新人教版九年级上册初中数学 24 圆的有关性质(含解析) 真题专项训练

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档圆的有关性质 一.选择题1. （2019江苏无锡3分）如图，PA是O的切线，切点为A，PO的延长线交O于点B，若P40，则B的度数为（）A20B25C40D50【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得PAO90，再利用互余计算出AOP50，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算B的度数【解答】解：连接OA，如图，PA是O的切线，OAAP，PAO90，P40，AOP50，OAOB，BOAB，AOPB+OAB，BAOP5025【答案】B【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关

2、系2. （2019浙江杭州3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA3，则PB（）A2B3C4D5【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OAPA，OBPB，然后证得RtAOPRtBOP，即可求得PBPA3【解答】解：连接OA、OB、OP，PA，PB分别切圆O于A，B两点，OAPA，OBPB，在RtAOP和RtBOP中，RtAOPRtBOP（HL），PBPA3，【答案】B【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键二.填空题1. （2019铜仁4分）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，A100，则DCE的度数为

3、；【解答】解：四边形ABCD为O的内接四边形，DCEA100，故答案为：1002.（2019江苏宿迁3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）求解【解答】解：直角三角形的斜边13，所以它的内切圆半径2故答案为2【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）3. （2 019江苏盐城3分）如图，点A、B、C、D、E在O上，且弧AB为50，则E

4、C_【答案】155【解析】如图，因为弧AB为50，则弧AB所对的圆周角为25，E+C=180-25=155.4. （2019广西北部湾经济区3分）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为_寸【答案】26【解析】解：设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，O的直径为26

5、寸，故答案为：26设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型三.解答题1. （2019江苏宿迁10分）在RtABC中，C90（1）如图，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F求证：12；（2）在图中作M，使它满足以下条件：圆心在边AB上；经过点B；与边AC相切（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【分析】（1）连接OF，可证得OFBC，结合平行线的性质和圆的特性可求得1OFB2，可

6、得出结论；（2）由（1）可知切点是ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出M【解答】解：（1）证明：如图，连接OF，AC是O的切线，OEAC，C90，OEBC，1OFB，OFOB，OFB2，12（2）如图所示M为所求作ABC平分线交AC于F点，作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即M为所求证明：M在BF的垂直平分线上，MFMB，MBFMFB，又BF平分ABC，MBFCBF，CBFMFB，MFBC，C90，FMAC，M与边AC相切【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，2. （2019贵阳10分

7、）如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上（1）求证：OPBC；（2）过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D如果D90，DP1，求O的直径【分析】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到AOPPOCAOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出ABCAOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到APOCOP，由AOPCOP，等量代换可得出APOAOP，再由OAOP，

8、利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60得到AOP为60，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出OBCAOP60，再由OBOC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出COB为60，利用平角的定义得到POC也为60，再加上OPOC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角OCP为60，可求出PCD为30，在直角三角形PCD中，利用30所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB4PD4【解答】（1）证明：A关于OP的对称

9、点C恰好落在O上AOPCOP，AOPAOC，又ABCAOC，AOPABC，POBC；（2）解：连接PC，CD为圆O的切线，OCCD，又ADCD，OCAD，APOCOP，AOPCOP，APOAOP，OAAP，OAOP，APO为等边三角形，AOP60，又OPBC，OBCAOP60，又OCOB，BCO为等边三角形，COB60，POC180（AOP+COB）60，又OPOC，POC也为等边三角形，PCO60，PCOPOC，又OCD90，PCD30，在RtPCD中，PDPC，又PCOPAB，PDAB，AB4PD4【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30直角三角形的性质，轴对称的性质，

10、圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键3. （2019天津10分）已经PA,PB分别与圆O相切于点A，B，APB=80，C为圆O上一点.如图，求ACB得大小；如图，AE为圆O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求EAC的大小.【解析】（I）如图，连接OA，OBPA,PB是圆O的切线，OAPA，OBPB即：OAP=OBP=90APB=80在四边形OAPB中，AOB=360-OAP-OBP-APB=100在圆O中，ACB=AOBACB=50（II）如图，连接CEAE为圆O的直径ACE=90由（1）知，ACB=50，BCE=ACE-ACB=40BAE=BCE=4

11、0在ABD中，AB=ADADB=ABD=又ADB是ADC的一个外角，有EAC=ADB-ACBEAC=204.（2019浙江杭州12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，ODBC于点D，连接OA（1）若BAC60，求证：ODOA当OA1时，求ABC面积的最大值（2）点E在线段OA上，OEOD，连接DE，设ABCmOED，ACBnOED（m，n是正数），若ABCACB，求证：mn+20【分析】（1）连接OB、OC，则BODBOCBAC60，即可求解；BC长度为定值，ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）BAC180ABCACB180mxnxBOCDOC，而AODCOD+AO

12、C180mxnx+2mx180+mxnx，即可求解【解答】解：（1）连接OB、OC，则BODBOCBAC60，OBC30，ODOBOA；BC长度为定值，ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：ADAO+OD，ABC面积的最大值BCAD2OBsin60；（2）如图2，连接OC，设：OEDx，则ABCmx，ACBnx，则BAC180ABCACB180mxnxBOCDOC，AOC2ABC2mx，AODCOD+AOC180mxnx+2mx180+mxnx，OEOD，AOD1802x，即：180+mxnx1802x，化简得：mn+20【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解

13、直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），AODCOD+AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/26 17:11:54；用户邮箱学号：24559965.（2019四川自贡8分）如图，O中，弦AB与CD相交于点E，ABCD，连接AD、BC求证：（1）；（2）AECE【分析】（1）由ABCD知，即+，据此可得答案；（2）由知ADBC，结合ADECBE，DAEBCE可证ADECBE，从而得出答案【解答】证明（1）ABCD，即+，；（2），ADBC，又ADECBE，DAEBCE

14、，ADECBE（ASA），AECE【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等6.（2019浙江湖州10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（3，0），B（0，3）（1）如图1，已知P经过点O，且与直线l1相切于点B，求P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆当点Q与点C重合时，求证：直线l1与Q相切；设Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN问

15、：是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）证明ABC为等腰直角三角形，则P的直径长BCAB，即可求解；（2）证明CMACsin4542圆的半径，即可求解；（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）如图1，连接BC，BOC90，点P在BC上，P与直线l1相切于点B，ABC90，而OAOB，ABC为等腰直角三角形，则P的直径长BCAB3；（2）过点作CMAB，由直线l2：y3x3得：点C（1，0），则CMACsin4542圆的半径，故点M是圆与直线l1的切点，即：直线l

16、1与Q相切；（3）如图3，当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQNQ，MQN90，设点Q的坐标为（m，3m3），则点N（m，m+3），则NQm+33m+32，解得：m3；当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m3；故点P的坐标为（3，63）或（3+，6+3）【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏7. （2019广西贺州10分）如图，BD是O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与O相切于点A，交DB的延长线于点F，F30，BAC120，BC8（1）求ADB的度数；（2）求AC的长度【分析】（1）由切线

17、的性质得出AFOA，由圆周角定理好已知条件得出FDBC，证出AFBC，得出OABC，求出BOA903060，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BECEBC4，得出ABAC，证明AOB是等边三角形，得出ABOB，由直角三角形的性质得出OEOB，BEOE4，求出OE，即可得出ACABOB2OE【解答】解：（1）AF与O相切于点A，AFOA，BD是O的直径，BAD90，BAC120，DAC30，DBCDAC30，F30，FDBC，AFBC，OABC，BOA903060，ADBAOB30；（2）OABC，BECEBC4，ABAC，AOB60，OAOB，AOB是等边三角形，ABOB，OBE3

18、0，OEOB，BEOE4，OE，ACABOB2OE【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OABC是解题的关键8. （2019广西贺州10分）如图，BD是O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与O相切于点A，交DB的延长线于点F，F30，BAC120，BC8（1）求ADB的度数；（2）求AC的长度【分析】（1）由切线的性质得出AFOA，由圆周角定理好已知条件得出FDBC，证出AFBC，得出OABC，求出BOA903060，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BECEBC4，得出ABAC，证

19、明AOB是等边三角形，得出ABOB，由直角三角形的性质得出OEOB，BEOE4，求出OE，即可得出ACABOB2OE【解答】解：（1）AF与O相切于点A，AFOA，BD是O的直径，BAD90，BAC120，DAC30，DBCDAC30，F30，FDBC，AFBC，OABC，BOA903060，ADBAOB30；（2）OABC，BECEBC4，ABAC，AOB60，OAOB，AOB是等边三角形，ABOB，OBE30，OEOB，BEOE4，OE，ACABOB2OE【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出

20、OABC是解题的关键9. （2019广东省广州市12分）如图，O的直径AB10，弦AC8，连接BC（1）尺规作图：作弦CD，使CDBC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交O于D，线段CD即为所求（2）连接BD，OC交于点E，设OEx，构建方程求出x即可解决问题【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求（2）连接BD，OC交于点E，设OExAB是直径，ACB90，BC6，BCCD，OCBD于EBEDE，BE2BC2EC2OB2OE2，62（5x）252x2，解得x，BEDE，BOOA，A

21、D2OE，四边形ABCD的周长6+6+10+【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题10. （2019贵州省安顺市12分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H（1）判断DH与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC10，cosC，求AE的长【解答】（1）解：DH与O相切理由如下：连结OD、AD，如图，AB为直径，ADB90，即ADBC，ABAC，BDCD，而AOBO，OD为ABC的中位线，ODAC，DHAC，ODDH，DH为O的切线；（2）证

22、明：连结DE，如图，四边形ABDE为O的内接四边形，DECB，ABAC，BC，DECC，DHCE，CHEH，即H为CE的中点；（3）解：在RtADC中，CDBC5，cosC，AC5，在RtCDH中，cosC，CH，CE2CH2，AEACCE52311. （2019广西北部湾经济区）如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，AB=6，AD平分BAC，交BC于点E，交O于点D，连接BD（1）求证：BAD=CBD；（2）若AEB=125，求的长（结果保留）【答案】（1）证明：AD平分BAC，CAD=BAD，CAD=CBD，BAD=CBD；（2）解：连接OD，AEB=125，AEC=55，AB为O直

23、径，ACE=90，CAE=35，DAB=CAE=35，BOD=2BAD=70，的长=【解析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到AEC=55，根据圆周角定理得到ACE=90，求得CAE=35，得到BOD=2BAD=70，根据弧长公式即可得到结论本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键12. （2019广东省广州市12分）如图，O的直径AB10，弦AC8，连接BC（1）尺规作图：作弦CD，使CDBC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长【分析】

24、（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交O于D，线段CD即为所求（2）连接BD，OC交于点E，设OEx，构建方程求出x即可解决问题【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求（2）连接BD，OC交于点E，设OExAB是直径，ACB90，BC6，BCCD，OCBD于EBEDE，BE2BC2EC2OB2OE2，62（5x）252x2，解得x，BEDE，BOOA，AD2OE，四边形ABCD的周长6+6+10+【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题13. （2019贵州省安顺市12分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H（1）判断DH与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC10，cosC，求AE的长【解答】（1）解：DH与O相切理由如下：连结OD、AD，如图，AB为直径，ADB90，即ADBC，ABAC，BDCD，而AOBO，OD为ABC的中位线，ODAC，DHAC，ODDH，DH为O的切线；（2）证明：连结DE，如图，四边形ABDE为O的内接四边形，DECB，ABAC，BC，DECC，DHCE，CHEH，即H为CE的中点；（3）解：在RtADC中，CDBC5，co