二重积分的数值方法

1、数值分析课程设计报告专业：_ 学号：_学生姓名: 指导教师:、题目数值积分中二重积分探究二、理论b数值积分就是用数值方法近似计算定积分f(x)dxo其原理很简单，就是ab将积分核f(x)用插值多项式Pn(x)替代，用多项式Pn(x)dx的结果近似定积分abf (x)dx 的值。 a一般常用的方法是，将积分区间a,b等分为n个子区间，即取步长h (b a) / n ,子区间端点为xk a kh (k=0,1,n),在每个子区间上套用插值积分公式， 再将个区间的结果累加起来。比较常用的有梯形公式，是在每个子区间上用1阶多项式(即直线段)近似 f(x)并积分的结果： TOC o 1-5 h z h

2、n 1hn 1Tn f (xk) f (xk 1) - f(a) 2 f(xk) f (b)2 k 02k 0另外一种在实际应用中很受欢迎的方法是，在每个子区间上用2阶多项式(即抛物线)近似f(x)并积分，得到著名的辛普森(Simpson)公式：n 1n 1n 1Snh f(xk)4f(xk1/2)f(xk1)-f (a) 4 f (xk 1/2)2f (xk)f (b)6k06k 0k 0其中 xk 1/2 a (k 1/2)h o三、方法、算法与程序设计I .辛普森公式求二重积分考虑二重积分 f(x,y)dA,它是曲面z f(x,y)与平面区域R围成的体积，对R于矩形区域R (x,y)|a

3、 x b,c y d,可将它写成累次积分b df (x, y)dx ( f(x,y)dy)dx。a cR若用复合辛普森公式，可分别将a,b,c,d分成N,M等份，步长先对积分yi c ik , yi 1/2 c (id、 、.f(x,y)dy,应用复合辛普森公式，令 cf (x,y)dyk6f(x,y0)M 14 f (x, yi 01 / 2)M 12 f (x, yi) f (x, yM), i 1从而得b df (x, y)dydx a cMf(x,y0)dx 4bf(x,yi ai /2)dxbf (x, yi)dx abf (x, yM)dx a对每个积分再分别用复合辛普森公式即可求

4、得积分值。MATLA程序见附录1,MATLA呻自带自适应辛普森公式dblquad(),对于变量区域同样适用。y d(x),写成累次积分的形式:对于变量区域R ( x, y) | a x b, c(x)I f (x, y)dxdyRb d (x) f(x, y)dydxa c(x)进行数值计算的表达式为:MNI (a,b,c(x),d(x)Wm Vn f (xm, ymn)n n 1m 1上面的表达式中Wm、Vn表示权重，取决于一维积分方法。我们常用复合辛普森 公式，先对内积分进行计算，在计算外积分，与矩形区域情况基本一致。n高斯求积公式求二重积分在高斯求积公式中，若取权函数(x) 1 ,区间为

5、1,1,则得公式11 f (x)dxnAkf (xk)。k 0勒让德多项式是区间1,1上的正交多项式，因此，勒让德多多项式 Pn 1( x)的零点就是求积公式的高斯点若取Pi(x)x的零点X0 0做节点构造求积公式11f (x)dx 2 f (0); TOC o 1-5 h z 1右取P2(x)(3x2 1)的零点 7构造求积公式, 31 .1.11 f (x)dx f (不)f (再)；当n 4时，求积公式为1f(x)dx 0.2369269 f( 0.9061798) 0,4786287 f( 0.5384693) 0,5688889 f(0) 0,4786287 f(0.5384693)

6、0,2369269 f(0.9061798)1同样先用高斯求积公式求内积分，再求外积分，可得二重积分值。四、算例、应用实例算例:计算二重积分 e xydxdy。 D(1)若区域D 0 x 1,0 y 1,试分别用复合辛普森公式(取n=4)及高斯求积公式(取n=4)求积分。(2)若区域D x2 y2 1: x 0, y 0用复合辛普森公式(取n=4)求积分。解：(1)e xydxdy =D,13571 1 e xydxdyh1e0*y4e 0 4e 14e 门4e，0 06 01*y2e 41*y2e 23*y 1*y2e 4 e dy对各个积分应用复合辛普森公式。也可应用MATLAEfr的函数

7、进行计算，程序见附录 2先将区域D 0 x 1,0 y 1变换为区域D (u,v)| 1 u,v 1,其中 TOC o 1-5 h z 11,u 2x 1,v 2y 1 ,等价于 x -(u 1),y -(v 1),有11 111(u 1)(v 1)I e xydxdy e 4dudv。0 011u。v。0.9061798, u1 v1对于u,v取n 2时的高斯求积公式节点及系数，即0.5384693, u2 V2 0, u3 v 0.5384693,u4 v4 0.9061798, A0 A 0.2369269, A1 A 0.4786287,A2 0.5688889用n 4的高斯积分公式计

8、算积分I,1(u 1)(v 1)AAe 4，111 (u 1)(v 1)e 4 dudv11(2)e xydxdy0 e xydydx ,D1/0,1等分为4等份，对应值为02一,1的丫母 0,1,2,3,4)值，用4 2 4yk, yk 1节点应用辛普森公式对内积分求积， 再用复合辛普森公式对外积分求积,也可用MATLA呻的函数实现，结果和程序如下（附录 3）。五、参考文献11 数值分析李庆扬，王朝能，易大义清华大学出版社数值分析课程设计陈越，童若锋 浙江大学出版社MATLAB教程张志涌北京航空航天大学出版社六、附录附录1:function q=DblSimpson(f,a,A,b,B,m,

9、n)if(m=1 & n=1)%亲普森公式q=(B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a,b)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),a,B)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),A,b)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),A,B)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),(A-a)/2,b)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),(A-a)/2,B)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),a,(B-b)/2)+.4*subs

10、(sym(f),findsym(sym(f),A,(B-b)/2)+.16*subs(sym(f),findsym(sym(f),(A-a)/2,(B-b)/2);else%复合辛普森公式q=0;for i=0:n-1for j=0:m-1x=a+2*i*(A-a)n;y=b+2竽(B-b)m;x1=a+(2*i+1)*(A-a)n;y1=b+(2*j+1)*(B-b)m;x2=a+2*(i+1)*(A-a)n;y2=b+2*(j+1)*(B-b)m;q=q+subs(sym(f),findsym(sym(f),x,y)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),x,y2)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),x2,y)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),x2,y2)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),x,y1)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),x2,y1)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),x1,y)+.4*subs(sym(f),findsym(sym(f),x1,y2)+.16*subs(sym(f),findsym(sym(f),x1,y1);endendendq=(B-b)*(A-a)/36/m/n)*q;附录