物理学教程第二版高斯定理新

1、lrE 用电场线可以形象地描述电场。则：定量的电荷通过空间某一个闭合曲面的电场线也应该是一定的。德国的数学家、天文学家、物理学家高斯用数学语言证实了以上两者的关系：.RE1SE=ES.SESS一.电场强度矢量通量jeE 通量：通过某一面积 的电场线条数 9-4 高斯定理如果电场非均匀，S 面又是任意曲面，则：=ES=ESejej=EScos=ESej2E=cosdSdSE.=EdSdejE.=dSsjsdej=分割曲面为无限多个面积元如果电场非均匀，S 面又是任意曲面，则： 为负（900）， 如果900（电场线与面积元正法向垂直）则 为零。dejdejdej规定：电场线由封闭曲面内向外穿出 为

2、正（900），电场线由外面穿进封闭曲面内3问题：在均匀电场E 中，水平放置一个封闭圆柱面（例如空的可口可乐罐）问通过它的电场强度通量是多少？S3=侧+E.dSsE.dSs左底E.dSs右底E.dSs0理由：夹角为90oS1、S2的面积相等但法线方向相反 0jES1S2ES+ES（）=04+rq从点电荷特例引出此定理上式中的电荷 q 应理解为电量的代数值之和dS二. 高斯定理EdSE.dSs=sr24q+Ocos00=r24q+OsdSq=r24+Or24=q+O 1. 若q 为负值，E 的方向与dS 的方向相反，上式的积分值为负值。几点结论取面积元5q+q4. 若封闭面不是球面，则积分值不变。

3、2. 此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数等于面内的电荷数。=E.dSsq03. 若电荷在面外，则此积分值为0。因为有几条电场线进入面内必然有同样数目的电场线从面内出来。=E.dSsq06 5. 若面内有若干个电荷，则积分值为：高斯定理: 在静电场中，通过任意封曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。 高斯定理是计算带电体周围电场的电场强度的。但注意：电场必须是连续可导的，电场的分布是对称的才可以应用。在计算中，首先要建立一个恰当的高斯面，这是解题的关键。=E.dSsq0=q01i71. 均匀带电球面的电场（1）r R 均匀带电球面内任意点作高斯面 三. 高斯定

4、理的应用E=0得：dSE.dSs=scos00E=EsdS=Er24=qi00101高斯定理等式的左边高斯定理等式的右边结论：均匀带电球面内电场强度的量值处处为零+R+0q高斯面r8（2）r R 均匀带电球面外任一点均匀带电球面电场强度分布曲线表明：球面内电场强度处处为零，球面上的电场强度是常量，球外与考察点的距离平方成反比R+q+Er高斯面dSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0E=等式左右两边相等得：q0r24rE2r10Rq0R2492. 均匀带电球体的电场 电荷体密度为REr高斯面（1）r R 均匀带电球体内任意点dSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0

5、高斯定理等式的左边013r34=高斯定理等式的右边=Er24013r34=Er30结论： 均匀带电球体内电场强度的量值与球体内考察点的距离成正比。等式左右两边相等10ER（2）r R 均匀带电球体外任一点dSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0高斯定理等式的左边r高斯面013R34=高斯定理等式的右边Er24013R34=E=R33r20等式左右两边相等结论：均匀带电球体外电场强度量值与考察点的距离平方成反比。11均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度的特点RE高斯面均匀带电球体内电场强度的量值与球体内考察点的距离成正比。均匀带电球体外电场强度的量值反比于球体外考察点

6、的平方。E0Rrr302r1R3012E恰当的高斯面是一个圆柱体=ES+ES3. 均匀带电无限大平面的电场=S0E=20作为经验公式记住=侧+E.dSsE.dSs左底E.dSs右底E.dSs0理由：夹角为90 o=ES2=20高斯定理等式的左边高斯定理等式的右边S是个圆柱体恰当的高斯面E13 4. 均匀带电圆柱面的电场 设沿轴线方向单位长度带电量为（1）r R 均匀带圆柱面内任意点r高斯面lE=侧+E.dSsE.dSs上底E.dSs+下底E.dSs0理由：夹角为90 o=EdSS侧面=r2lE0=11=qi0q0高斯定理等式的右边高斯定理等式的左边E=0结论：均匀带电圆柱面内电场强度的量值处处

7、为零144. 均匀带电圆柱面的电场（2）r R 均匀带电圆柱面外任一点=侧+E.dSsE.dSs上底E.dSs+下底E.dSs0理由：夹角为90 o=EdSS侧面=r2lE高斯定理等式的左边高斯定理等式的右边=11=qi0q00lrE=20作为经验公式记住！E高斯面rl15例题:点电荷q1、 q2、 q3、 q4在真空中的分布如图所示图中的S为闭合曲面，则求：（1）通过该闭合曲面的电场强度通量。（2）式中的E是由哪些点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。 （教材P33：填充题3） Sq2q4q1q3（1）通过该闭合曲面的电场强度通量：=E.dSs01（）q2q4理由：闭合曲面（高斯面）内

8、只包含有q2和q4（2）式中的E是由哪些点电荷在 闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。由点电荷q1、 q2、 q3、 q4产生场强的矢量和16例题:设匀强电场的电场强度E 和半径为R 的半球面对称轴平行，试计算通过半球面的电场强度通量。 （教材P38：9-12） RE0分析:电场线穿过封闭的半球面穿过封闭半球面的电场强度通量为零。即：2EdS 圆面cos1800=ER2ERj半球面=相等得：=E.dSs0=+E.dSsE.dS 圆面E.dS 半球面=0E.dS 圆面E.dS 半球面=17例题：如图所示，在C点放置电荷q1 ，在A点放置电荷q2 ，S 是包围q1的封闭面，P点是曲面上任意一点，现

9、在把q2从 A点移到B点，则正确的是：A. 通过S 面的电通量改变，但P点的场强不变；B. 通过S 面的电通量和P点的场强均改变；C. 通过S 面的电通量和P点的场强均不改变； D. 通过S 面的电通量不变，但P点的场强改变。（练习册P3：选择题3）CPABS0q1q2分析： P点的电场强度是由C点的电荷q1和封闭面外的电荷q2贡献的电场强度的叠加， 当q2从A点移到B点时，封闭面外的电荷q2对P点的电场强度的贡献是改变的。D是正确的。而电场强度通量只取决于封闭面内的电荷q1，因此通过S 面的电通量是不改变的。18例题：指出下列说法哪一个是正确的：A. 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必

10、有电荷B. 如果高斯面内有电荷，则高斯面上E 处处不为零C. 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零D. 如果高斯面的E 通量不为零，则高斯面内必有净电荷（练习册P3：选择题2）分析：高斯面上的电场强度E 是由高斯面内外的电荷共同激发叠加而成的。 A（高斯面外如有电荷存在，即使高斯面内无电荷，则高斯面上E可以处处不为零）B （高斯面内外如有等量、等距、异号的电荷，则高斯面上E可以为零）C（如果高斯面外有电荷，则即使高斯面内无电荷，则高斯面上E可以处处不为零）因此A、B、C是不正确的。电场强度通量只取决于高斯面内的电荷，所以高斯面的E 通量不为零，则高斯面内必有净电荷D是正确的。19例题：如

11、图所示，一均匀带电Q 的球形膜,在它的半径从R1扩大到R2的过程中,距球为R 的一点的场强将由_变为_,电势由_变为_,通过以为半径R的球面的电通量由_变为_。RR2R1（练习册P3：填充题1）QR24OQR24O0QR4OOQ0分析：根据高斯定理，在距球为R处建立高斯面，其内含有Q。所以场强是：半径扩大到R2则高斯面内无电荷，所以场强变为零高斯面球内的电势球面的电势（等势体）Q20例题：如图所示，一个带有q的点电荷，位于半径是R的带有Q电量的球面中心0处，试求：电场强度的分布 （练习册P4计算题3）QqR0分析：用高斯定理来做。设：带电球面内部为1区，带电球面外部为2区解： 场强分布由高斯定

12、理：=E.dSsq0（在球面内1区作高斯面）r Rr高斯面Er240 q1r24E1=0 q21（在球面外2区作高斯面）RrQqR0r高斯面Er24Q02 qE=等式左右两边相等得：Q0r24 q2解： 场强分布结论：均匀带电球面内均匀带电球面外r24E1=0 qE=Q0r24 q222x-aa+oy题图例题:电荷面密度均为的两块“无限大”均匀带电的平行平板，其周围空间各点电场强度E 随坐标x 变化的关系曲线，正确的是：（设电场强度方向向右为正、向左为负）（教材P36：习题9-1）0-aa(A)oEx020-aa(B)oEx0-0-aa(C)oEx0-aa(D)oEx23x-aa+oy题图分析

13、:先画出两块均匀带电平板的电场线x+oy左板左边的电场强度矢量方向向左（与x 轴反向），量值叠加后为：右板右边的电场强度矢量方向向右（与x 轴同向），量值叠加后为：0-0根据电场强度矢量叠加原理和无限大均匀带电平面外的电场强度量值02两块均匀带电平板之间的电场强度量值为零0-aa(B)oEx0-所以（B）是正确的24例题:A、B 为真空中两块无限大平行带电平面 ，两面之间的场强为E ，两面上方场强为 ，如图所示，求：A、B 面上的电荷面密度A和B，B面下方电场强度的量值和方向。3E3EABEAB，E下方？分析:两板上各自带有正电荷还是负电荷，题目没有明确的给出，但是图中已经标出两板之间电场强度

14、矢量叠加以后的方向是向上的，因此先在图上画出电场线，即可判断出A、B 板上所带电荷的极性。根据电场线的走向，可知A板上带有负电荷、B 板上带有正电荷应用无限大均匀带电平板电场的经验结论：列出相应的方程：02253EABEABE下方？应用无限大均匀带电平板电场的经验结论：列出相应的方程：02A、B之间的方程和A 上方的方程：02A02B=E(1)02B-02A=3E(2)由方程（1）变形为：02A02B=E代入方程（2）中得：02B02BE（）=3E3E40B=整理后得：将此结果代入（1）后得 3E20A=263EABEABE下方？求：B面下方电场强度的量值和方向从上面求出的已知条件3E40B=

15、3E20A=代入下式：02B-02A02BA-=3E023E4032（）方向竖直向下解题的后感（1）画出电场线进行电场强度的叠加（正电荷的电场线是发散的、负电荷的电场线是收敛的）（2）应用无限大带电平板的电场强度经验结论进行计算27DAPqqS 例题：如图所示，S为一高斯面，在P、A 处分别放置点电荷q，D位于P、A连线与高斯面S的交点上，且PDDAd，求：（1）D点电场强度E? （2）通过高斯面的电通量? （3）若把一个q 改为q，则D点的电场强度E ? （4）通过高斯面的电通量=?（1）D 点电场强度E?理由：两个点电荷在D 点的电场强度贡献大小相等，方向相反，相互抵消（2）通过高斯面的电

16、通量?=E.dSsq0ej=由高斯定理E0q0（3）若把一个q 改为q，则D点的电场强度E ?eq4d220理由：两个点电荷在D 点的电场强度贡献大小相等方向相同，两者相加。q0（4）通过高斯面的电通量28例题：如图所示，两块无限大的平行极板，分别带电：（1）a 区E 的大小： 方向：（2）b 区E 的大小： 方向：（3）c 区E 的大小： 方向： 2写出各区域电场强度的大小和方向：和（练习册P3：填充题2）abc2提示：（1）画出电场线进行电场强度的叠加（正电荷的电场线是发散的、负电荷的电场线是收敛的）（2）应用无限大带电平板的电场强度经验结论进行计算oes2向右oes2oes22oes23

17、向右oes2向左29例题：在半径为R1、电荷体密度为的均匀带电球体中挖去一个半径为R2的球形空腔，空腔的中心为A，球心和空腔中心的距离0Aa，如图所示。求空腔内任一点P 处的电场强度。R10R2A分析：此题用积分计算很困难。又因挖去一个空腔，电场的球对称性被破坏了，因此也不能直接用高斯定理求对称，在此试用补偿法来做在挖去的地方填补上一个半径为R2的球形使得大球成为一个完整的带电球体arcP设：大球体在P点产生的场强为E有空腔的带电球体在P 点产生的场强为E1小球体在P点产生的场强为E2由电场强度矢量叠加原理：EE1E230R10R2AarcP由高斯定理可求得大球体在P 点的场强EdSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0高斯定理等式的左边013r34=高斯定理等式的右边=Er24013r34=Er30等式左右两边相等方向沿r高斯面31=Ec2411=qi0q0高斯定理等式的左边013c34=高斯定理等式的右边=Ec24013rc34=E