线性代数线性代数

1、第三章矩阵的初等变换 本章通过引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，然后再利用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组.3.1 矩阵的初等变换3.2 矩阵的秩3.3 初等矩阵3.4 线性方程组的解第一节矩阵的初等 变 换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。引例：用消元法解下面的线性方程组 在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(2)交换方程组中两个方程的位置；(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。上述的三种操作又都是可逆的，因而

2、变换前的方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(2)交换两行元素的位置；(3)给某一行所有元素乘常数 k 加到另一行的对应元素上去。定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1)交换两行(记为rirj);2)以数k 0乘某一行所有元素（记作rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（记作ri+krj ）把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的

3、初等变换。 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换rirj的逆变换就是本身；变换 rjk 的逆变换为 rjk ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，称矩阵 A与 B是等价的，记为AB 。矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： A A 对称性： AB ，则B A 传递性： AB， B C，则A C在数学上，我们把满足上述三条性质的关系称之为等价。由前面的引例可以看出，同时也不难证明对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵。对行最简矩阵再施以列的初等变换，行最简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵

4、，称它为矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是：其左上角是一单位矩阵，其余元素全是零。可以证明，任何一个mn阶矩阵 A，都可以经过初等 此标准形由m、n、r三个数完全确定，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵。变化化为标准形F。第二节矩阵的秩 在mn阶矩阵A中，任取k行与k列(km，k n)，位于这些行列交叉点处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。 mn阶矩阵A中的k阶子式共有 个。 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r1阶子式(如果存在的话)全

5、等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于0。由行列式性质可知，在 A中当所有r1阶子式全等于零时，所有高于r1阶的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数。由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩阵的秩是相等的。定理：若AB ，则R(A)= R(B)证：先证明：若A经过一次行的初等变换变为B，则 R(A) R(B) 设 R(A) = r，且 A的某个r 阶子式 Dr 0. ，在B中总能找到与Dr相对应的子式Br，由于Dr= Br或Dr= Br或Br= kDr，因此Br0，从而R(B)r。 以上证明了A经过一次

6、行初等变换变为 B时，有R(A)R(B).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那么同样有R(A)R(B).所以有 R(A)R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。 设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可知， R(AT)=R(BT)又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B)所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。第三节矩阵的初等 变 换定义：由单位矩阵 E 经过一次

7、初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换所对应的三个初等矩阵为 设矩阵Amn，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k)， En(i(k)，Em(ij(k)， En(ij(k)，则可以验证：定理1.设 A是一个 mn 阶矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘以相应的 m 阶初等阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A右乘以相应的 n 阶初等矩阵。初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵利用初等变换求逆矩阵的方法，还可用于求A1B.由 A1(A|B)=(E|A1B)可知，若对矩阵(A|B)施行初等行变换，当把A变为E时，B就变为A1B.第四节线性方程组 的 解在解线性方程组时，对于齐次线性方