例2-6试用长除法求的z反变换

1、例2-6 试用长除法求的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。1 4-Z)4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116.2 Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1

2、256-3.34-4 Z变换的基本性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性4例2-7已知 ,求其z变换。解：52. 序列的移位如果则有：例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。63. Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：74. 序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：85. 共轭序列如果，则证明：96. 翻褶序列如果，则证明：107. 初值定理证明：118. 终值定理证明：12 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。139. 有限项累加特性

3、证明：1410.序列的卷积和(时域卷积定理) 15证明：16例2-9解：1711.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）18例2-10解：19 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）如果则有:20*几点说明：214-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号， 为其理想抽样信号，则22 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的

4、拉氏变换。232.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。24 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。j00(1).r与的关系25= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.0jImZReZ(2).与的关系（=T）26二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽