怎样培养中学生运算能力

1、 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 怎样培养中学生运算能力 摘 要： “培养学生的运算能力”是数学学科教学目的之一。培养学生的运算能力，不仅要了解运算的内容，运算能力的结构，而且要研究学生这个主体，了解学生在运算过程容易产生的问题，分析原因，有的放矢地采取措施。那么怎样培养中学生的运算能力呢？本文将主要从解题的准确性及解题的速

2、度两方面进行探讨。 关键词：培养 能力 运算 思维 引言：目前，中学生运算能力的状况是很差的，不少老师埋怨：“学生的计算能力太差了，连简单的运算都过不了关，甚至数学基础好的学生运算结果也常出差错。”这些状况的出现原因是多方面的。有的学生不明算理，机械地照搬公式；有的则是不顾运算结果，盲目推演，缺乏合理选择简捷运算途径的意识；也有的学生对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是把“粗心”“马虎”作为借口；也有相当多的老师只着重解题方法和思路的引导，而忽视对运算过程的合理性、简捷性的必要指导。这样不仅影响了学生思维能力的发展，也必然影响教学质量的提高。本文就如何提高学生的运算能力，从以下几个方面谈谈自

3、己的粗浅看法。1.运算能力的意义，结构，内容 运算能力寓运算内容的学习和训练之中，中学数学运算的内容是随着数学知识体系的展开而展开的，贯穿课程内容的始终。中学数学教学中，随着数的范围的扩充，运算的范围也相继扩充到了有理数的运算，实数的运算，复数的运算，随着字母表示数，运算的对象由数发展到式，相应地引入了整式运算，分式运算，根式运算。运算法则也逐步由四则运算发展到乘方，开方，指数，对数以及三角运算。随着变量及函数的引入，又由有限运算发展无限运算极限运算，微分运算，积分运算。随着“集 合”的学习，运算对象发展到集合，并建立起其独特的运算法则，对应既是一种运算，也是运算的对象，并且运算是被理解为从集

4、合 到集合 的对应。引入向量以后，向量也成了运算对象，并且建立其运算法则。此外，中学数学中还有大量以“变换”形式出现的运算，如：因式分解，代数式，三角式与对数式的恒等变换等都是恒等变换。解方程（组），解不等式（组）实际上是同解变换。几何中的平移变换，旋转变换，位似变换都可理解为运算。12.影响学生运算能力的心理因素2.1固定的思维方法 固定的思维方法在运算中有积极的一面，也有消极的影响，当学生掌握了某一种知识（方法）往往习惯用类似的旧知识（方法）去思考问题，这样必然会出现思维的惰性，影响运算的速度，使运算过程繁冗不堪。2.2缺乏比较意识 比较意识是解决问题的一个重要方向。解题时往往解决问题的途

5、径很多，这就要求我们善于选优而从。有的学生缺乏比较意识，做题时往往找到一种方法就抱着死做下去，即使繁冗，也不在乎，认为做对就行了。老师在讲评题目时，忽略多种解法当中简捷方法的优先性。2.3运算的速度慢，准确性差，运算的盲目性大 有一部分同学只注重盲目运算练习，不注重对知识结构，方法，技巧进行总结，归纳，整理，做题不少，但运算能力提高不大。原因有二方面：首先是思想（学习目的，态度，意志，毅力）素质和心理素质差，其次是训练欠科学，知识技能基础不能适应运用的要求，不能合理地选择运算方法，计算的灵活性差，思维缩短的时机不当，为时过早，缺乏对题目的分析综合处理，把握题目结构，最初定向能力差。3.运算能力

6、及其特点 运算能力的基本特点有两个：3.1运算能力的层次性 在数学发展的历史上，不同类别的运算是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的。因此对运算的认识和掌握也必须是逐步有序、有层次的，不掌握有理数的计算，就不可能掌握实数的计算；不掌握整式的计算，也就不可能掌握分式的计算。不掌握有限运算，就不可能掌握无限计算。没有具体运算的基础，抽象运算就难以实现。由此可见，运算能力是随着知识面的逐步加宽、内容的不断深化、抽象程序的不断提高而逐步发展的。如果说数学内容的发展是无穷的，那么运算能力的提高也是永远不会终结的 对于中学数学运算能力的要求大致可分为三个层次：计算的准确性基本要求计

7、算的合理、简捷、迅速较高要求计算的技巧性、灵活性高标准要求。在思想上一定要充分认识提高运算能力的重要性，把运算技能上升到能力的层次上，把运算的技巧与发展思维融合在一起。3.2运算能力的综合性 运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他能力而独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和逻辑思维能力等数学能力相互支持着。因而提高运算能力的问题，是一个综合问题，在中学各科的教学过程中，努力培养计算能力，不断引导，逐渐积累、提高 ，为此课堂教学应：重视基本概念、基本原理的教学；加强基本运算训练，形成技能技巧；运算过程中要有速度要求，并鼓励创

8、新；解题方法力求合理、清晰、简洁；提高学生综合运算的技能。23.3如何发展运算能力 培养和发展某一种运算的运算能力大致经历以下几个阶段： 3.3.1理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段。 3.3.2从运算技能上升到运算能力的阶段。 3.3.3在各种应用中，进一步提高运算能力的阶段。 第一阶段要完成从知识到技能的过渡，重点是准确理解有关知识，熟练有关运算的方法、步骤，应该本着“先慢后快”、“先死后活”的原则。随着运算技能的形成，逐渐简化运算步骤，灵活运用法则、公式。培养学生合理选择简捷运算途径的意识和习惯。 计算能力的初步形成，还必须在今后应用中得到巩固、发展和深化。在应用过程中，运

9、算的目的不一定是追求一个简化的结果，而且要为一定的推理、演绎、判断服务。 4、怎样培养中学生的运算能力 4.1关于准确性的培养 运算准确是数学解题的最基本的要求，要想提高运算的准确率，一方面使学生从思想上重视运算。另一方面要想提高运算的准确率，要从算法、算理、算率抓准确率。 例1（96年高考题第16题）已知：圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切，则p=_. 分析：圆x2+y2-6x-7=0整理为（x-3）2+y2=16,圆心为O(3,0),半径R=4,O为坐标原点.抛物线y2=2px的准线方程为x=-1 R=4,所以p=2.该题是一道比较简单的题目，但有的同学填写p

10、=1，把原点O到准线的距离误认为是p;也有的学生把圆心O(3,0),误认为是抛物线y2=2px的焦点,填写p=4,导致错误,这是由于概念不清造成的. 例2.已知4a2+9b2=4ab且a 0,b 0 求证： 证明： 即 （a0,b0) 对本题的证明学生常常不作进一步的思考，这里运算表面上是正确的，但满足条件的a和b 是不存在的。因为由（2a-3b）20可得4a2+9b212ab，当a 0 b0 时显然4ab4ab.条件不存在，已知不正确，从而结论恒不成立。3 从以上两例可看出,要想提高运算的准确率,必须从基础抓起,重视对基础知识、基本技能和基本方法的训练。强调落实，不走过程，发现错误追根求源及

11、时纠正。从而使学生正确熟练的掌握概念公式，提高运算的准确性。4.2通过熟练、合理、简捷的运算提高解题速度 中高考是在一定时间内完成定量试题的解答，这就要求考生答题时既要准确，又要迅速，运算速度是运算能力的重要标志。要想算的快，就必须使基本运算十分熟练，运算方法合理，运算途径尽量简捷。4.2.1重视运算的最初定向，以提高运算的速度 人只有经常进行高速紧张的模拟训练，才能最终处变不惊、顺其自然地度过高考应试的最佳状态。因此，在课堂训练中，应重视运算与时间的关系，坚持定时定量的练习，并逐渐加大运算量，在运算的训练中，应重点强调基本运算，它是提高运算速度的基础。 例3、已知：一条抛物线经过点A（-1，

12、1），点B（3，0），点C（-2，0），求抛物线方程。 分析：本题的基本结构是已知上三点坐标，求抛物线的方程，一般可用代入法，但进一步分析会发现，以知三个点中有两个点在x轴上。题目中隐含的这种特殊性说明方程ax2+bx+c=0（a0）有x1=3 ,x2=-2 两个根，于是导致解法的特殊性，可用y=a(x-x1)(x-x2)的方法求方程。只须辅之代入法求a就行了。比较两种方法，还是后一种简单，这里强调的是合理选择公式，提高基本运算的速度。 例4.以知二次方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0有两个等根，求证：2b=a+c 分析：本题的基本结构是以知二次方程的两根证明一个等式基本方法是根

13、据根的判别式等于0进行推导，但进一步观察会发现题目中各项系数呈轮换对称，其和为0，题目之中隐含这一特点说明根x1=x2=1，于是可用韦达定理证明之。 4.2.2正确合理的使用数学规律，简化运算，提高解题速度。 数学规律包括：性质、法则、公理、定理等。同一个问题若采用的数学规律不同，则思路和方法则不同。方法选择的越合理，运算的速度就越快。4 例5.f(x)=4x2 -2x+1 (x (0,+) 则 f-1(0)=_ 这是1993年理工类高考题增加条件x (0,+)得到,若求反函数再代入则费时难解,若对互为反函数的关系理解透彻,令f(x)=0,解出x=1,则f-1(0) =1,这样灵活处理，显然简

14、捷快当。 例6.椭圆上的一点P到左焦点的距离为15，求P点到两条准线的距离。 分析：要求P点到两条准线的距离，可以先求出P点的坐标及椭圆的准线的方程，然后解答之。设P点坐标为（x，y），易知a=10，b=6，故c=8，椭圆中心为（1，2），故左焦点为（1，6），但实施上述思路可以选择不同的方法。 方法1：运用椭圆方程与“P到左焦点的距离”求出P点坐标（x，y），即然后解出x，y 求解。 方法2：运用左右焦点到左右准线的距离（因为2a=20，P到左焦点距离为15，所以P到右焦点的距离为5，右焦点坐标为（6，1），进一步求出P点的坐标（x，y），可得方程组： 虽然方法2比方法1简便一些，但运算起来

15、也比较繁，如果运用椭圆的第二定义，运算就简便多了。 例7.解方程组： 分析：本题为含有一个二元一次方程的二元二次方程，基本解法是代入法，显然用此法解较繁，但若把方程2变形为（2x-1）+（y+1）=7，运用换元法就简单多了。以上三例说明：只要合理使用概念和性质，就可以简化运算，提高速度。4.2.3利用重要结论，合理跳步，提高运算的速度。 高考数学试题中选择题和填空题只需要填写准确答案，这就提示我们，对于重点考查且经常使用的内容，可以将它们归纳成公式或法则应用，这样便可以使大题变小，难题化易，繁题化简，从而节省运算的步骤和时间，以提高运算的速度。 例8、计算2100（-0.5）101=-0.5

16、分析：此题如果硬算很难下手，但经过变形后利用公式anbn=(ab)n来解很简单。 例9.计算992，结果为9801 分析：利用公式（a-b）2=a2-2ab+b2，可得992=（100-1）2=1002-200+1=98014.2.4利用等价转化思想简化运算，以提高运算的速度。 等价转化思想是指利用有关的知识，将一类简单的运算问题转化为一类简单的运算问题。通过等价转化，改变运算的途径，或减少运算的步骤。 例10、(2x3-3x2+1)3展开式中x2 的系数为_ （答案：-24） 分析：求一个三项式展开中的某一项，一般应将这个三项式转化为一个二项式展开。转化法一：看这个三项式能否写成一个二项式的

17、平方（否）；转化法二：看这个三项式能否分解因式（否）；转化法三：将这个三项式分组处理，一组一项，一组两项，再二项式展开（较繁）；转化法四：因为x2的系数与2x3项无关，所以(2x3-3x2+1)3展开式中x2 的系数等于（-3x2+1）3展开式中x2项的系数，这一转化使本题的运算量大大降低。本题十分明显的体现出了等价转化的重要作用。4.2.5利用“口诀”化规则，提高运算速度。 对于一些运用起来较繁的性质，采用一些自编的“口诀”化的规则，可达到提高解题速度的目的。 如：符合函数fg(x)的 单调性，对f、g 可归纳成为“同增异减” 例11.函数 log0.5（x2+4x+4)在什么区间上是增函数？（1984年理工类高考数学试题） 解：已知，函数定义域为（-，-2） （-2，+），记f(x)=log0.5x为减函数，据“同向得增“知所求区间应为g(x)=x2+4x+4的单调递减区间或它的子区间，因此得函数单调增区间是（-，-2） 总之，中学数学教学中，在重视形象直观，结合实际激发学生的学习兴趣的同时，还应注意