关于数学物理方法归纳改

1、数学物理方法总结第一章复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:z(cossin)和zeisinz1(eizeiz)欧拉公式:2i1cosz(eizeiz)2uuxy柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):(此中f(z)=u+iv)vvxy函数f(z)=u+iv在点z0及其领域上到处可导,则称f(z)在z0点分析.在地域B上每一点都分析,则称f(z)是在地域B上的分析函数.分析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在地域B上分析,则u(x,y)C1,v(x,y)C2(C1,C2为常数)是B上的两组正交曲线族.2.若函数在地域B上分析,则u,v均为B上的调停函数,即例题:已知某分

2、析函数f(z)的实部u(x,y)x2y2,求虚部和这个分析函数.解答:2u=2;2v因为2y2x2u2v0=-2;则y2x2曲线积分法u=2x;u=-2y.依据C-R条件有:v=2y;v=2x.xyxy于是dv2ydx2xdy;v(2ydx2xdy)C(x,0)2xdy)(x,y)(2ydx(2ydx2xdy)C(x,y)(0,0)(x,0)凑全(x,y)2xdyC2xyC(x,0)微分显式法由上式可知dv2ydx2xdy则易得dvd(2xy)则明显v2xyC不定积分法上边已有v=2y;v=2xxy则第一式对y积分,x视为参数,有v2xy(x)2xy(x).上式对x求导有v2y(x),而由C-

3、R条件可知(x)0,x从而(x)C.故v=2xy+C.第二章复变函数的积分单连通地域柯西定理假如函数f(z)在闭单连通地域B上分析,则沿B上任意一分段圆滑闭合闭合曲线l(也能够是B的界限),有f(z)dz0.l复连通地域柯西定理假如f(z)是闭复连通地域上的单值分析函数,则n0.式中l为地域外界限线,诸f(z)dzlif(z)dzli1li为地域内界限线,积分均沿界限线的正方向进行.即nf(z)dz.f(z)dzlili1柯西公式f()1f(z)dz2ilzn次求导后的柯西公式f(n)(z)n!f()d2il(z)n1第三章幂级数睁开幂级数此中a0,a1,a2,a3,都是复常数.比值鉴识法(达

4、朗贝尔鉴识法)1.如有则a0a1zz0a2zz02k.收敛,.akzz0ak(zz0)ka0a1(zz0)a2(zz0)2.ak(zz0)k.绝对收敛.k0若极限limak/ak1存在,则可引入记号R,Rlimak,于是,若zz0R,kkak1则ak(zz0)ka0a1(zz0)a2(zz0)2.ak(zz0)k.绝对收敛.k02.若zz0R,则后项与前项的模之比的极限ak1zz0k1aklimklim1R1,即说明kakzz0kakk0ak(zz0)ka0a1(zz0)a2(zz0)2.ak(zz0)k.发散.例题:求幂级数1z2z4z6.的收敛圆,z为复变数.解答:由题意可得故1z2z4z

5、6.1(z1).1z2泰勒级数睁开设f(z)在以z0为圆心的圆CR内分析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,f(z)k0ak(zz0)k,此中1f()f(n)(z0),ak2iCR1(z0)k1dk!CR1为圆CR内包括z且与CR齐心的圆.例题:在z00的领域大将f(z)ez睁开解答:函数f(z)ez的各阶导数f(n)(z)ez,而f(k)(z0)f(k)(0)1.则ez在z00的领域上的泰勒睁开ez1zz2z3z4.zk.zk.1!2!3!4!k!k0k!双边幂级数.a2(zz0)2a1(zz0)1a0a1(zz0)a2(zz0)2.洛朗级数睁开设f(z)在环形地域R2zz0R1的内

6、部单值分析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数f(z)ak(zz0)k.此中kak1f()d,2iC(z)k10积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1:在1z的环域大将f(z)1/(z21)展为洛朗级数.11111k111解答:22122246.z1z1zk0zzzz2z例题2:在z01的领域大将f(z)1/(z21)展为洛朗级数.解答:由题意得f(z)z211(11)12z1z1则有z-1的-1次项,而k111111(1)k(z1)(z12)z1z122z2k0212故f(z)1111(1)k(z1)k.2z4k02第四章留数定理留数定理设函数f(z)在回

7、路l所围地域B上除有限个孤立奇点b1,b2,bn分析,在闭地域B上除b1,b2,bn外连续,则n1.f(z)dz2iResf(bj)2ialj1m1此中,a1Resf(bj)lim11)!dm1(zbj)mf(z).zbj(mdz推论1:单极点的留数为Resf(z0)lim(zz0)f(z).zz0推论2:若f(z)能够表示为P(z)/Q(z)的特别形式,此中P(z)和Q(z)都在z0点分析,z0是Q(z)的一阶零点(Q(z0)0).P(z0)0,则Resf(z0)lim(zz0)P(z)limP(z)(zz0)P(z)P(z0).zz0Q(z)zz0Q(z)Q(z0)上式最后一步应用了罗毕达

8、法规.留数定理的应用种类一2x)dx.作自变量代换zeix.则式子变成R(cosx,sin0IR(zz1,zz1)dz.z122iz例题:计算I2dx.20cosx解答:2dxidz2idz,Icosxzz1z1z24z02z1)1z(22Z的单极点为z1,2416423.2则Res(23)2ilim(z23)21i,z23z4z13因为23不在圆z1内.故I2.3种类二f(x)dx.积分区间是(,);复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是分析的;当z在上半平面及实轴上时,zf(z)一致地0.则式子能够变成If(x)dx2if(z)在上半平面全部奇点的留数之和.例题:计

9、算1dx2.x解答:Idz的单极点为z1,2i.1z21dxResf(i)2ilim(z,故.i)22ziz11x种类三F(x)cosmxdx,G(x)sinmxdx,积分区间是0,;偶函数F(x)和00奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)及G(z)一致地0.则式子能够变成F(x)cosmxdxiF(x)eimx在上半平面全部奇点的留数之和;0G(x)sinmxdxG(x)eimx在上半平面全部奇点的留数之和.0若种类二,种类三的实轴上有有限个奇点,则有f(x)dx2iResf(z)iResf(z).在上平面实轴上此中,在种类三中

10、f(x)应理解为F(x)eimz或G(x)eimx.第五章Fourier变换傅里叶级数周期为2l的函数f(x)能够睁开为级数f(x)a0(akcoskxbksinkx).k1llak1lf()coskdklll2(k0)此中,k=.bk1lf()sinkd1(k0)lll注:积分上下限只要满足上-下=2l即可.ikx复数形式的傅里叶级数f(x)lkcke1likx此中cklf()el*d.2l傅里叶积分f(x)0A()cosxd0B()sinxdA()1f()cosd傅里叶变换式1B()f()sindf(x)1F()eixd复数形式的傅里叶积分21F()f(x)eix*dx2傅里叶变换的性质(

11、1)导数定理Ff(x)=iwF(w)(2)积分定理F(x)f()d=1F(w)iw(3)相似性定理Ff(ax)=1F(w)aa(4)延缓定理Ff(xx0)=eiwx0F(w)位移定理Feiw0 xf(x)=f(ww0)(6)卷积定理若Ff1(x)=F1(w),Ff2(x)=F2(w),则Ff1(x)*f2(x)=2F1(w)F2(w).此中f1(x)*f2(x)称为f1(x)和f2(x)的卷1f()f(x)d2积.函数(x)0(x0).(x0)b(x)dx0(a,b都0,或都0).a1(a0b)函数的一些性质1.(x)(x)(x)是偶函数.(x)(x)2.H(x)(t)dt0(x0).x1(x

12、0)3.f()(t0)df(t0).第六章Laplace变换拉普拉斯变换f(p)f(t)eptdt0拉普拉斯变换的一些性质(1)线性定理若f1(t)f1(p),f2(t)f2(p),则c1f1(t)c2f(t)c1f1(p)c2f2(p).(2)导数定理f(t)pf(p)f(0).积分定理相似性定理位移定理()d1L(p).t0pf(at)1f(p).paetf(t)f(p).(6)延缓定理f(tt0)ept0f(p).(7)卷积定理若f1(t)f1(p),f2(t)f2(p),则f1(t)*f2(t)f1(p)f2(p),此中f1(t)*tf1()f2(t)d称为f1(t)和f2(t)的卷积

13、.f2(t)0第七章数学物理定解问题(1)均匀弦的细小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的细小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为utta2uxx0或utta22u0或utta23u0.(2)扩散方程,热传导方程的形式为uta2uxx0或uta2u0.稳固浓度分布,稳固温度分布,静电场,稳固电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)u0.(4)以上方程中ux意为u2ux,uxx意为2x.若以上各方程均为有源,则方程为各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件初始”位移”u(x,y,z,t)t0(x,y,z),初始”速度”ut(x,y,z,t)t0(x,y,z).界限条件第一类界限

14、条件u(r,t)f(M,t)第二类界限条件uf(M,t)n第三类界限条件(uHu)f(M,t)n连接条件u(x00,t)u(x00,t)Tux(x00,t)Tux(x00,t)F(t).(T为张力)达朗贝尔公式定界问题达朗贝尔公式u(x,t)1(xat)(x1xatat)()d.22axat此中ut0(x),utt0(x).(x)第八章分别变数法泛定方程utta2uxx0(若该方程能够使用分别变量法,则能够化成T(t)X(x).a2T(t)X(x)X(x)X(x)0在不一样的界限条件下解不一样.界限条件X(0)0(n)2(1)X(x)的解为l此中n=1,2,3,nX(l)0Xn(x)xCnsi

15、nl(k1)X(0)022(2)X(x)的解为l此中k=0,1,2,1X(l)0(k)2Xn(x)Cncosxl(k1)X(0)022(3)l此中k=0,1,2,X(x)的解为1)X(l)0(kXn(x)Cnsin2xlX(0)0(n)2(4)X(x)的解为l此中n=0,1,2,X(l)0Xn(x)CncosnxlT(t)的方程在有n且n=0时的解为T(t)AtB;在n0时的解为T(t)AsinnatBcosnat;ll在有k的状况下为T(t)Asin(2k1)atBcos(2k1)at.2l2l初始条件将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确立u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程

16、2d2RdRm2R0.解法为做代换et.d2d第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题拉普拉斯方程u0(1)球坐标系下1r(r2u)1(sinu)12u0.r2rr2sinr2sin22分解为r22RRl(l1)R0其解为R(r)CrlD11.r22rrlr和1(sinY)12Yl(l1)0(球方程,Y(,)()()sinsin22球方程又能够分别为()()0此中有()(2),其方程解为m2此中m=0,1,2()AcosmBsinm和(1x2)d222xdl(l1)m220(连带勒让德方程).dxdx1x(2)柱坐标系下1(u)12u2u0.分解为22z2()()0此中有()(2),其方程解为m

17、2此中m=0,1,2()AcosmBsinm和ZZ0和d2R1dR(m2d2d2)R0.当0时,Z=C+Dz,R()EFln(m0);mF/m(mE1,2,3.)当0时,Z(z)CezDez,方程R变换为x2d2RxdR(x2m2)R0(x,m阶贝塞尔方程).dx2dx当0时,Z(z)CcoszDsinz,方程R变换为x2d2RdR(x220(x,m阶虚宗量贝塞尔方程).dx2xm)Rdx亥姆霍兹方程vk2v0.在x00的领域上l阶勒让德方程的解为y(x)a0y0a1y1此中第十章球函数高次项l的系数al(2l)!x2l(l!)2(在乘以合适的常数以后),用递推公式改写后为ak(k2)(k1)ak2,则al2n(1)2(2l2n)!(kl)(kl1)n!2l(ln)!(l2n)!.则勒让德多项式为l/2(2l2k)!xl2k.l/2=l/2(l为偶数).Pl(x)(1)kk0k!2l(lk)!(l2k)!(l1)/2(l为奇数)P4(x)1(35x430 x23)1(35cos420cos29)864勒让德多项式是正交的例题1:以勒让德多项式为基,在区间-1,1上把f(x)=2x33x4睁开为广义傅里叶级数.解答:2x33x4=f0P0(x)f1P1(x)f2P2(x)f3P3(x)=1213f0