复化梯形积分公式

1、摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法， 但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析 表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原 函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足 够。当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是 考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的 方法来提高数值积代数精度是不可取的。因此，提出类似于分段插值，为 了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若十个小区间，在每个小区 间上采用低阶数值积分公

2、式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来 作为函数在整个区间上的近似值，这个就是复化数值积分的思想。本实验针对在每个小区间上利用梯型积分公式，即阶数为1，进行实 验。关键词：龙格现象复化数值积分代数精度1、实验目的通过本次实验体会并学习复化梯形积分公式的优点。寻找复化梯形积分公式的不足，尝试着对其进行改进。通过对复化梯形积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力。用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。2、算法流程根据数学知识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，即如下所示:J f(x)dx = $J * f(x)dxat=i xi-i针对上式，在每一个小区间上利用梯型积分公式有

3、hJf(x)dx - 2 f(xt-1)+ f(xt)xi-1根据以上两式可以得到心i=iJbf(x)dx 12f(a)+f(b) + 21 a并称其为复化梯形积分公式。一般记Tn = 2f(a)+f(b) + 21f(xi)i=i称作n+1点复化梯形积分公式3、算法实例用复化梯形积分公式计算积分(14I = | dxJ 1 + X20解：复化梯形积分公式就是将区间0,1n等分，h=1/n，具体计算时给n 取值并带如公式就可以得到结果。具体程序如下：#include stdafx.h”#include #include using namespace std; const int num(10

4、00); void main()(double a=0;double b=0;double h=0;int n=0;int i=0;double Sn=0;double xnum = 0;double ynum = 0;cout请输入积分上下限和等分数endl;couta;coutb;coutn;h=(b-a)/n;for(i=0;in+1;i+)(xi=a+h*i;yi=4/(1+xi*xi);for(i=1;in;i+)(Sn=Sn+2*yi;Sn=h/2*(Sn+y0+yn);cout积分结果为：Sn=Snendl;运行结果:S3 F:VV i nd wssyste m32c m d.ewe请输入积分上下限和等分数 |请输入积分下限金 请输入积分上限b=1 请输入等分数n=1O0 积分结果为:Sn=3.14158 请按任意键继续.4、对结果进行分析通过用编程实现对上例的求解，可以看出结果较为准确，但是由于复 化梯形积分公式原理是用一次曲线去逼近真实值，所以本身存在误差，而 且当等分数较小时，误差较大。再有