高中数学必修二 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1、8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一二 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1.思考(1)在初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,那么相应几何体的展开图与其表面积有什么关系?提示相等.一二(2)棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?提示展开图如图所示.几何体表面积等于围成它的各个面的面积的和.要求表面积,只需求出围成几何体的各个面的面积,然后求和即可.一二2.填空:棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.3.做一做正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为,表面积为.一二二、棱柱、棱锥、

2、棱台的体积1.思考(1)棱长为a的正方体体积为多少?长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体积是多少?提示分别是a3与abc.(2)等底等高的棱柱和棱锥,它们的体积之间有什么关系?提示等底等高的棱锥体积是棱柱体积的 .(3)棱台与棱锥有什么关系?如何求一个棱台的体积?提示棱台是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,它的体积可用原棱锥体积减去截得的上部小棱锥的体积求解.一二2.填空 (1)一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh.(2)一般地,如果棱锥的底面积是S,高是h,那么这个棱锥的体积(3)如果棱台的上、下底面面积分别为S,S,高是h,那么这个棱台的体积V棱台=

3、一二3.做一做如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:正四棱柱的体积为V=S正方形ABCDAA1=122=2.探究一探究二探究三随堂演练棱柱、棱锥、棱台的表面积例1如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当PO1=2 m,PA1=4 m时,求帐篷的表面积.分析帐篷的表面积即上部棱锥侧面积与下部棱柱侧面积之和.探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练反思感悟 求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面

4、积,其次观察几何体形状,是已知的棱柱、棱锥、棱台,还是由这些几何体形成的组合体,再利用公式准确计算相关的面积,从而求解.探究一探究二探究三随堂演练延伸探究 若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”,表面积为多少?探究一探究二探究三随堂演练棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2V1.(1)求V1,V2以及V1V2;(2)求点A到平面A1BD的距离d.分析(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)

5、利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解.探究一探究二探究三随堂演练解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面ABD是腰长为a的等腰直角三角形,探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练反思感悟 求几何体体积的常用方法探究一探究二探究三随堂演练延伸探究 若【例2】中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论. 解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面ABD是两直角边分别为a,b的直角

6、三角形,其面积探究一探究二探究三随堂演练与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题例3一个正四棱锥的底面边长为3 cm,侧棱长为5 cm,则它的体积为cm3,表面积为cm2.分析由已知求得正四棱锥的底面积与高,代入棱锥体积公式可得体积;求出侧面上的高,结合条件可求表面积.探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练反思感悟 正棱锥的性质如下:正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高;棱锥的高、斜高及斜高在底面的射影组成一个直角三角形;棱锥的斜高、侧棱及底边边长的一半组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱及侧棱在底面的射影组成一个直角三角形;顶点在

7、底面的射影为底面(正多边形)的中心;棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形.探究一探究二探究三随堂演练变式训练正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm,两底面之间的距离为2 cm,则该四棱台的侧面积为.解析:如图,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1为侧面等腰梯形的高,过E1作E1H垂直于OE,垂足为H,OO1=2 cm,O1E1=1 cm,OE=3 cm,HE=2 cm.探究一探究二探究三随堂演练1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为()答案:B解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.2.已知高为3的直棱柱ABC-ABC的底面是边长为1的正三角形(如图所示)