高中数学函数的概念、基本初等函数及函数的应用教案（理科）

1、第一节函数及其表示1函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数2分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称

2、f：AB为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数自测练习1下列图形可以表示函数yf(x)图象的是()解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，所以排除A，B，C，故选D.答案：D知识点二函数的有关概念1函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫作函数的值域(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数2函数的表示方法表示函数的常用方法有

3、解析法、图象法和列表法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则(2)误把分段函数理解为几个函数组成必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数

4、的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)自测练习2(2016贵阳期末)函数f(x)log2(x1)的定义域为()A(0，) B1，)C(1，) D(1，)解析：由x10知x1，故选C.答案：C3f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)eq r(x21)与g(x)eq r(x1)eq r(x1)Bf(x)x与g(x)eq f(x3x,x21

5、)Cyx与y(eq r(x)2Df(x)eq r(x2)与g(x)eq r(3,x3)解析：选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确答案：B4若函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，x0，,logf(1,2)x，x0，)则f(f(2)()A1 B2C1 D0解析：本题考查分段函数、复合函数的求值由已知条件可知，f(2)logeq f(1,2)21，所以f(f(2)f(1)(1)212，故选B.答案：B 考点一函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1求给定函数解析

6、式的定义域；2已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域；3已知定义域确定参数问题探究一求给定解析式的定义域1(2015江西重点中学一联)函数f(x)eq f(3x,r(x2)lg(3x)的定义域是()A(3，) B(2,3)C2,3) D(2，)解析：本题考查函数的定义域由题意得eq blcrc (avs4alco1(x20，,3x0，)解得2x3，故选B.答案：B探究二已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域2若函数yf(x)的定义域是0,3，则函数g(x)eq f(f3x,x1)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,9 D(0,1)解析：依题意得eq blcrc (av

7、s4alco1(03x3，,x10，)即0 x1)(2)2f(x)f(x)lg(x1)，2f(x)f(x)lg(1x)解方程组eq blcrc (avs4alco1(2fxfxlgx1，,2fxfxlg1x)得f(x)eq f(2,3)lg(x1)eq f(1,3)lg(1x)(1x1，)且f(a)3，则f(6a)()Aeq f(7,4) Beq f(5,4)Ceq f(3,4) Deq f(1,4)解析：因为f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x12，x1，,log2x1，x1，)f(a)3，所以eq blcrc (avs4alco1(a1，,log2a13，)或eq blcr

8、c (avs4alco1(a1，,2a123，)解得a7，所以f(6a)f(1)2112eq f(7,4)，选A.答案：A2(2015高考全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：由于f(0)2，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1eq r(5)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2eq r(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)BPAPta

9、n xeq r(4tan2x)eq blc(rc)(avs4alco1(0 xf(,4)，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围3.分段函数的定义理解不清致误【典例】已知实数a0，函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2xa，x0时，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得aeq f

10、(3,2)，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得aeq f(3,4).答案eq f(3,4)易误点评本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1a1，没有对a进行讨论直接代入求解(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误防范措施(1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求跟踪练习设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(r(x)，x0，,r(x)，x0，)若f(a)f(1)2，则a()A3 B3

11、C1 D1解析：因为f(1)eq r(1)1，所以f(a)1，当a0时，eq r(a)1，所以a1；当a0时，eq r(a)1，所以a1.故a1.答案：DA组考点能力演练1(2015高考陕西卷)设f(x)eq blcrc (avs4alco1(1r(x)，x0，,2x，x0，)则ff(2)()A1 B.eq f(1,4) C.eq f(1,2) D.eq f(3,2)解析：由f(2)22eq f(1,4)，ff(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)1eq r(f(1,4)eq f(1,2).答案：C2(2015北京朝阳模拟)函数f(x)eq f(1,x1)eq r(x)

12、的定义域为()A0，) B(1，)C0,1)(1，) D0,1)解析：本题考查函数的定义域根据函数有意义的条件建立不等式组要使函数f(x)有意义，则eq blcrc (avs4alco1(x10，,x0，)解得x0且x1，即函数定义域是0,1)(1，)，故选C.答案：C3已知函数f(x)的定义域为(，)，如果f(x2 014)eq blcrc (avs4alco1(r(2)sin x，x0,lgx，x0，解得3x3.所以要使feq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,x)有意义，则eq blcrc (avs4alco1(3f(x,

13、3)3，,3f(3,x)3，)解得eq blcrc (avs4alco1(9x9，,x1，)所以定义域为(9，1)(1,9)，故选B.答案：B5若函数f(x)eq r(x2ax1)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A(2,2)B(，2)(2，)C(，22，)D2,2解析：函数的定义域为R等价于对xR，x2ax10，令f(x)x2ax1，结合二次函数的图象(图略)，只需a240即可，解得实数a的取值范围为2,2，故选D.答案：D6(2015陕西二模)若函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(lg x，x0,1x，x0)，则f(f(99)_.解析：f(99)199100，所以

14、f(f(99)f(100)lg 1002.答案：27函数yf(x)的定义域为2,4，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域为_解析：由题意知eq blcrc (avs4alco1(2x4，,2x4，)解得2x2.答案：2,28具有性质：feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数：yxeq f(1,x)；yxeq f(1,x)；yeq blcrc (avs4alco1(x，0 x1.)其中满足“倒负”变换的函数是_解析：对于，f(x)xeq f(1,x)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x)

15、xf(x)，满足题意；对于，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x)eq f(1,f(1,x)f(x)f(x)，不满足题意；对于，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，0f(1,x)1，)即feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，x1，,0，x1，,x，0 x0，,2x，x0时，g(x)x1，故f(g(x)(x1)21x22x；当x0，,x24x3， x0.)10动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D

16、绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA的长时，求y关于x的解析式，并求feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)的值解：当P点在AB上运动时，yx(0 x1)；当P点在BC上运动时，yeq r(12x12)eq r(x22x2)(1x2)；当P点在CD上运动时，yeq r(123x2)eq r(x26x10)(2x3)；当P点在DA上运动时，y4x(3x4)；综上可知，yf(x)eq blcrc (avs4alco1(x，0 x1，,r(x22x2)，1x2，,r(x26x10)，2x3，,4x，30，,x0.)x2，f(x)的定义域为(2，)答案：C2(2015高考湖北卷)

17、函数f(x)eq r(4|x|)lgeq f(x25x6,x3)的定义域为()A(2,3) B(2,4C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6解析：依题意知，eq blcrc (avs4alco1(4|x|0,f(x25x6,x3)0)，即eq blcrc (avs4alco1(4x4,x2且x3)，即函数的定义域为(2,3)(3,4答案：C3(2015高考山东卷)设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(3xb，x1，,2x，x1.)若feq blc(rc)(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(5,6)4，则b()A1 B.eq f(7,8)C.eq

18、f(3,4) D.eq f(1,2)解析：feq blc(rc)(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(5,6)feq blc(rc)(avs4alco1(3f(5,6)b)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b).当eq f(5,2)beq f(3,2)时，3eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)b4，解得beq f(7,8)(舍)当eq f(5,2)b1，即beq f(3,2)时，2eq f(5,2)b4，解得beq f(1,2).故选D.答案：D4(2015高考浙江卷)存在函数f(x)满足：对于任意xR都有()Af(sin

19、2x)sin xBf(sin 2x)x2xCf(x21)|x1|Df(x22x)|x1|解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x有唯一的y与之相对应对于A，当xeq f(,4)或eq f(5,4)时，sin 2x均为1，而sin x与x2x此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当x1或1时，x212，而|x1|有两个值，故C错误，故选D.答案：D5(2014高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(4x22，1x0，,x，0 x1，)则feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)_.解析：f(x)的周期

20、为2，feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).又当x1,0)时，f(x)4x22，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)221.答案：1第二节函数的单调性与最值1函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义2函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义知识点一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1

21、，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间易误提醒求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结必记结论1单调函数的定义有以下若干等价形式：设x1，x2a，b，那么eq f(fx1fx

22、2,x1x2)0f(x)在a，b上是增函数；eq f(fx1fx2,x1x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0，即xeq f(1,2)，而ylog5u为(0，)上的增函数，当xeq f(1,2)时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)3已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2ax5，x1，,f(a,x)，x1)在R上为增函数，则a的取值范围是()A3,0) B3，2C(，2 D(，0)解析：要使函数在R上是增

23、函数，则有eq blcrc (avs4alco1(f(a,2)1，,a0，,1a5a，)解得3a2，即a的取值范围是3，2答案：B知识点二函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性必备方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再

24、用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值自测练习4函数f(x)eq f(1,1x2)(xR)的值域是()A(0,1) B(0,1C0,1) D0,1解析：因为1x21,00时，f(x)3x为减函数；当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)时，f(x)x23x为减函数，当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，)时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)eq f(1,x1)为增函数；当x(0，)时，f(x

25、)|x|为减函数故选C.答案：C2判断函数g(x)eq f(2x,x1)在(1，)上的单调性解：法一：定义法任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)eq f(2x1,x11)eq f(2x2,x21)eq f(2x1x2,x11x21)，因为1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)0，g(x)在(1，)上是增函数给出解析式函数单调性的两种判定方法1定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)2导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)考点二函数的单调区间的求法|求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylogeq f(1,2)(

26、x23x2)解(1)由于yeq blcrc (avs4alco1(x22x1，x0，,x22x1，x0，)即yeq blcrc (avs4alco1(x122，x0，,x122，x0，则x2.函数ylogeq f(1,2)(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴xeq f(3,2)，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogeq f(1,2)u在(0，)上是单调减函数，ylogeq f(1,2)(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复

27、合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0)B.eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)C0，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)解析：y|x|(1x)eq blcrc (avs4alco1(x1xx0，,x1xx0)eq blcrc (avs4alco1(x2xx0，,x2xx0)eq blcrc (avs4alc

28、o1(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2f(1,4)x0，,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2f(1,4)x0.)画出函数的草图，如图由图易知原函数在eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)上单调递增答案：B考点三函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容归纳起来，常见的命题探究角度有：1求函数的值域或最值2比较两个函数值或两个自变量的大小3解函数不等式4求参数的取值范围或值探究一求函数的值域或最值1(2015高考浙江卷)已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(xf(2,x)3，x1，,lgx21，x

29、1，)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_解析：由题知，f(3)1，f(1)0，即f(f(3)0.又f(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，eq r(2)上单调递减，在(eq r(2)，)上单调递增，所以f(x)minminf(0)，f(eq r(2)2eq r(2)3.答案：02eq r(2)3探究二比较两个函数值或两自变量的大小2已知函数f(x)log2xeq f(1,1x)，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：函数f(x)log2xeq f(1,1x)在(1，)上为增函数

30、，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.答案：B探究三解函数不等式3(2015西安一模)已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x0，,lnx1，x0，)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)解析：当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，且当x10时，f(x1)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1，故选D.答案：D探究四利用单调性求参数的取值范围4(201

31、5江西新余期末质检)已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(2ax1x0成立，那么a的取值范围是()A.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，2) B.eq blc(rc(avs4alco1(1，f(3,2)C(1,2) D(1，)解析：依题意，f(x)是在R上的增函数，于是有eq blcrc (avs4alco1(2a0，,a1，,2a11a1.)解得eq f(3,2)a0时，有f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(2t1)f(1t)2.思路点拨(1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含“f”的不等式f

32、(2t1)f(1t)2转化为f(m)f(n)的形式，再依据单调性转化为常规不等式求解规范解答(1)证明：设x1，x2R且x10，f(x2x1)1.(2分)根据条件等式有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，f(x1)f(x2)，f(x)是R上的增函数(6分)(2)由f(ab)f(a)f(b)1，得f(ab)f(a)f(b)1，f(2t1)f(1t)f(t2)1，(8分)f(2t1)f(1t)2，即f(t2)12，f(t2)3.又f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，f(t2)3f(2)(10分)f(x)是R上的增函数，t2

33、2，t0.)其中值域为R的函数有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：依题意，注意到y3x与函数yeq blcrc (avs4alco1(xx0，,f(1,x) x0)的值域均是R，函数yeq f(1,x21)的值域是(0,1，函数yx22x10(x1)211的值域是11，)，因此选B.答案：B3若函数f(x)x22ax与函数g(x)eq f(a,x1)在区间1,2上都是减函数，则实数a的取值范围为()A(0,1)(0,1) B(0,1)(0,1C(0,1) D(0,1解析：注意到f(x)(xa)2a2；依题意得eq blcrc (avs4alco1(a1，,a0，)即00，)则不等式f(a

34、24)f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4)C(1,4) D(3,5)解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1a4，所以不等式的解集为(1,4)答案：B5(2016浦东一模)如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数yeq f(fx,x)在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”若函数f(x)eq f(1,2)x2xeq f(3,2)是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A1，) B0，eq r(3)C0,

35、1 D1，eq r(3)解析：因为函数f(x)eq f(1,2)x2xeq f(3,2)的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数，又当x1时，eq f(fx,x)eq f(1,2)x1eq f(3,2x)，令g(x)eq f(1,2)x1eq f(3,2x)(x1)，则g(x)eq f(1,2)eq f(3,2x2)eq f(x23,2x2)，由g(x)0得1xeq r(3)，即函数eq f(fx,x)eq f(1,2)x1eq f(3,2x)在区间1，eq r(3)上单调递减，故“缓增区间”I为1，eq r(3)答案：D6已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2

36、0，)(x1x2)，有eq f(fx2fx1,x2x1)0，则f(3)，f(2)，f(1)的大小关系为_解析：由x1，x2(0，)时，eq f(fx2x1,x2x1)0，f(x)在(0，)上为减函数又f(2)f(2)，12f(2)f(3)即f(1)f(2)f(3)答案：f(1)f(2)f(3)7设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(1，x0，,0，x0，,1，x1，,0，x1，,x2，x0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)0时，f(x)在(，a)，(a，)上是减函数，又f(x)在(1，)上单调递减，00，令函数f

37、(x)g(x)h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当aeq f(1,4)时，求函数f(x)的值域解：(1)f(x)g(x)h(x)(eq r(x)1)eq f(1,x3)eq f(r(x)1,x3)，f(x)eq f(r(x)1,x3)，x0，a(a0)(2)函数f(x)的定义域为eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,4)，令eq r(x)1t，则x(t1)2，teq blcrc(avs4alco1(1，f(3,2)，f(x)F(t)eq f(t,t22t4)eq f(1,tf(4,t)2).teq f(4,t)时，t2eq blcrc(avs4alco1(1

38、，f(3,2)，又teq blcrc(avs4alco1(1，f(3,2)时，teq f(4,t)单调递减，F(t)单调递增，F(t)eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)，f(6,13).即函数f(x)的值域为eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)，f(6,13).B组高考题型专练1(2014高考北京卷)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayeq r(x1) By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)解析：y(x1)2仅在1，)上为增函数，排除B；y2xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x为减函数，排除C；因为ylog0.5t为减函

39、数，tx1为增函数，所以ylog0.5(x1)为减函数，排除D；yeq r(t)和tx1均为增函数，所以yeq r(x1)为增函数，故选A.答案：A2(2013高考安徽卷)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：由二次函数的图象和性质知f(x)|(ax1)x|在(0，)内单调递增，只需f(x)的图象在(0，)上与x轴无交点，即a0或eq f(1,a)2)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_解析：因为f(x)eq blcrc (avs4alco1(x6，x2，,3logax

40、，x2，)所以当x2时，f(x)4；又函数f(x)的值域为4，)，所以eq blcrc (avs4alco1(a1，,3loga24.)解得10,x10)知x1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数答案：C2(2015石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f(eq r(2)()Aeq f(1,2) B.eq f(1,2)C2 D2解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(eq r(2)f(eq r(2)log2eq r(2)eq f(1,2)，故选B.答案：B3若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：f(x)f(x)对于xR恒成立，|x

41、a|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.答案：0知识点二函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期必记结论定义式f(xT)f(x)对定义域内的x是恒成立的若f(xa)f(xb)，则函数f(x)的周期为T|ab|.若在定义域内满足f(xa)f(x)，f(xa)eq f(1,fx)，f(xa)eq f(1,fx)(a0)则f(x)为

42、周期函数，且T2a为它的一个周期对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期自测练习4函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)eq f(1,fx)，若f(1)5，则f(f(5)_.解：f(x2)eq f(1,fx)，f(x4)eq f(1,fx2)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)

43、f(5)f(3)eq f(1,f1)eq f(1,5).答案：eq f(1,5)考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性(1)f(x)eq r(1x2)eq r(x21)；(2)f(x)eq r(32x)eq r(2x3)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)eq f(r(4x2),|x3|3)；(5)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2x，x0，,x2x，x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，xf(2x1)成立的x的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1)B.eq blc(rc)(avs4alco1(

44、，f(1,3)(1，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3)D.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，)解析：函数f(x)ln(1|x|)eq f(1,1x2)，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，又当x(0，)时，f(x)ln(1x)eq f(1,1x2)，f(x)是单调递增的，故f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，解得eq f(1,3)x1，故选A.答案：A探究三周期性与奇偶性相结合3(2015石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，

45、若f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)解析：f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，eq f(2a3,a1)1，即eq f(a4,a1)0，解得1a4，故选A.答案：A探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：f(x)

46、满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)答案：D函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求

47、函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】设函数f(x)eq f(x12sin x,x21)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.思路点拨直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解解析易知f(x)1eq f(2xsin x,x21).设g(x)f(x)1eq f(2xsin x,x21)，则g(x)是奇函数f(x)的最大值为M，最小值为m，g(x)的最大值为M1，最小值为

48、m1，M1m10，Mm2.答案2方法点评在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题跟踪练习已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26B18C10 D10解析：由f(x)x5ax3bx8知f(x)8x5ax3bx，令F(x)f(x)8可知F(x)为奇函数，F(x)F(x)0.F(2)F(2)0，故f(2)8f(2)80.f(2)26.答案：AA组考点能力演练1(2015陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)0”是“函数f(x)为奇函数”的()A必

49、要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x)在R上为奇函数f(0)0；f(0)0eq avs4al(/)f(x)在R上为奇函数，如f(x)x2，故选A.答案：A2(2015唐山一模)已知函数f(x)xlog2eq f(1x,1x)1，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)的值为()A2 B2C0 D2log2eq f(1,3)解析：由题意知，f(x)1xlog2eq f(1x,1x)，f(x)1xlog2eq f(1x,1x)xlog2eq f(1x,1x)(f(x)1)，所以f(x)1为

50、奇函数，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)10，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2.答案：A3设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(4x22，2x0,x，0 x1)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)()A0 B1C.eq f(1,2) D1解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f

51、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)221，故选D.答案：D4在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，当0 x1时，f(x)2x，则f(2 015)()A2 B2Ceq f(1,2) D.eq f(1,2)解析：由f(x3)f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)f(67231)f(1)f(1)2，故选A.答案：A5设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()Ax|1x1Bx|x1，或0 x1Cx|x1

52、Dx|1x0，或0 x1解析：奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0 x1，选D.答案：D6已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)1，且对任意的xR，都有f(x3)f(x)，则f(2 017)_.解析：由f(x3)f(x)得函数f(x)的周期T3，则f(2 017)f(1)f(2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)f(2)1.答案：17函数f(x)eq f(x1xa,x3)为奇函数，则a_.解析：由题意知，g

53、(x)(x1)(xa)为偶函数，a1.答案：18已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：直线x1是函数f(x)的一条对称轴；f(x2)f(x)；当1x1x23时，f(x2)f(x1)(x2x1)f(2)f(3)，即f(2 017)f(2 016)f(2 015)答案：f(2 017)f(2 016)f(2 015)9已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,0，x0，,x2mx，x0)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x

54、)f(x)，于是x1，,a21，)所以1a3，故实数a的取值范围是(1,310函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式feq blc(rc)(avs4alco1(xblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)0的解集解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若feq blc(rc)(avs4alco1(xblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)0，,xblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1，)即0 xeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1

55、，解得eq f(1,2)xeq f(1r(17),4)或eq f(1r(17),4)x0.feq blc(rc)(avs4alco1(xblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)0f(1)，eq blcrc (avs4alco1(xblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)0，,xblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1.)xeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1，解得x.原不等式的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,2)xf(1r(17),4)或f(1r(17),4)x0).B组高考题型专练

56、1(2014高考新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C

57、项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C2(2014高考安徽卷)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0 x时，f(x)0，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(23,6)()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2)C0 Deq f(1,2)解析：f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，f(x)的周期T2，又当0 x时，f(x)0，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)0，即feq blc(rc)(avs4alc

58、o1(f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)0，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(23,6)feq blc(rc)(avs4alco1(4f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,2).故选A.答案：A3(2015高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayeq r(1x2) Byxeq f(1,x)Cy2xeq f(1,2x) Dyxex解析：选项A中的函数是偶函数；选

59、项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数答案：D4(2015高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba解析：由f(x)2|xm|1是偶函数得m0，则f(x)2|x|1，当x0，)时，f(x) 2x1递增，又af(log0.53)f(|log0.53|)f(log23)，cf(0)，且0log23log25，则f(0)f(log23)f(log25)，即ca0a0，a0恒成立的充要条件是eq blcrc

60、(avs4alco1(a0，,b24ac0.)(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac0.)自测练习2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是()Ayx22x1Byx22x1Cyx22x1Dyx22x1解析：设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题图得：a0，b0.选C.答案：C3若二次函数f(x)ax24xc的值域为0，)，则a，c满足的条件是_解析：由已知得eq blcrc (avs4alco1(a0，,f(4ac16,4a)0，)eq blcrc (avs4alco1(a0，,ac40.)答案：a0