考研数学高数真题分类-微分方程

1、(11一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-微分方程知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。微分方程综述：微分方程可以看做一元函数微积分学的应用与推广，主要考查考生的计算能力。这一部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右.本章的主要知识点有：微分方程的阶、通解和特解等基本概念，可分离变量方程的求解齐次方程的求解，一阶线性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降阶的高阶微分方程的求解，高阶线性微分方程解的

2、结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此基础上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何及物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用.常考题型一：一阶方程的求解1可分离变量方程【2006-14分】微分方程y=必1X)的通解是x【2008-14分】微分方程xy+y二满足条件y二1的解是y=【1998-23分】已知函数y

3、二y(x)在任意点x处的增量Ay二丄红+，且当1+x2AXT时，a是AX的高阶无穷小，y(0)n，则y(1)等于【1994-23分】微分方程ydx+(x2-4x)dy=的通解为yarcsinx+5.【2001-23分】微分方程y满足L2丿=0的特解为()6.【2005-34分】微分方程xy+y=0满足初始条件y=2的特解为x=x(t)7.【2008-210分】设函数y=y(x)由参数方程J2确定，其中x(t)是y=Jtln(l+u)dul0的解.求竺Zdx2dx小2te初值问题dtxI=0t=0【小结】：如果一个一阶微分方程可以写成g(y)dy=f(x)dx的形式，我们就称该微分方程为可分离变

4、量的微分方程对该方程的两端求不定积分Jg(y)dy=J/(x)dx就得到微分方程的通解.齐次方程8.【2007-34分】微分方程dy=丄dxx1(y)3满足y|=1的特解为y=x=19.【1996-36分】求微分方程dy=二殳工的通解.dxx10【1993-15分】求微分方程x2y+xy=y2满足初始条件y=1的特解x=1【1997-25分】求微分方程(3x2+2xy一y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解.【1999-27分】求初始问题(y十2)一xdy=(x0)的解.y|=0 x=1【2014-14分】微分方程xy+y(lnxIny)=0满足y(1)=e3的解为.【小结】：如果一阶微分

5、方程专=/(x,y)中的函数f(x，y)可以写成9()的形式，则称dxxy该方程为齐次方程对于齐次方程，我们引入新函数u=,则y=ux.由一元函数微分学的x知识，可知dy=xdu+udx.代入原方程可得xT+U=9(u)，整理得=则原dx9(u)ux方程就被化为了可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数u，再由y=ux就可以得到未知函数y的表达式齐次方程是通过变量代换化为可分离变量方程的。对方程作变量代换将其化作更为已经求解过的类型是解微分方程的一个非常重要的思想。这一点在考试大纲上虽没有明确要求，但也需要引起考生的注意，稍微了解一些其它将对微分方程作变量代换的方法。一阶线性微分方程TOC o

6、 1-5 h z14-(2012-24分】微分方程ydx+(x-3y2)dy=0满足初始条件y|二1的解为。x=l15【2004-23分】微分方程(y+x3)dx2xdy=0满足y|=的特解为.x=i5【2005-24分】微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=9的解为.【2008-24分】微分方程(y+x2ex)dxxdy=0的通解是y=【1992-13分】微分方程y+ytanx=cosx的通解为【2011-14分】微分方程y+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解y=.【1992-25分】求微分方程(yx3)dx2xdy=0的解【1993-25分】求微分方程(x21)dy+(2xyc

7、osx)dx=0满足初始条件y=1x=0的特解.I15-28分】设y=ex是微分方程xy+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件yx=ln2=0的特解.23.【1996-28分】设f(x)为连续函数,y+ay=f(x),求初值问题!的解y(x)，其中a为正的常数;y|=0Vx=0k若1/(x)|0时，有1y(x)|01996-25分】求微分方程y”+y二x2的通解.2000-36分】求微分方程y-2y-e2x=0满足条件y(0)=0,y(0)=1的解.1998-25分】利用代换y将方程ycosx一2ysinx+3ycosx一ex化简，cosx并求出原方程的通解.2003-212分】设函数

8、y一y(x)在(O+Q内具有二阶导数，且y丰0,x一x(y)是y-y(x)的反函数.试将xd2xx(y)所满足的微分方程dy2+(y+sinx)(dx)3-0dy变换为y一y(x)满足的微分方程；y(0)-0,y(0)-2(2)求变换后的微分方程满足初始条件2的解.x一2t+122010-210分】设函数y一f(x)由参数方程(t-1)所确定，其中屮y一屮(t)具有2阶导数，且屮(1)二5,屮二6.已知d2y=3,求函数屮(t).2dx24(1+1)2005-212分】用变量代换x=cost(0tn)化简微分方程(1x2)yxy+y=0,并求其满足y=1，y=2的特解.x=0 x=0/、b+4

9、y+4y=0【1994-15分】设函数y=y(x)满足条件彳八：求广义积分y(0)=2,y(0)=4Iy(x)dx0【2013-34分】微分方程yy+4y=0通解为y=。高于二阶的常系数线性微分方程【2008-124分】在下列微分方程中，以y=Cex+Ccos2x+Csin2x（C,C,C123123为任意常数）为通解的是（）（A）y+y4y4y=0.（B）y+y+4y+4y=0.（C）yy4y+4y=0.（D）y-y+4y4y=0.【2000-23分】具有特解y=ex，y=2xex，y=3ex的3阶常系数齐次线性微123分方程是（A）yyy+y=0（B）y+yyy=0（C）y6y+11y6y

10、=0（D）y2yy+2y=0【2010-24分】求3阶常系数线性齐次微分方程y2y+y2y=0的通解.常考题型四：含有变限积分的方程【1995-36分】已知连续函数f(x)满足条件f(x)=I3xff-Idt+e2x，求f(x).0k3丿【1997-1、36分】设函数f(t)在0,+)上连续，且满足方程f(t)=e4币2+1fJx2+y2dxdy，求f(t).x2+y20时，成立不等式e-xf(x)0)的通解为.TOC o 1-5 h zdx2dx【小结】：形如xny(n)+axn-iy(n-i)+axn-2y(n-2)+.+axy+ay=0称为欧拉方程.12n-1ndydydtdy令x二et

11、则有，丄=e-td2y_ddx2dxdxdtdxdte-t=e-2t如-e-2型以此dt2dte-1空=1e-t型竺=t如-e-t_dtdtdtdxdt2dt_类推，将这些关系代回就可以将原方程化为常系数线性微分方程.常考题型六：差分方程*(数三)69.【2001-33分】某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万若以W表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则W满足的差分方程是tt1998-33分】差分方程2y+10y-5t二0的通解为t+1t1997-33分】差分方程y一y=12t的通解为.t+1t常考题型七：微分方程的应用利用微分学的知识列方程72.1997-17分】设函数

12、f(u)具有二阶连续导数，而z二f(exsiny)满足d2zd2z求f(u).+e2xz，dx2dy273.2014-1、2、310分】设函数/(u)具有二阶连续导数，z二f(excosy)满足空+空=(4z+excosy0 x.若f(0)=0,f(0)=0，求f(u)的表达式.dx2dy274.2006-212分】设函数f(u)在(0,+)内具有二阶导数，且z=f.x2+y2丿满足等式字+字=0dx2dy2验证f(u)+=0.u若f(1)=0,f(1)=1,求函数f(u)的表达式.75.【1995-17分】设曲线L位于xoy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知

13、，且l过点住，3、，求L的方程.76.1996-17分】设对任意x0，曲线y=f(x)上点(x,f(x)处切线在y轴上的截距等于-JxfC)dt，求f(x)的一般表达式.x077.1998-28分】设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为，且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数卫+y，2y=y(x)的极值.【2000-27分】某湖泊的水量为卩，每年排入湖泊内污染物A的污水量为V，流入6湖泊内不含A的水量为V，流出湖泊的水量为；已知1999年年底湖中A的含量为5m，630超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中

14、含A污水的浓度不超过彳0问至少需经过多少年，湖泊中污染物A的含量可降至m以内？(注：设湖水中A的浓度是均匀的).【2001-27分】设函数f(x),g(x)满足f(x)二g(x),g(x)二2ex-f(x)，且f(0)=0,g(0)=2，求L0g(x)1+xf(x)(1+x)2dx.80.【2001-29分】设L是一条平面曲线，其上任意一点p(x,y)(x0)到坐标原点的(1、距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且l经过点,o.12丿(1)试求曲线厶的方程求厶位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小.)的光滑曲线，当吨x081.【2009-212分】设y=y(x

15、)是区间(-兀，兀)内过(-时，曲线上任一点处的法线都过原点，当00).(1)求L的方程；8当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为3时，确定a的值.【2002-28分】求微分方程xdy+(x2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)，与直线x=x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.84.【2003-19分】设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(g+对内满足以下条件：f(x)二g(x),g(x)二f(x)，且f(0二0),f(x)+g(x)二2ex求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.21【2003-212分】

16、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,-)，其上任一点P(x,y)22处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.求曲线y=f(x)的方程；已知曲线y=Sinx在0,兀上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长S.【2011-210分】设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y二x相切于原点，记d为曲线1在点(x,y)处切线的倾角，若竺二dy,求y(x)的表达式.dxdxTOC o 1-5 h zfx二f(t)(兀、【2012-110分】已知曲线L:丿0t000)二阶可导且yXx)0,y(0)=1，过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述

17、两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S，区间0,x上以y二y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设25-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.192.【2005-211分】如图，C和C分别是y=(1+ex)和y=exy1122的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象.过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线1和1记C,C与1所围图形的面积为xy12xsx)；CC与1所围图形的面积为s(y).如123y2果总有S(x)二S直(y)，求曲线C3的方程x=9(y).【2008-211分】设f(x)是区间0,+8)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1.对于任意的t

18、w0,+8)，直线x=0,x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.2009-310分】设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的兀t倍，求该曲线方程。2009-210分】设非负函数y=y(x)(x0)满足微分方程xy-y+2=0.当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.199837

19、分】设函数/(x)在丄+)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1,x=t(fl)与x轴所围成的平面图形绕X旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=才t2(t)-f(1).试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y=|的解.x=29利用物理规律列方程*(数一、数二)【1993-26分】设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并定出初始条件【1997-25分】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握技术的人进行的.设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握技术

20、的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(f)(将x(f)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k0，求x(t).99.【2001-211分】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7，问雪堆全部融化需要多少小时?100.【2003-210分】有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=(y)(yn0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积

21、将以兀m2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与申(y)之间的关系式;(2)求曲线x=9(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)101.【2004-311分】某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k二6.0 x106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注k表示千克，km/h表示千米/小时.【1998-36分】从

22、船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为P，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k0）试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）【2015-210分】已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30C，若要将物体的温度继续降至21C,还需要冷却多长时间？【小结】：对微

23、分方程的考查的很大一部分是以应用题的形式出现的，它要求考生不但要具备求解各种基本类型的方程的能力，还要求考生能够根据问题的实际背景抽象出数学模型，建立起微分方程，对考生的综合能力有了更高的要求。建立微分方程没有固定的模式只有通过练习不断体会、不断总结，这方面的内容需要引起考生足够的重视。具体需要注意以下几点：在处理微分方程的综合题时，注意常微分方程与变上、下限积分，反函数与隐函数导数或偏导数的求法，极值问题和级数理论的联系；在处理微分方程在几何上的应用题型时，常常要根据定积分的几何意义（面积、体积）和导数的几何意义（斜率、曲率）列出相应的方程。在处理微分方程的物理上的应用题型时，常常要利用导数

24、的物理意义（变化率、速度、加速度）、牛顿第二定律及能量守恒律（积分的物理意义）列出相应的方程。利用幂级数的知识列方程104.【2002-17分】（1）验证函数y(x)x3x6x9=1+L+3!6!9!+L(gx0)10.1993-15分】【答案】y=去1997-25分】答案】y2-xy-x2=Cx-111999-27分】【答案】y=_(x2-1)213.2014-14分】答案】y=xe2x+12012-24分】答案】x=y212004-23分】【答案】y=、匸+x3112005-24分】答案】392008-24分】答案】x(-e-x+C)18.1992-13分】答案】cosx-(x+C)19.

25、【2011-14分】【答案】e-xsinx(x20-11992-25分】【答案】y+i+cJx221.【1993-25分】【答案】y=送乎22.1995-28分】【答案】y*ex-ex+e-x23.【1996-28分】【答案】(1)y(x)=e-ax【F(x)F(0)Le-axf5f(t)dt024.【1999-36分】【答案】y(x)二e2x-1,Ge-2)e2xx1.25.【2012-310分】【答案】(1)f(x)二ex;拐点为(0,0)f(x)=2cosx+sinx+x2226.【1994-19分】【答案】x2y22ysinx+ycosx+2xy=C2C【2000-13分】【答案】y二

26、C+-21x2【2002-13分】【答案】y2二x+1或y=.771【2007-210分】【答案】y=3x2【2010-24分】【答案】(A)【2006-34分】【答案】(B)【2011-24分】【答案】y=Ce2x+Ccosx+Csinx123【2015-14分】【答案】(A)35.【2013-14分】【答案】【1997-25分】【答案】y=Ce3x+Cex-xe2x1236.【2013-24分】【答案】y二e3xexxe2x37.【2015-34分】【答案】e2x72ex【2012-14分】【答案】ex22004-24分】【答案】(A)38.39.40.41.42.43.44.45.46.

27、47.48.49.50.51.52.当a53.54.55.56.57.58.2006-24分】【答案】1995-23分】【答案】y=2x+Ccosx+Csinx-21996-23分】【答案】y=ex(Ccos2x+Csin2x)-21996-13分】【答案】1999-13分】【答案】y=Cexcosx+Cexsinx+ex-2-y=Ce-2x+(C+丁x)e2x，其中C,C为任意常数-24-22007-14分】【答案】y=Cex+Ce3x2e2x122009-14分】【答案】y=一xex+x+22001-13分】【答案】y-2y+2y=01992-16分】【答案】1y=Cex+Ce3x一xe3

28、x1242010-110分】【答案】y=y+y*=Cex+Ce2xx(x+2)ex121y=Cex+Ce2x一(x2+x)ex1221992-29分】【答案】1993-29分】【答案】Q=3,卩=2,Y=1,y=Cex+Ce2x+xex-21994-29分】【答案】当a丰1时，通解为y=Ccosax+Csinax+1-sinx；a2-1=1时，通解为y=Ccosax+Csinax一xcosx1221y=x3x2+2x+C+Cex312311y=+(+x)e2x4421996-25分】【答案】2000-36分】【答案】1998-25分】【答案】cos2xexy=C+Csinx+-cosx25co

29、sx12003-212分】【答案】y一y=sinx.y=exex-sinx.【2010-210分】【答案】屮(t)=312+13,(t1)2【2005-212分】【答案】y=2x+，-x2.1994-15分】【答案】159.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.【2013-34分】【答案】e2xQx+C）12【2008-124分】【答案】（D）2000-23分】【答案】（B）【2010-24分】【答案】y=Ce2x+Ccosx+Csinx1231995-36分】【答案】3e3x2e2x【1997-136分】【答案】Ci12+Je血12000-28分1【答案】八x)一芮【2007-210分1【答案1f(x)=InIsinx+cosxI2004-1cc4分1【答案1y=-+xx22001-33分1【答案1W二1.2W+2tt11998-33分1【答案1y二C(-5)+5(6t1)/72t1997-33分1【答案1y=C+(t2)2tt1997-17分1【答案1f(u)=ceu+ce-u12111【2014-1、2、310分1答案：f(u)二一e2“e2u-u16164【2006-212分】【答案1(2)f(u)=Inu【1995-17分】【答案1y3x-x2（0 x3）.【1996-17