北师大版数学归纳法名师精编单元测试2

1、 名校名师举荐 一、基础达标1用数学归纳法证明等式123 n3n3 n4 2nN ,验证n1 时,左边应取的项是 A1 B12 C123 D1234 答案 D 解析 等式左边的数是从 1 加到 n3. 当 n1 时, n34,故此时左边的数为从 1 加到 4. 2用数学归纳法证明“2 nn 21 对于 nn0 的自然数 n 都成立” 时,第一步证明中的起始值 n0 应取 A2 B3 C5 D6 答案 C 解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2 nn 21 不成立,当 n5 时, 2 5325 2126,第一个能使 2 nn 21 的 n 值为 5,应选 C. 3用数学归纳法证明不等式 11

2、21 4 2 n1127 64 nN 成立,其初始值至少应取A7 B8 C9 D10 答案B 11 11 22 n21 2 n1,代入验证可知n 的最小左边 11 21 4 1 n1解析值是 8. 4用数学归纳法证明不等式1 n1n2 1 2n11 24nN 的过程中,由 n 递推到 n 1 时,以下说法正确选项 1 名校名师举荐 1A增加了一项 2 k1B增加了两项 2k1和 12 k1 11C增加了 B 中的两项,但又削减了一项 k11D增加了 A 中的一项,但又削减了一项 k1答案 C 解析 当 n 时,不等式左边为 k11 k2 1 2k,当 n 1 时,不等式左边为 k21 k3 1

3、 2k2k112k2,应选 C. 15用数学归纳法证明“n 3n1 3n2 3nN 能被 9 整除” ,要利用归纳假设证 n 1 时的情形,只需绽开答案 3 3解析 假设当 n 时,原式能被 9整除,即 3 1 3 2 3能被 9 整除当n 1 时, 1 3 23 3 3为了能用上面的归纳假设,只需将 3 3 绽开,让其显现 3 即可6已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a11,Snn 2annN 依次运算出 S1,S2,S3,S4后,可猜想 Sn 的表达式为答案 Sn2n n1解析 S11,S24 3,S33 26 4,S48 5,猜想 Sn 2n n1. 7已知正数数列 an nN

4、 中,前 n 项和为 Sn,且 2Snan1 an,用数学归纳法证明： annn1. 证明 1当 n1 时 a1S11 2 a1 1 a1,2a 11an0, a11,又 101,n1 时,结论成立2假设 n N 时,结论成立,即a kk1. 2 名校名师举荐 当 n 1 时,a1S1S1 2 ak1 1 ak11 2 ak 1 akk1k11 2 ak1 1 ak11kk11 2 ak1 1 ak1ka 2 k12 ka 110,解得 a1k1kan0,n 1 时,结论成立由12可知,对 nN 都有 an nn1. 二、才能提升8 3, N 棱柱有 f 个对角面,就 1棱柱的对角面个数 f

5、1为 Af 1 Bf 1 Cf Df 2 答案 A 解析 三棱柱有 0 个对角面,四棱柱有 2 个对角面 02031；五棱柱有 5 个对角面 2 3241；六棱柱有9 个对角面 54551； .猜想：如 棱柱有 f 个对角面,就 1棱柱有 f 1 个对角面9对于不等式 n 2nn1nN ,某 同学的证明过程如下：当 n1 时,1 2111,不等式成立假设 n nN 时,不等式成立,即 k 2k 1,就 n 1 时,k1 2 k1 k 23k21 2n2.假设 1n 时,不等式成立就当 n 1 时,应推证的目标不等式是答案 2 1 21 3 2 1 k 2k1 12k2 12 2 1 k3解析

6、观看不等式中的分母变化知,21 21 3 2 1 k 2k1 1 2k2 1 21 21k3. 11求证：n11n2 1 3n5 6n2,nN 证明 1当 n2 时,左边1 31 41 51 65 6,不等式成立2假设当 n 2, N 时命题成立,即 k11k2 1 3k5 6. 就当 n 1 时,1 k1 1k1 2 1 3k1 3k11 3k21 3 k11 k11 k2 1 3k1 3k11 3k21 3k3k15 61 3k11 3k23k3 1 k15 631 3k3k15 6,所以当 n 1 时不等式也成立由1和2可知,原不等式对一切n2,nN 均成立12已知数列 an 中,a12

7、 3,其前 n 项和 Sn满意 anSn 1 Sn2n2,运算S1,S2,S3,S4,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明解 当 n2 时,anSnSn1Sn1 Sn2. 4 名校名师举荐 1SnSn12n2就有： S1a12 3,S2S12 3 4,S3S22 4 5,S4S32 5 6,由此猜想： Snn1 n2n N 用数学归纳法证明：1当 n1 时, S12 3a1,猜想成立2假设 n N 猜想成立,即 S k1 k2成立,那么 n 1 时, S 11 Sk21k1 k22k2 k3 k1 1 k1 2. 即 n 1 时猜想成立由12可知,对任意正整数 三、探究与创新n,猜想结

8、论均成立13已知递增等差数列 an 满意： a11,且 a1,a2,a4 成等比数列1求数列 an 的通项公式 an；2如不等式 11 2a1 1 1 2a2 1 1 2an实数 m 的最小值,并证明解 1设数列 an 公差为 dd0,5 m 对任意 nN ,试猜想出2an1 名校名师举荐 由题意可知 a1a4a22,即 113d1d 2,解得 d1 或 d0舍去所以, an1n1 1n. 2不等式等价于1 23 45 6 2n12n1 m,当 n1 时, m2；当 n2 时, m3 5 8；而3 23 5 8,所以猜想, m 的最小值为 2 . 3下面证不等式1 23 45 6 2n1 2n下面用数学归纳法证明：3 2 对任意 nN 恒成立2n13证明 1当 n1 时,1 2231 2,成立32假设当 n 时,不等式,1 23 45 6 2k12k2k1 2成立,3当 n 1 时,1 23 45 6 2k1 2k2k1 2k22k1 22