关于数项级数敛散性判定

1、关于数项级数敛散性判断关于数项级数敛散性判断关于数项级数敛散性判断关于数项级数敛散性的判断1、问题的提出数项级数敛散性的鉴识问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无量多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因此级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其鉴识方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无量级数已经浸透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不行缺乏的工具，所以研究数项级数的判断问题是很重要的.2、熟练掌握并正确应用级数的看法、性质和判判定理2.1数项级数收敛的定义数项级数un收敛数项级数un的部分和数列Sn收敛于S.n1n1这样数项级数的敛散性问题

2、就可以转变成部分和数列Sn的极限能否存在的问题的谈论，但因为求数列前n项和的问题比较困难，甚至可能不行求，所以，在实质问题中，应用定义判其余状况较少.2.2数项级数的性质（1）若级数un与vn都收敛，则对任意常数c,d,级数(cundvn)亦收敛，且n1n1n1(cundvn)cundvn;相反的，若级数(cundvn)收敛，则不行以推出级数un与n1n1n1n1n1vn都收敛.n1注：特别的，关于级数un与vn，当两个级数都收敛时，(unvn)必收敛；当此中一个n1n1n1收敛，另一个发散时，(unvn)必定发散；当两个都发散时，(unvn)可能收敛也可能发散.n1n11111例1判断级数n

3、1(3n5n)与级数n1(n2n)的敛散性.11(11解：因为级数n13n与级数n收敛，故级数nn)收敛.n15n135因为级数1发散，级数1n收敛，故级数(11n)发散.n1nn12n1n2（2）改变、增添或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项序次的状况下，对它的各项任意加括号后，获取的新级数还是收敛的；加括号后获取的新级数发散，那么原级数也是发散的.例2判断级数1111的敛散性.2-1-1n1n12解：先观察级数11，因为un112，而级数2发n1n1n1n1n1n1n1n1散，因为加括号

4、后获取得新级数发散，则原级数发散.（4）级数收敛的必需条件若级数un收敛，则limun0.若limun0，则级数un发散.n1nnn12.3判判定理级数收敛的柯西准则级数un收敛0,NN*,使合适mN以及pN*,都有n1um1um2ump.例1用柯西准则鉴识级数sin2n的敛散性.2n证明：因为um1um2umpsin2m1sin2m2sin2mp2m12m22mp1111112m12m22mp2m2mp2m所以，关于任意的0.取Nlog21使合适mN及任意的pN,由上式就有um1um2ump建立，故由柯西准则可推出原级数收敛.正项级数鉴识法（1）正项un收敛它的部分和数列Sn有界.n11（2

5、）比较鉴识法假如un和vn是正项级数，若存在某整数N，对全部nN都有unvnn1n1(i)若级数vn收敛，则级数un也收敛；（ii）若级数un发散，则级数vn也发散.n1n1n1n1等比级数和P-级数的敛散性等比级数aqnaaqaq2aqn，当q1时，级数收敛；当q1时，级数n1发散.P-级数1，当p1时，发散；当p1时，收敛.n1np例2鉴识级数1的敛散性.n4n11111收敛，由比较鉴识法知该级数收解：因为un5，并且P-级数5n4n1n4?nn2n2敛.（3）比较鉴识法的极限形式假如un和vn是正项级数(vn0)，假如limunl，则vnn1n1n（i）当0l时，un和vn同时收敛或发散

6、；（ii）当l0时，vn收敛时，unn1n1n1n1也收敛；（iii）当l时，vn发散时，un也发散.n1n1例3鉴识级数na1a1的敛散性.解：因为limna1令t1limat1limatlnalna,而正项级数1发散，由比较原则n1nt0tt01nn的极限形式知原级数发散.(4)比式鉴识法假如un1，un为正项级数,且n1un（i）若01，则un收敛；（ii）若1，un发散.n1n12例4鉴识级数n1!的敛散性.10n解：因为limun1limn2!10nlimn2，所以由比式鉴识法知原级数发散.n1?nunn10n1!n10(5)比式鉴识法的极限形式假如unun1，则为正项级数，且lim

7、n1nun（i）若1，则un收敛；（ii）若1或时，un发散.n1n1例5鉴识级数3n?n!的敛散性.nn解：因为limun1lim3n1n1!nnlim33n1?nn1，所以由比式鉴识法的极限形nunnn13n!n1e1n式知原级数发散.（6）根式鉴识法假如un为正项级数，（i）假如nun1，则un收敛；（ii）若nun1，n1n1则级数un发散.n1(7)根式鉴识法的极限形式假如un为正项级数，还有limnun，nn1（i）当1时，则un收敛；（ii）当1时，则un发散.n1n1nn例6鉴识级数的敛散性.2n1nnn1解：因为limn1，所以由比式鉴识法极限形式知原级数收敛.2n1lim2

8、nn2n1(8)积分鉴识法若f(x)为1,)上的非负减函数，那么正项级数f(n)与失常积分f(x)dx同时1收敛或同时发散.例7鉴识级数1的敛散性.n21解：设fx1x在1,dx，则f)上为非负单调递减函数，而4x2111x2故由积分鉴识法知原级数收敛.3(9)Raabe鉴识法设un0，Rnnun1,n1,2,.un1(i)若存在q1及正整数N,使合适nN时有Rnq，则级数un收敛；n1(ii）若存在正整数N,使合适nN时有Rn1，则级数un发散.n1(10)Raabe鉴识法的极限形式设un是正项级数，且有limRnr，nn1（i）若r1,则级数un收敛；n1（ii）若r,则级数un发散.1n

9、1例8鉴识级数2n1!12n!2n1的敛散性.解：简单考据，因为1n这个级数用比式鉴识法和根式鉴识法都无效，这时可以用Raabeun1n2n22n316n5n3鉴识法.此时，Rnn2n222n12nun12.由Raabe鉴识法知原级数收敛.正项级数的鉴识方法有很多种，下边总结一下这几种方法的选择序次:若limun易于求的，观察nlimun的值：limun0，则依照级数收敛的必需条件，知级数发散；若limun0，不可以直接判断nnn级数是收敛还是发散，此时用比式鉴识法或根式鉴识法，当1时，级数收敛；若1或时，级数发散；当1时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较鉴识法，找出一个已知敛散性的级数与之

10、比较，而后依据比较鉴识法或其极限形式判断级数的敛散性，自然，关于一些详尽问题，我们应该依据其特色分析，找到更简单的鉴识方法.2.3.3一般项级数的鉴识方法（1）交织级数鉴识法Leibniz鉴识法若交织级数(1)n1un（un0），满足下述两个条件：（i）数列un单调递n1减；（ii）limun0,则级数收敛.n4注：用Leibniz鉴识法判断unun1时，可以用以下几种方法：比值法：观察能否有un1；un1差值法：观察能否有unun10；导数法：即建立一个连续可导的函数f(x)，使f(n)un(n1,2,)，观察能否有f(n)0.例9判断级数(1)n1(nn1的敛散性.n11)lnn1解：因为

11、此级数为交织级数，设unn1，易证limunlimn10，n1lnnn1lnn11nn下边判断unun1，下边我们用导数的知识判断数列un单调递减.设f(n)unn1，1lnn1n则fnunlnn1n，又设gnlnn1n，则gn10,gnn2ln2n11单1n1调递减，gng0，fn0，fn单调递减，unun1，由Leibniz鉴识法，知原级数发散.（2）绝对收敛若级数un各项绝对值构成的级数un收敛，则原级数绝对收敛.n1n1性质：绝对收敛的级数必定收敛.此定理的抗命题不行立，即：若un收敛，不可以判断un也n1n1收敛.（3）Abel鉴识法若an为单调有界数列，且级数bn收敛，则级数anb

12、n收敛.n例10判断级数1n1114arctann的收敛性.n2lnnnn解：依据Leibniz鉴识法知级数-1n1收敛.因为11递加有界，故由Abel鉴识法n2lnnn1n111n知级数收敛，又因4arctann递减有界，再由Abel鉴识法知原级数收敛.n2lnnn(4)Dirichlet鉴识法5若数列an单调递减，且liman0，又级数bn的部分和数列有界，则级数anbn收敛.n例11判断级数sinnx,x0,20的敛散性.n1n解：因为当x0,2时，有sinkx1，即sinnx的部分和数列有界，而数列xk1n1sin210单调递减，且lim10，故由Dirichlet鉴识法知，原级数收敛

13、.nnn关于交织级数敛散性判断问题，应先判断其能否绝对收敛，即若un收敛，则un收敛;若不n1n1是绝对收敛，则依据Leibniz鉴识法，Abel鉴识法，Dirichlet鉴识法判断其能否条件收敛.3、奇妙鉴识数项级数敛散性以上介绍了一些鉴识数项级数敛散性的基本方法，但是在实质的应用中常常需要多种方法结合，且有时还有必定的技巧性，下边结合一些实例列举一些常用的鉴识方法和技巧.3.1等价无量小替代的方法判断级数敛散性应用定理：设un和vn是两个正项级数，且当nun和vn为等价的无量小量，则un时，n1n1n1和vn的敛散性保持一致.n1证明：因为当n时，un和vn为等价的无量小量，即limun1

14、0，由比较鉴识法的极限形vnn式可知级数un和级数vn同时收敛或同时发散.n1n1-1nln11例1判断级数nn14n24n1的敛散性.1n11nln111ln11解：设unn，则unnn24n24n2,n，而级数4n4n114n4n61收敛，所以原级数绝对收敛.n13n23.2运用常用不等式判断级数的敛散性常用的不等式有：lnnn，ln1xx，ex1x例2判断级数1lnn1的敛散性.n1nn解：此题我们可以利用不等式ln1xx，有un1lnn11lnn1ln1111nnnn1nn1nn1因为级数11收敛，故原级数收敛.nn1n13.3运用均匀不等式ab1a2b2判断级数敛散性2应用定理：若级

15、数an2和级数bn2都收敛，则级数anbn绝对收敛.n1n1n1证明：已知级数an2和级数bn2都收敛，依据级数收敛的性质，则级数1an2bn2收敛，n1n12因为有不等式anbn1an2bn2，再依据比较鉴识法，知级数anbn收敛，所以级数anbn绝对2n1n1收敛.例3设常数0，级数an2收敛，判断级数1nan的敛散性.n1n1n2解：因为级数an2收敛，并且级数211也收敛，所以级数an221收敛，n1n1nnanan1121，由比较鉴识法可知，级数an收敛，又因为ann2n2n22n2故原级数绝对收敛.3.4拉格朗日微分中值定理判断级数敛散性应用定理：设fx在0,1内可导，且其导函数有

16、界，则级数1f1f绝对收n1nk1nk2敛.7证明：因为fx在0,1内可导，且其导函数有界，所以存在M0，关于全部x0,1，都有fxM,于是由拉格朗日中值定理得1f1f11Mk2k1，fnk2nk1nk2nk1nk2nk1因为级数1收敛，所以级数f1f1绝对收敛.nk2n1nk1nk2n1nk1例4判断级数sin1sin1的敛散性.10nn1n1解：设函数fx1x11x有界，令k110,k21，因为满足sin，则fx2cos，知fxx上述定理条件，故级数sin1sin1收敛.n10n1n13.5对数鉴识法判断级数敛散性ln1应用定理：若级数un为正项级数，如有0，使合适nun1，则级数unn0

17、时，n1lnnn1ln1收敛，如有nn0时，un1，则级数un发散.lnnn11ln证明：假如nn0时，不等式un1建立，则有un1.因为级数1收敛，所以lnnn1n1n1ln1由比较鉴识法知级数un收敛.同理可证，当不等式un1成立刻，则级数un发散.n1lnnn1例5判断级数alnna1的敛散性.n12n12nlnlnalnnnln2lnn?lnanunlna，解：因为lnnlnnln2lnnlnn由洛必达法规可知：limln2nlnaln2limxlnaln2lim1lnanlnnnlnxn1x80，存在n0，使合适nn0时，ln2n所以，对lna1，因此依据以上定理原级数lnn发散.3

18、.6泰勒睁开式判断级数的敛散性n例6鉴识级数e11的敛散性.nn1nnln111111o11no解：因为une1eeneen2n2n2e11n2nnen.因为级数e发散，所以原级数发散.2nn12n3.7拆项法判断级数的敛散性将级数的一般项运用等价变形、三角基本公式、有理化等方法拆成几项之差也是鉴识级数收敛的一种常用方法.sinn2nsin例7鉴识级数的敛散性.n2n1解：因为sinn2nsinsinn2sin，并且sinn2n2-1，因为级数1收敛，n2nn2n2n1n2sinn2sin依据比较鉴识法知级数收敛；并且，当k时，该级数收敛；当n2nn1n1该级数发散.由此可知，当k时，原级数收

19、敛；当k时，原级数发散.3.8Gauss鉴识法判断级数的敛散性时，若an0n1,2,，且annO1，0，则级数an当1时收敛；当an1n1n11时发散；而当1时，对1收敛，对1发散.例8鉴识级数pp1pn11(p0,q0)的敛散性.n1n!nq解：关于这个级数来说，anq11q1qp11n1n1p，an1pnn1n11On2nn所以它在qp时收敛，在qp时发散.3.9运用函数判断数项级数的敛散性9以前谈论的方法判断级数敛散性都与数列极限密切联系，这类方法利用函数来研究数项级数.给出了利用函数的导数和极限鉴识数项级数敛散性的的方法.应用定理1若级数f1收敛，则limfx0n1nx0证明：已知级数f1收敛，有级数收敛的必需条件得limf10，因此n1nxnlimfxlim10.fx0nn1例9鉴识级数nen1cosn的敛散性.n11ex11解