表法、图像法将表示成（）的函数，并指出函数的值域。2、函数的表达形式：（1）一般表达形式：（2）分段函数：如果自变量在定义域内不

6、同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 例如 （3）复合函数：设 定义域， 定义域，值域。 如果，则是定义在上的一个复合函数。其中称为中间变量。例2、已知，求例3、练习： = 1 * GB3 。 = 2 * GB3 设，则的定义域为_三、函数的简单性质1、函数表示法的“无关性”：函数的表示法只与定义域和对应规则有关，而与用什么字母表示无关，即 fx=ft=fu=，简称函数表示法的“无关性”。例1、 与 是否为同一函数？ 2、函数的单调性：如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就说f(x

7、)在 这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。注意点：设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。例1、证明函数的单调性例2、函数的单调增区间是_例3、已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D）3、函数的奇偶性：设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数；若对，都有，则称在上是偶函数。重要性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称； （2）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 （3）奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇 判断函数奇偶性的主要方