信号与线性系统（第四版）吴大正 2章连续系统的时域分析

1、第2章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 卷积积分2.4 卷积积分的性质 2.1 LTI连续系统的响应 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。 元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)电阻R，uR(t)=RiR(t)； (2)电感L， (3)电容C， (4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equatio

2、n of Nth-order 全响应=齐次方程通解+非齐次方程通解（自由响应）（受迫响应） 全响应= 零输入响应+零状态响应 （解齐次方程）（叠加积分法） 卷积，杜阿美尔积分 时域分析法（经典法） 变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解自由（固有响应）：由系统特性决定=齐次解强迫响应：由激励决定=特解一、微分方程的经典解 单输入、单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)， 式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t

3、) 1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为 n+a n-1 n-1+a1 +a0=0 (1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解 (2)特征根有重根。若是特征方程的重根，即有1=2=3=， (3)特征根有一对单复根。即 1,2=ajb，则微分方程的齐次解 yh(t)=c1eatcos(bt)+c2eatsin(bt ) (4)特征根有一对m重复根。即共有m重1,2=ajb的复根，则微分方程的齐次解 例2-1求微分方程y(t)+2

4、y(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1，因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t 2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表21列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。 表21 例2-2若输入激励f(t)=e-t，试求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。将特解yp(t)代入微分方程，有 解:查表21，因为f(t)=e-t，= -1与一个特征根1= -1相同，因此该方程的特解 3.完全解 完全解是齐次解与特解之和

5、，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为 当特征根中1为重根，而其余(n-)个根均为单根时，方程的全解为将给定的初始条件分别代入到上式及其各阶导数，求得待定系数 例2-3 描述某线性非时变连续系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，已知系统的初始条件是y(0)=y(0)=0，输入激励f(t)=e-t(t)，试求全响应y(t)。解： 该方程的齐次解和特解分别是 由初始条件y(0)=y(0)=0，有2+3+2=0 =-1，-2 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=d1te-t+ d2e-t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2

6、e-2t+te-ty(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t) (t) y (t)=-c1e-t+-2c2e-2t-te-t+e-t二、 关于0+与0-系统在 激励下的响应为 ，当 在 加入时， 的响应时间为 ，那么在求系统响应 的待定系数时必须用时间为 时的边界条件 初始条件。但有时题目给你的边界条件是 起始状态，这时就必须将 转换成 。 例2-4：微分方程：初始状态： 、 ，激励为 ，求： ， 。只考虑 到 过程。解：设：等式右端 的最高阶导数依次到 (2)将（1）、（2）代入（3）解：设：

7、(2)将（1）、（2）代入（3） 三、 零输入响应和零状态响应 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态x(0)所引起的响应，用yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用yf(t)表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t) 在零输入条件下，等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应 若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零 ，这时为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应式中cxi为待定常数。

8、 式中cfi为待定常数。 系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为： 式中 0-到0+ 例2-5：微分方程： ，初始状态： 、 ，激励： 。求： 、 、解：（1）零输入响应特征方程 特征根 （2）零状态响应特解 特解的形式为： 代入上式得： 零状态响应零状态响应的初始条件 代入得代入得 （3）完全响应2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应 线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。试求系统的冲激响应h(t)

9、。 例2-1已知某线性非时变系统的动态方程式为解：特征方程 特征根 由于当 时， 自由响应（齐次解） 强迫响应（特解） 完全响应（齐次解+特解） 代入 代入得二 阶跃响应 线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数t)时，系统的零状态响应。 例2-2 若描述系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 f(t)+2f(t) 试求系统的阶跃响应。 解 ： y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 (t)+2(t)求0+，设y(t)= A1(t)+ A2 (t) y(t)= A1(t

10、) 代入得 y(t)= 0A1=1/2 A2=1/2 y(0+)=1/2 y(0+)=0 系统的特征根为1=-1，2=-2， t0+时，等式右端等于2(t)，设特解为P，可得P=1 ，所以 其阶跃响应 g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)(t)所以，系统的阶跃响应为 2.3 卷积积分 一 信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。 任意函数表示为阶跃函数的积分任意函数表示为冲激函数的积分.面积=1一、卷积积分integral输入为 时 零状态响应输入为 时 零状态响应零状态响应卷积积分标记为1.定义：任意两个信号 和 的卷积积分运算如下：当系