线性代数66.3正定二次型与矩阵

1、6.3正定二次型与正定矩阵教学纲目一、正定二次型二、正定矩阵三、正定矩阵的性质四、形如ATA, AAT矩阵的正定性教学要求1、理解和掌握正定二次型及相关定理。2、理解和掌握正定矩阵及相关定理。3、理解和掌握正定矩阵的性质。4、理解和掌握ATA, AAT矩阵的正定性结论。一、正定二次型引言 一元二次函数f(x)=x2在x=0处达到最小值，这是实数a0，都有f(a)=a20，而f(0)=0。因上例表明，一元二次函数f(x)=x2的最小值问题与一元二次型密切相关。一般地，n元函数的极值问题是否也与n二次型的性质有关系？与n二次型的什么样性质有关系？定义1n二次型XTAX称为正定的，如果对于Rn中任意

2、非零列向量，都有TA0。例如，33二次型XTAX=x1 +x2 +x3 是正定的。222二次型XTBX=x12+x2 不是正定的，因为2对于=(0, 0, 1)T，有TB=0。3二次型XTDX=x12+x2 -x3 不是正定的，22因为对于=(0, 0, 1)T，有TD=-10。由上述3例受到启发，猜想：二次型XTAX正定当且仅当它的正惯性指数等于n。定理1 n二次型XTAX正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n。【证】必要性。设XTAX是正定的，作可逆线性替换X=CY，化成规范形，即XTAX X=CY y12+yp2-yp+12-yr ，2如果p0,n因此XTAX是正定的。由定理1立即得出

3、，推论2n二次型XTAX是正定的它的规范形是y12+yn2它的标准形中n个系数全大于0。n二次型XTAX是正定的Rn, 且O，则TA0它的正惯性指数等于n它的规范形是y12+yn2它的标准形中n个系数全大于0。二、正定矩阵定义2实对称矩阵A称为正定的，如果实二次型XTAX是正定的。即对于Rn中任意非零列向量, 有TA0。从定义2，定理1， 推论2立即得出定理3n阶实对称矩阵A是正定的A的正惯性指数等于nAEA的合同标准形中主对角大于0。【对偶结论】定理1/推论2n二次型XTAX是正定的它的正惯性指数等于n它的规范形是y12+yn2它的标准形中n个系数全大于0。定理3 n阶实对称矩阵A是正定的A

4、的正惯性指数等于nAEA的合同标准形中主对角大于0。由5.3定理3，n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵T,使PTAP=diag1, 2, n，其中1, 2, n是A的全部特征值。定理4n阶实对称矩阵A是正定的当且仅当它的特征值全大于0。由于实对称矩阵A正定当且仅当AE，根据合同的对称性和传递性立即得出推论5与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。【注】成对初等行、列变换不改变矩阵的正定性。推论6与正定二次型等价的实二次型也是正定二次型。【注】可逆线性替换不改变二次型的正定性。【对偶结论】与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。与正定二次型等价的实二次型也是正定二次型。推论7正定矩阵的行列式大于0。

5、【证】设A是n级正定矩阵，则AE，从而存在实可逆矩阵C，使得A=CTEC=CTC，因此|A|=|CTC|=|C|T|C|=|C|20。【注】如果实对称矩阵A的行列式大于0，A未必是正定A 10 ,矩阵。例如 01显然|A|=10，但是A的正惯性指数为0，因此A不是正定的。定义3设A是一个n阶矩阵，A的下述主子式A1, 2, k 1, 2, k 称为A的k阶顺序主子式，k=1,2, n。 2 例如，设3 1A 08 ,614 9则A的顺序主子式有3个，分别是2 0916138420162 ,.定理8实对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式全大于0。【证】必要性。设n级实对称矩阵A是正

6、定的，对于k1,2, n，把A写成分块矩阵： Ak ,B1 BB12 其中Ak是A的k阶顺序主子式，下面要证Ak是正定的。在Rk中任取一个非零列向量，由于A是正定的，因此 T A ABBO A ,0 k1k1TT B Bk O B2 O B2 O 11从而Ak是正定的，因此|Ak|0。充分性。对于实对称矩阵的级数n作数学归纳法。n=1时，1级矩阵(a)，已知a0，从而(a)正定。假设对于n-1级实对称矩阵命题为真，现在来看n级实对称矩阵A=(aij)，把A写成分块矩阵：A An1，Tann 其中An-1是一个n-1级实对称矩阵, 显然An-1的所有顺序主子式是A的1阶至n-1阶顺序主子式，由已

7、知条件得，它们都大于零，于是据归纳法假设得， An-1是正定的，因此有n-1级实可逆矩阵C1，使得C1TAC1=En-1。2行1 TO TT An 1 An 1A1行n 1A TaOaAnn n 1nn An 1 ， OaA1n 12列1列 Annn 1记b=ann-TAn-1-1，因此nn- A EO An1O En11Ann1n111,(1)1 TT1-AaOb On1TO E- AE1n1 n1n11由于 ，且可逆，设T1-A1 On1 E- A1n1n11 PP P ,其中P , P , .,P 为初等矩阵，12t12tOnn An1O ,AnPP P 1PT PT PT21 12b

8、ttTaOO ,An 1A b O由(1)式，|A|=|An-1|b，又依题设|A|0, |An-1|0，即b0，O T1 CT ACO C AO CO EOn1n1 1n11O 11 , OOb O1 Ob b 因此O,AOEnn11A b b OO由于上式右端的矩阵是正定的，于是A是正定的。根据数学归纳法原理，充分性得证。 由定理8立即得到推论9实二次型XTAX是正定的充分必要条件为A的所有顺序主子式全大于0。n阶实对称矩阵A是正定的A的二次型是正定的A的正惯性指数等于n(负惯性指数为零)AE存在实可逆矩阵P，使A=PTPA的合同标准形中主对角A的特征值全大于零。A的所有顺序主子式全大于0

9、CTAC是正定矩阵，其中C为实可逆矩阵。大于0三、正定矩阵的性质设A为n阶正定矩阵，则10 kA(k0), A-1, A*, AT, Am(m为正整数)也为正定矩阵。【证】因A为实对称，故kA, A-1, A*, AT, Am也实对称。设1, 2, , n为A的全部特征值，则其全为正，kA的全部特征值为k1, k2, , kn全为正。A-1的全部特征值为1-1, 2-1, , n 全为正。-1A*的全部特征值为A1-1, , An 全为正。-1AT的全部特征值为1, 2, , n全为正(|E-A|=|E-AT|。Am的全部特征值为1, 2, , n 全为正。mmm20 A的主对角线上的元素全大

10、于零。事实上, 设A的二次型为 f =XTAX, 对XO，XTAX 0, 0 0 XAX =aT0，i=1, 2, n。特别地，取X1，则iiiii 0 第i个分量为1，其余分量为0 0 【注】上述结论不可逆。30 若B也是n阶正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。【证】 由题设，A+B是实对称矩阵。设A的二次型 f =XTAX， B的二次型g =XTBX，对XO， XTAX0,XTBX0，所以，XT(A+B)X0。【注】该结论不可逆。 AO B 也是正定矩阵。4 若B0m阶正定矩阵，则也是O AO 【证】由题设， OB 为实对称矩阵，又因A, B正定，存在n阶可逆实阵P, m阶可逆实阵Q，使PTn

11、，QTBQ=Em，OT EO P AO POn = , OQ OBOQ OEm EnO AO POB O.Q 可逆，即 O注意OEm 50 设P为nm实矩阵,r(P)=m(n), 则PTAP为正定矩阵。【证】显然PTAP为实对称矩阵,由题设,A为正定矩阵，又实XO，则PXO (否则PX=O有非零解， XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)0，则 PTAP为正定矩阵。!)例1 判断下述实二次型是否正定：f(x1, x2, x3)=x12+2x2 -3x3 -4x1x2-2x2x3。22【解】 f(x1, x2, x3)的矩阵为 1 0 -2A -2-1 2 0-13由于A的2阶顺序主子式1-2-2 2 0,22因此实二次型 f(x1, x2, x3)不是正定的。定义4n二次型XTAX称为负定的，如果对于Rn中任一非零列向量，都有TA0，则ATA为正定矩阵。同理AAT也是正定矩阵。【法二】(A-1)A)A-1=(AT)-1AT)(AA-1)=E，(A-1)(AAT)(A-1)T=(A-1A)(A)-1)=E，因此ATA,AAT为正定矩阵。(2)若A为nm实矩阵，r(A)=m(0【证】因为A为X则 ATA为正定矩阵。因为AT为行满秩矩阵，对实YO，ATY可能等于O，Y)0YT(AAT)