建筑力学：静定结构内力分析

1、第十三章静定结构的内力分析几何特性：无多余联系的几何不变体系静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力求解原则：从几何组成入手，按组成的相反顺序 进行逐步分析即可基本方法：取隔离体（结点或部分）考虑平衡， 也即列静力平衡方程本章内容：静定梁； 静定刚架； 三铰拱；静定桁架；静定组合结构13-1 多跨静定梁受弯杆件称为梁。横截面有矩形，工字形，T形和圆形。在外力作用下梁的轴线变为一条平面曲线，称为梁的挠曲线。平面弯曲一、梁上的内力：剪力和弯矩l /2l /2PPRAVM平行于横截面的竖向内力V称为剪力。位于荷载作用平面内的内力偶矩M称为弯矩。二、截面上内力符号的规定：轴力：杆轴切线方向 伸长为正

2、剪力：杆轴法线方向 顺时针方向为正弯矩: 应力对形心力矩之和 弯矩图画在受拉一侧NNQQMM一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下） 有突变(突变值= FP)有极值如变号无变化 有突变（突变 值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用 (q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线( )几种典型弯矩图和剪力图l /2l /2ml /2l /2Pl q 1、集中荷载 M图有夹角Q 图有一突变2、集中力矩M图有一突变Q 图没b变化 3、均布荷载M图为抛物线Q 图为斜直线分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAM

3、MMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：OA段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段M2注意 叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。由杆端弯矩作图叠加q弯矩图叠加ql2弯矩图3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点

4、、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m1m2m2m1m1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值解：（1）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值取AC部分为隔离体，可计算得：取GB部分为隔离体，可计算得：kNkN1m1m2m2m1m1m

5、q=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17A C1713P=8kNADm=16kN.mGB4267G B782315308M图（kN.m）1797+_Q图（kN）一.多跨静定梁的组成 附属部分-不能独立承载的部分。 基本部分-能独立承载的部分。基、附关系层叠图静定多跨梁二、分析多跨静定梁的一般步骤 对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的

6、弯矩图和剪力图 。CA E（a）（b）EACACE（c）ABCDEFGHPqABFGHqECDPDEFqCABPCABDEFPq分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 注意：多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH80k Nm2020404040k NC2025520502020k N/mFGH1020405585255040k NCABFGH20k N/m80k Nm构造关系图 205040401020405050205040402010402m2m2m1m2

7、m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH2555585M 图（k Nm）2540k N5558520k N/m251520354540Q 图（k N） 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。解： 研究AE杆： )(21xlqVE-= 研究EF杆：221)(21qxxxlqMMCB+-= 叠加弯矩值）(82qlMMCB=+Q 依题意：CBMM= 1621)(2122qlqxxxlqMB=+-= 展开上式，得：llx125.08= 与简支梁相比，多跨静定梁的跨中弯矩值 较小，省材料，但构造复杂。 例题

8、2：静定平面刚架的组成特点及类型 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成，优点是将梁柱形成一个刚性整体，结构刚度较大，内力分布较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c) 图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。一、平面刚架结构特点：13-2 静定平面刚架(d)(e)刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、主从刚架二、常见的静定刚架类型 下图所示两跨刚架可先建立投影方程 计算 ，再对 和 的交点O取矩，建立力矩方程 ，计算R A，最后建立投影方程 计算 。 Y =

9、0R CR CR BM O= 0X=0RBxy0ABCO.刚架分析一般步骤是先求支座反力，再求各杆控制截面内力，再绘制各杆弯矩图和内力图。 静定刚架支座反力的计算 计算支座反力，尽可能建立独立方程。如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。XAl /2l /2qABCf(a)qfl /2l /2ABC(b)YAYBXBXAqfl /2l /2ABC(b)YAYBXBfl /2C(c)YBXBBXCYC于是O对O点取矩即得：l /2l /2qABCfOABDCOO注意三铰刚架结构中，支座反力

10、的计算是内力计算的关键所在。XCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c) 如右图(a)是一个多跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分析：以右是基本部分、以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基本部分。 分段：根据荷载不连续点、结点分段。定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标 ，号；竖标大致成比例。刚架的内力分析及内力图的绘制 例1. 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。2m2

11、m4mABCD40 kN20 kN/m(1)支座反力(a)20 kN/mAB4m20 kN/mAB4m160 kNm(b)(c)解。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。40160AB(d)M图2m2m40kNBD602m2mBD40kN160kNm16040BD40160AB160D4020kN/mAB4m802060Q图（kN)M图 (kNm）M图2m2m4mABCD40kN20kN/m602080802060Q图（kN)200B20N图（kN)40160AB160D40M 图 (kNm） 例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2AB

12、CDE解：（1）计算支座反力2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDE（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图1）杆CD2qa2CD6qaDB00D结点D2）杆DB2qa2M图M图2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDExy3aE4aqB3)杆BE2qaAB8qa10qa14qa2M图M图4）杆AB2qa22qa26qa2qa2q 2q2qa2CDDBBEBA1082BM图（3）绘制结构M图也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图M图2qa22a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDEQ 图2.4qa10qaN 图3.2qa6qa8qa（4）绘制结构Q图和N图aaABCq受

13、弯结构作内力图的顺序梁和刚架等受弯结构作内力图的顺序为：一般先求反力（不一定是全部反力）。 利用截面法求控制截面弯矩。以便将结构用控制截面拆成为杆段（单元）。 在结构图上利用区段叠加法作每一单元的弯矩图，从而得到结构的弯矩图。 4. 以单元为对象，对杆端取矩可以求得杆端剪力，在结构图上利用微分关系作每单元的剪力图，从而得到结构剪力图。需要指出的是，剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。 以未知数个数不超过两个为原则，取结点由平衡求单元杆端轴力，在结构图上利用微分关系作每单元的轴力图，作法和剪力图一样，从而得到结构轴力图。 5. 综上所述，结构力学作内力图顺序为“先区段叠加作M 图，再由

14、M 图作FQ 图，最后FQ 作FN图”。需要指出的是，这种作内力图的顺序对于超静定结构也是适用的。1、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。LLqLqLqqL2q2m2mq2q6q二、弯矩图的绘制如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。2、简支型刚架弯矩图简支型刚架画弯矩图，先求一个与杆件垂直的支座反力qL2/2qaqa2/2qa2/2ql注意：BC杆和CD杆的剪力等于零，相应的弯矩图与轴线平行ql2/2qlqll/2l/2DqABCaaaqa2/81 反力计算 1） 整体对左底铰建立矩平衡方程 MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)

15、2） 对中间铰C建立矩平衡方程 MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2)解方程(1)和(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa2 绘制弯矩图qa2注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由支座作起！1/2qa20qqaXAYAYBXBACBaaaaqa/2qa/23、三铰刚架弯矩图1/2qa2YBXBRAOM/2MM/2画三铰刚架弯矩图注意：1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线， 对O点取矩可求B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。 2、集中力偶作用处，弯矩图发生

16、突变，突变前后弯矩两条线平行。 3、三铰刚架绘制弯矩图，关键求一水平反力！ Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/2aACBaaaMABCqL2/4qL2/43/4qLAO整体对O点建立平衡方程得 MO=qL1.5L2LXA=0 得 XA=3qL/4qLLLBC三铰刚架弯矩图！RBYAqaaaa2aaaaqqaqaqqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.m）ABHCDEFG4、主从结构绘制弯矩图 可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。q=20kN/m2m2m3m4m2m5m绘制图示刚架的 弯矩图ABCDEF20kN80kN20kN120901

17、206018062.5M图kM.m 仅绘M图,并不需要求出全部反力. 然后先由A.B支座开始作弯矩图.先由AD Y=0 得 YA=80kN再由整体平衡方程 X=0 得 XB=20kNMEA=806-206=12012060180AaaaaaaqBYB=0YA=0XB=1.5qa4.5qa2 5qa2M图 haP2P2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qaXA=4.5qa5、对称性的利用hl/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8例4 试绘制下图所示刚架的弯矩图。30kN20kNm2m2m4m10kN10kNABCDE10kN40k

18、NmADBE10kN40kNmD2040E40DCE20kNm40kNm402040M图（kNm）qaaaa1.5aqa2qaAEGCBFDqa2qaAEGCXMqaBFD例5. 求绘图示结构的弯矩图。静定刚架的 M 图正误判别利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘内力图时减少错误。 另外，根据这些关系，可直接观察M图的对错 M 图与荷载情况不符。 M 图与结点性质、约束情况不符。作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平

19、衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。内力图形状特征1.无何载区段 2.均布荷载区段3.集中力作用处平行轴线斜直线 Q=0区段M图 平行于轴线Q图 M图备注二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义q P ABCDE（a）q P ABCDE（b）ABC（e）ABC（f）ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm（3）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（1）（ ）（6）（ ）（9）（ ）题2-1图（10）（ ）（11）（ ）（12）（ ）（7）（

20、 ）（8）（ ） m m速绘弯矩图PaalPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/2mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/2000m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20002P2P2PPPPPa2PaPaPaaaaaaPPmaaaaPPPh0000PPPPPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh13-3 静定平面桁架桁架的特点和组成分类 桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力。理想桁架：（1）结点是光滑无摩擦的铰结

21、点；（2）各杆轴线都是直线，通过铰中心；（3）荷载和支座反力都作用在结点上上弦杆腹杆下弦杆主应力、次应力桁架的分类（按几何构造）1、简单桁架2、联合桁架3、复杂桁架结点法分析时的注意事项：1、尽量建立独立方程：2、避免使用三角函数llxlyNNNXYNl=Xlx=Yly3、假设拉力为正+1234567843m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kN 一、平面汇交力系N13N121X13Y13345结点18024060N23N24结点23406080N35X34Y34N34结点3-100604060-90501234567843m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kN80_606040604030+-900-902015+75758075_100二、结点单杆概念P 结点单杆内力可直接根据静力平衡条件求。1234567891011ABCDABC一、 平面一般力系截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点时，则此杆件称为该截面的截面单杆。截面单杆的内力可直接根据隔离体平衡条件求出。截面法OyAB12345123