材料力学第七章课后题答案弯曲变形

1、第七章弯曲变形已知弯曲刚度刃为常数，试计算横截面7? 2图示外伸梁WC,承受均布载荷q作用 C的挠度与转角，。B的支反力分别为题7-2图解：1建？挠曲轴近似微分方程并枳分支座加与肋段（OWxiS:d%l _ 弘A - - - A1 dxf 2EIdiqaTEI(a)(b)du 2EI(c)24 EI -C*)X* + Dr(d)2确定积分常数梁 的位移边界条件为在勺=0处，W =0连续条件为在X = a处叫=0C)在 Xi =x3 = a it, vpj =w2在可二乂 2=4处,E曲dX2由式(b)、条件(1)与(2),由条件(4)、式(a)与(c)，得由条件(3)、式(b)与d),得3计算

2、截面C的挠度与转角将所得枳分常数值代入式(0与()得CE段的转角与挠度方程分别为&严_2对+垃-6EI - 3EIw_L +理”爱- 24EI - 3EI - 14EI将X2=0代入上述二式，即得截而 C的转角与挠度分别为O =八一(U) 3EI叱一宜)24E1A/ e(b)7-3图示各梁，弯曲刚度刃均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的 致形状。3币0 F(乙We2a C aD a题7-3图解：族梁的弯矩图及挠曲轴的人致形状示如图7-3o7? 6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为Mi与他的力偶。如欲使挠曲轴的拐点位离左端 3处，则力偶矩Mi与卫保持何种关系。13题7-6图

3、解：梁的弯矩图如图7-6所示。依题意，拐点或M=0的截而，应在x=l/3处，即耍求 一，-13 3由此得M = 2M图767-7在图示悬臂梁上，载荷f盯沿梁轴移动。如欲使载荷在移动时始终保持相同的高度，则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度创为常数题7-7图解：在位丁磁而x的敦荷F作用卜？，该截而的挠度为w(x) = -A-(1)3EI因此，如果将梁预弯成Fl w(x)=一 3EI的形状，则当我荷F沿梁轴移动时，我荷始终保持同样高度。7? 8图示悬臂梁，弯曲刚度刃为常数。在外力作用卜，梁的挠曲轴方程为 v=ax3式中，a为已知常数。试训梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的瑕荷。题7-8图M = EI

4、A = 6EIaxdv2一=6Elack梁的剪力、弯矩图如图7-8所示。r 516卜为“ 困 H I2.外力分析在区间缶5内.由上式与剪力弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中载荷由剪力、弯矩图可知，截面占的剪力与弯矩分别为耳 B = 6EIaMB. =6EIal在梁端切取微段B B.并研究其平衡，得作用在截面B的集中力与集中力偶矩分别为F = 6EIa (I)Me = GEIal (0)7-9图示各梁，弯曲刚度刃均为常数 的挠度。试用奇异函数法计算截面 B的转角与截面C(ar2彳a LC aD aa(d)7-9图(a)解：1?求支反力宙梁的平衡方程工M严0和先v=O,得行唱心哙

5、(I)2.建立挠曲轴近似微分方程并枳分n力向右取坐标x,由题图可见，弯矩的通用方程为挠曲轴的通用近似微分方程为将其相继积分两次，得EIAAx2dx 4aElw =3?确定积分常数 梁的位移边界条件为：aA + Cx +D将条件(c)代入式,4.建立挠曲轴方程将所得C12与Q值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为(c)(d)在 x = 0 处.w = 0在 x = la 处，w =0D=0W =，如 X 3 -叫 X -a)2-如 xEllla 2 /由此得SC段与CB段的挠曲轴方程分别为叫尸，(坐，-如x)r Ellla 2 121 El 12a12W 一，坐坐(XT)?-仝X5.计算Wc和将x

6、 = a代入上述叫或w?的表达式中.得截面C的挠度为Wc = 0将以上所得C值和x = 2a代入式G),得截而8的转角为AAT QJ 4Me.7-BEr 4a e 12(b)解：1?求支反力12E17由梁的平衡方程工M厂0和工母=0.得(T)4 I%=gqa(T)42.建立挠曲轴近似微分方程并积分自力向右取坐标X,由题图盯见，弯矩的通用方程为3qax -_4 _挠曲轴的通用近似微分方程为+y-dw 3qaEL- = -h-4将其相继积分两次，得3?确定枳分常数(C)(d)梁的位移边界条件为Ax=O处,w=0低=2a处，w=0将条件(c)与(d)分别代入式(b),得3qa34.建立挠曲轴方程将所

7、幺寸C与Q值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为宙此fl AC段与段的挠曲轴方程分别为吩斗竺知磐)EI 85.计算Wc和&B将x = a代入上述叭或巧的表达式中，得截而 C的挠度为%二江 Q)c 48EZ将以上所得C值和“2我入式(a),得截而的转角为& =J_K 笈a)2_ (2a)3+?(2a-a)A亚卜巫.(0) B ET 8 6 6 1648EZ(c)解：1.求支反力由梁的平衡方程工F严0和工M? = 0,得FA=F (I), Ml=AFa (U)2.建立挠曲轴近似微分方程并积分自/向右取坐标X,由题图可见，弯矩的通用方程为M = Fx + Y( X - a) +。-2a挠曲轴的通用近似

8、微分方程为刃葺=乎一用+警x-af + F 将其相继积分两次，得刃包二乞-A 2 + 2ALx a)+ x 2aF + Cdx 2222EIw =乎 x, -Ax3 4- a) 2 + y(x - 2a)3 + Cx + D3?确定枳分常数该梁的位移边界条件为：Ax=O处，w=0(c)(d)必=0处，八=0dx将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a),得D=0, C=0.建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为1【Fa 2 F 3 3Fa /2 , F/ . 3】Er 464 6X 山此fj AC段、CD段和段的挠曲轴方程依次为EI 4，(竺2(兀一*(x-aF+ (

9、X-2a)3O.计算和卷将x = a代入上述W或叫的表达式中,得截面C的挠度为Fa312EI将以上所得C值和X = 3d代入式(a) ?导截面B的转角为1 Fa F ? 3Fa F Fa 盼亍？)-尹严右卞苗(d)解：1?求支反力由梁的平衡方程工 M = 0和为耳=0?得=4qa,F&=罟ga (T)2.建立挠曲轴近似微分方程并积分口力向右取坐标X,由题图盯见，弯矩的通用方程为12 6a 6a_挠曲轴的通用近似微分方程为E-=h _ x_q_x3+Q_x_a 3dx- 12 6a 6a将直相继积分两次，得(a)刃也=空壬-旦J+且a-ar + Cdx 2424a24a/=等金备F + C+Q(

10、b)3.确定积分常数梁的位移边界条件为:在 x = 0 处，w =0(c)(d)将条件(C)代入式(b),得将条件(d)代入式,得c 187C= 720qa4.建立挠曲轴方程 将所得C与Q值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为“却等备+朗7-瞬刃由itUAC段与CB段的挠曲轴方程分别为1 Jqa 弓 q1 El 72120u187八3720 x)1 Jqa(EP 72187ga3120a720 x5 ?计算Wc和卷将x = a代入上述叫或叫的表达式中,得截面C的挠度为jA Q) 240 刃将以上所得O值和x = la代入式(a),得截面B的转角为_gn3r7x4 161187 2030一百寸一币

11、+币一丽一 720E1()7-10 图示各梁，叭1111刚度刃均为常数试用叠加法计算截而万的转角与戏而挠度。1/2 IQ(b)题7? 10图(a)解：LljF产生的位移为F13(6如=(I)由产生的位移为14 I 23EI (I) 6EI图 7-10b由图(1)可得截面B的转角为EI 2由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面C的挠度为Fl Fl 3 Fl_3 11F13_ + - + -=-es(-)0、2，c BWq = W R + + Wc =+ + (?)C3 16EI 8E1 14EI 4SEI解:AB梁段及BC段的受力卜#况示如图7-1 Oc( 1)和(2) ?I*-& U HYPE

12、RLINK l bookmark6 o Current Document 11 “ 1J11； 111 hl h; J b! B!c图7-10c由图仃)可得截面占的转角为弘总，1如If)24EI 3EI 2 24EI由图和图(2)，应用叠加法得截面C的挠度为yvc=0g-a+wcA= (b 2-4a2)-八-24EI(b3-4a2b-3a3)SEI 24 ElM小、八2 = - (O), Wy =应用叠加法，得截面8的转角及截面C的挠度分别为c c c Fl 2 M.I (O)卷=0别+ 0沪=-+B 肌 B. 16 EI 3EI3(/)F13,八九广(b)解:AB梁段及BC梁段的受力卜#况示

13、如图7-10b (1)和。(d)解：求色时可以书中附录E的7号梁为某础，以x代替G以q(r)dr代桥F,写出万 端截 面的微转角式中，q(Q为截面工处的我荷集度，其值为能尸夕卜(b)将式(b)代入式(a)后两边枳分，即得截面B的转角为(O)求可以教材附录E中8兮梁为某础，所求截面C的挠度为表中所列0的一半，即一刃昇|w =3 = (I)2 76SEI7-12 图示外伸梁，两端承受载荷F作用，弯曲刚度刃为常数。试问：当x/Z为何值时，梁跨度中点的挠度与门宙端的挠度数值相等;当x/Z为何值时，梁跨度中点的挠度最人。/(a)/?2丫解:题7-12图在端点力偶炉M作用F.跨度为Q的简支梁的中点挠度为M

14、.a2C 16EI将梁端载荷F简化到截而刀与G遂寸简支梁QG的受力如图b所示，梁端各作用-附加力偶矩用。根据上述公式，简支梁 DG中点的挠度为fc = 2 Fxl-的6ei 用(/-2X)2(al在上述二力偶矩作用F,截面D的转角为_&(/-2x) | &(Z-2x)用(/-2x)8E13E1 -+-6EI1E1 -所以，外伸梁端点/的挠度为(0)以3EI3EI 2EI为使梁跨度中点C与梁端/I的挠度数值相等.即使C)Fx(l八2x) 2 _Fx3SEI 3 1E1 -xx=0.152Z为使梁跨度中点C的挠度最人，由式(a),并令 (-8/x+12x2)=0dSEI7-14 图示各刚架,各截面

15、的弯曲刚度与扭转刚度分别为 EI与Gh试用叠加法计算 自 由端形心C的水平与铅垂位移。题7-14图(a)解：由图7-14a可以看出，在力偶矩加作用下，杆段应的截面乃产生水平位移心与 转角如.直值分别为令=(亦=匣2EI 1EI )e (Fa)h = FahEl El由此得截面C的水平与铅垂位移分别为处处饕32幕他*幕(Z)()图 7-14(b)解：由图7-14b可以看出，杆段肋处于弯扭受力状态，截面方的铅垂位移与转角分 别为风兽3)卷看(O)由此得截而C的水平与铅垂位移分别为0)JE+加+空丈+型+空3EI3EI 3EI GI, 3EI7-16 试用鲁加法计算图示以阶梯形梁的报人挠度。设惯性

16、八/2 = 2ZI题7? 16图(a)解：容易判断，最人挠度发生在截面 和皿作用厂有C处(见卜？图)。如图7-163(1)所示，梁段在F空+空2EI EI 23牝2 _3兀22EI? 4 (O)Fa35 兀 3_ 5 皿 3B =为一6Eg 12 场 3)3E4 1EI.B c =A B +由图(2)可得4C= ER3)/后，应用叠加法求得址人挠度为(a)泄+遁七+空虽12 场 4EZ 3EI、 2(b)解:不难判断，最大挠度发生在中间截而G处G /),中(2)图7-如图7? 16b(l)所示，由？左右对称，16bihiG的转角必然为冬。由此盯将图求仙的问题转化为图所示悬宵梁求挠度公的问题，并

17、盯利用木题G)中所得的结果，只需将式(a)q?的F更换为F/2即可。址后求得的最人挠度为j=jo=jfi=M(T尸W 7-17 图示悬臂梁，承受均布载荷q与集中载荷/作用。材料的弹性模昴为E,试计算梁端的挠度及其方向q题 7? 17解:gZ4 _ llqlj _ 3qlJ 什8E A 8Eb(2b16Eb )llql 4 _2ql A3EIs 3E(2b)b 3 Eb4梁端的总挠度为其方向示如图7-17，由图可知.4 5.36图 7-177-19 试求图示各梁的支反力。设弯曲刚度刃为常数4-王;卜|12 I* 12 rl:qtIrIII rrj |IItII tI(b)题7? 19图G）解：此

18、为三度静不定问题？但仃反对称条件盯以利用。此题以解除多余内约束较为方便。在作用面方处假想将梁切开，并在其左、右面各施加-MJ2.在切开截而仅方反对称内力存在，示如图 7-19ao1/2 *2 1+匚卫21B图 7-19a变形协调条件为截而B的挠度Z所以为零，这是由反对称条件决定的。利用叠加法，得茁牛）（少-3（i）33EI 2将式（b）代入式（a）,于是得(b)21方向如图所示。据此可求得Jt它支反力为M盯牛（U）4佗？呼山Me 考（ ）4（b）解：此为两度静不定问题。盯在梁问饺占处斛除耕余约束，得该静不定结构的相当系 统如图7? 19b所示。图 7-19b变形协调条件为(d)物理关系为Wp =理_伦d=旨3艮Sei 3ei ?艮 3EI(e)将式(e)代入式(d),得总16曲相当系统的平衡条件，求得It它支反力为M严誉(O).皿心二誉(O)7-21 题7二0所示传动轴，由丁 ？加工谋差，轴承C处的位置偏离轴线5试计算安装后轴内的最人弯曲止 W力。C知轴的弹性模 W: = ZOOGPae解：此为一度静不定问题。传动轴的相当系统示如图7-21o变形协调条件为% =3ABC0.25mm,(a)图 7-21在多余支反力佗.作用卜？，截面C的挠度为2尸丁Wc =(b)将式(b