复化梯形复化辛普森龙贝格自适应辛普森课程设计论文

1、湖南农业大学综合设计报告综合设计五多方法求解数值积分 学生姓名：学 号：年级专业：指导老师：学 院：评阅成绩：评阅意见:成绩评定教师签名:时间:湖南,长沙提交日期：2014年6月多方法求解数值积分具体题目要求：用不同数值方法计算积分1 ;、荣ln 丛=4取不同的步长们分别用复合梯形及复合辛普森公式计算积分，给出误差中 关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h， 使得精度不能再被改善？用龙贝格求积计算完成问题(1);用自适应辛普森积分，使其精度达到10 -4。1设计目的、要求由积分学基本理论，定积分可由Newton-Leibniz公式计算，但是对于一些 无法找到原函数

2、的函数(如e-我等)不能通过牛顿一莱布尼兹公式计算，就必 须得另寻它法。因此需要我们能够熟练地应用常用的数值积分计算方法(如机 械求积、Newton-Cotes公式等)并掌握结合数值计算软件(Matlab、Lingo 等)及计算机高级语言(c、java)进行对应算法实现的技能。熟练数学软件求解数学问题，掌握各种数学问题的求解方法。本设计主要 是通过多种复合求积公式求解积分，主要包括复化梯度法、复化辛普森法、龙 贝格以及自适应辛普森法等求解方法，利用Matlab软件编写相对应的算法进行 求解，大大地提高了解题的速度。2设计原理由积分中值定理我们可以知道在积分区间a,b内存在一点&，使得式子jb

3、f (x)dx = (b a) f (E)a成立。这个式子在于对于点q的具体位置一般是不知道的，因此难以准确算出f (&)的值。也就是不同算法求得平均高度f (提，对应的就是一种不同的数值求 积方法。更一般地，我们可以在区间a,b上适当选取某些节点xk，然后用的加 权平均得到平均高度f (&)的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：jb f (x)dx 2E A f (x )a*k =0称为机械求积公式。复合梯形公式、复合辛普森公式、龙贝格求积公式以及自适应辛普森公式 都以此公式的基础，对积分区间进行变步长的划分求得近似的平均高度值，得 到积分函数的近似值。也由于牛顿一柯特斯公式在n 8时

4、不具有稳定性，所以不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了我提高精度通常可把积分区间 等分成为若干个子区间，再在每个子区间上用低价求积公式，这就是复合求积 方法。但是这样的积分求解方法也是存在不容忽视的误差。因此需要在设计算 法时考虑到算法存在的误差（舍入误差、截断误差等），并对误差作出分析。3采用软件、设备Matlab软件4设计内容第一步：复合梯形公式、复合辛普森公式算法（一）、复合梯形公式计算积分复化梯形公式的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用 微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值，符合了 计算机计算存储的思想。下面，我们在探讨复化梯形公式的计

5、算规律：设将求积区间a,b分成n等份，则一共有n +1个分点，按梯形公式t=云2fGk）+ f、，=2 f+2习fGk）+ fG）k=0Lk=1-计算积分值T，需要提供n +1个函数值。这里h = 代表步长，分点为x* = a + kh，其中k = 0,1,n.（二）、复合辛普森公式计算积分算法的基本思想是：把积分区间等分成若干个子区间，而在每一个子区间上用辛普森求积公式:S = 7 f (a) + 4 f (哗)+ f (b)62得到复合辛普森求积公式：s广 h f (a) + 4 习 f (X,+p + 2习 f (Xk)+ f k =0k + 2k =1并且用Matlab软件来求解。第二

6、步：龙贝格算法考虑积分I(f) = j bf (x)dx，欲求其近似值，通常有复化的梯形公式、Simpsion a公式和Cotes公式。但是给定一个精度，这些公式达到要求的速度很缓慢。如何 提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记r，k为将区间a,b进行12k等分的复化的梯形公式计算结果，记，k为将区间a,b进行2k等分的复化 的Simpsion公式计算结果，记r3 k为将区间a,b进行2k等分的复化的Cotes公 式计算结果。根据Richardson外推加速方法，可以得到收敛速度较快的Romberg 积分法。其具体的计算公式为：m = 2,.，k1、准备初值，计算a bT = r f

7、 (a) + f (b)1,122、按梯形公式的递推关系，计算_ 1b a 2尸-1Tik+1 = 2 乙Tf (a +i=03、按Romberg积分公式计算加速值 TOC o 1-5 h z 4m-1T TTm,k 一 mm1,k+1mm1,k - m， m = 2， k4m1 14、精度控制。对给定的精度R，若T - T Rm,1m1,1则终止计算，并取气1为所求结果；否则返回2重复计算，直至满足要求的精度 为止。第三步：自适应辛普森算法复合求积方法通常适用于被积函数变化不太大的积分，如果在积分区间被 积函数变化很大有的部分函数值变化剧烈而有的部分则是变化平缓，如果此时 还是将积分区间等分

8、后用复合求积公式的话计算量很大。而采用针对被积函数 在区间上的不同情形而采用不同的步长，使得在满足精度的前提下积分计算量 减少，这就是自适应积分方法，能自动地在被积函数变化剧烈的区域增多节 点，而在被积函数变化平缓的地方减少节点。因此它是一种不均匀区间的积分 方法。题目要求使相邻两个区间的误差达到一定的要求(10 -4 )，即用自适应辛 普森公式来求积分，先算出积分区间的左右端点函数值，求出区间中点函数值 与左右端点的函数差值，再与所要求的精度比较，不满足的对所在区间二等 分，接着算出每个子区间端点的函数值判断时否符合精度要求，直到积分每个 子区间内都满足精度要求，最后所得各个区间端点的函数值

9、之和即为积分的近 似值。第四步：误差余项以及精度分析：由插值型的求积公式我们得到求积公式误差余项的表达式：R f =jb f (x 认-Af (x )= Kf (屈)(0)ak kk=0其中m表示求积公式的代数精度，为不依赖于f (x)的待定系数，9 e (a,b)，这个结果表明当f (x)是次数小于等于m的多项式时由于f(m+i)(x) = 0，故此时0 J兀 ,m+2 am+2 匕A xm+1 k k k =0Rf = 0，即前面的求积公式精确成立。而当f (x) = xm+1时，f(m+1)(x) = (m +1)! 故可求得：K =二 (m +1)J b xm+1dx E A xm+1

10、 I = _- I - ak=0 * * J E 顷+ 2因为梯形公式的代数精度为1，可以得到K的值为K =11 (b3 a3)-(a 2 + b 2)_ 11/、1-_(b a )2L 32J2L 6J于是得到梯形公式的余项为:R f =- M)腥(b又因为复合梯形公式要满足f (o)=1 笑1 f(o )n kk=0综上所述，就得到了复合梯形公式的余项表达式：R (f)=-uh2feps)h=(b-a)/2A(k-1);S=0;for x=a:h:b-hS=S+f(x+h/2);endT(k+1 1)=1/2*T(k 1)+h/2*S;k=k+1;for i=2:kT(k i)=(4A(k

11、-1)*T(k i-1)+T(k-1 i-1)/(4A(k-1)-1);enderr=abs(T(i i)+4/9);endfprintf(龙贝格求积算法积分值为.10fn T(k k);disp(T) T龙贝格求积算法积分值为-0.44438207534、自适应辛普森算法：%自适应辛普森算法Self_Adaptive_integral.mfunction s=Self_Adaptive_integral(a b tol)k=0;w=0; x=a; y=b; t=0;h=(b-a)/2;s=0;i=0;to=abs(simpson_integral(x y 2)-simpson_integra

12、l(x y 1);while to=toli=i+1;while to=tolt=x;if k=0 x=t;y=t+h;to=(abs(simpson_integral(x y 2)-simpson_integral(x y 1)*2八匕 k=1;w=0;endif w=0 x=t+h;y=t+2*h;to=(abs(simpson_integral(x y 2)-simpson_integral(x y 1)*2八匕 k=0;w=1;endends=s+simpson_integral(x y 2);if k=0 x=t; y=t+h; h=h/2;to=(abs(simpson_integ

13、ral(x y 2)-simpson_integral(x y 1)*2Ai; end if w=0 x=t+h; y=t+2*h;h=h/2;to=(abs(simpson_integral(x y 2)-simpson_integral(x y 1)*2八匕 end if to1for i=1:(m-1)x=a+2*i*h;s1=s1+f(x);endfor i=1:mx=a+(2*i-1)*h;s2=s2+f(x);ends=h/3*(f(a)+f(b)+2*s1+4*s2);elses=s+h/3*(f(a)+f(b)+4*f(a+b)/2);end6结果分析与设计总结结果分析：初步分

14、析：通过对步长h的值的改变，只要h值越小(等分数n的值越大)， 即等分的区间越小，结果应该更加精确，精确度越高。实验结果分析： 1、复合梯度算法：通过算法的运行结果可得：当等分数n从2开始变化到50时实验计算结果 以及与准确值之间的误差可以达到-0.4410968和0.003347665；当等分数更改为80时实验计算结果以及与准确值之间的误差可以达到- 0.4426581 和 0.001786344；结果分析：复合梯形求积公式随着区间数不断增加，积分的误差不断减小。运算所得结果如下图所示：2、复合辛普森算法：当等分区间数目达到50时，实验计算出来的结果以及与准确值（-4/9）之间的误差值分别为

15、：-0.443796和0.0006484617；而当n为80时实验结果分别为-0.4441055和0.0003389765；结果分析：复合辛普森求积公式也是随着等分数不断增加，积分的误差不断减小。算法计算结果如图所示：将这两种插值形的积分算法所得结果与准确值比较，得出两种方法产生的误 差趋势图如下：两种插值形积分算法误差趋势图I较比的度确精法算森普辛合复与式公形梯合复0.180.160.140.120.10.080.060.040.02复合梯形公式 复合辛普森公式1 死 I.Wf.tW. L U J 女！？工勺3 JLrrmr-LirL-L-L-LTVHFnHTTTTT TiH T ;!00.

16、10.20.30.40.50.60.70.80.91积分区间-x经过算法设计验证，也表明自己的初步推理是正确的，无论是复合梯形公式 还是复合辛普森公式计算的最终结果都会随着步长h值的减小而更加精确， 更加趋近于准确值。复合梯形公式和复合辛普森公式计算出的结果进行比较， 发现复合辛普森公式计算出的结果更加的精确。3、龙贝格算法：通过龙贝格算法，当要求积分计算结果达到精度为10 -4时：实验所得结果为-0.444397853439930，而当要求的计算精度达到10-6时，计算所得结果为-0.444444031558047。计算结果为：0b - a001b - a0 0.44418201282637

17、40 0.4443281508499710.44433154026019200.4443961583271760.4443970058815330.4443978534399304、自适应辛普森算法：输入 s1=Self_Adaptive_integral(0.0000001,1,0.01)时运算所得结果为-0.444429266226068；输入 s2=Self_Adaptive_integral(0.0000001,1,0.0001)时，运算结果也是-0.444438106512192；设计总结：虽然此次课程设计时间不是很长，但是还是让我学会了不少。不仅是运筹学 知识的应用还是对于数值分析中多种数值计算方法的回顾，都让我对于专业知识 得到进一步地加深理解。本课程设计也让我更加熟练地掌握了应用MATLAB编写 相应的算法求解相应的数学问题，将