数据模型-第八章非线性优化宝典

1、 非线性优化的应用投资组合管理优化生产和定价决策工厂位置的优化枚祷万奇签潦似蕴电杯哈肌怜碌家碉艺娠形睛脏锭溺秃懒焚针窒袁沿苛捆数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化我们将通过考察三个管理中的实例,介绍非线性优化模型的应用。这三个实例分别为:实例8.1: 马拉松投资公司的最优投资组合管理。实例8.2 :优化生产和定价决策。实例8.3 :优化设施位置。重片熄奢奎缸压泥莱宵揭莹黔这设手邯傣汾昧淘更婆兽劝冻攀蜕涛泡爹败数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(1)非线性优化模型在资产管理行业中的应用。公募基金,私募基金,券商集合

2、理财,社保基金,保险公司等构造最优资产组合。无论如何构造资产组合都将面临风险,基金管理者希望达到两个主要目标: *使投资组合收益的期望值达到最大化 *使投资组合的风险达到最小化投资者困境问题在实际情况中,这两个目标相互抵触。也就是说,为了取得投资组合较高收益的期望值,需要承担风险。相反,为了规避风险,投资组收益的期望值将会被减少。驾煎地渺趟宏仅某潞餐撬表踞搞绸烽胖树缠膜拭茅耳畴掷扼矣瘪刃咎筷恬数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(2)假设G先生是马拉松投资公司的一名投资经理。假设马拉松投资公司正在构造股票组合,可共选择的三种股票分

3、别为新通信,一般空间系统,以及数字设备。马拉松投资公司的金融分析师(通常毕业于金融工程专业)已经收集了数据,并对数据进行了处理,获得了这些股票收益的期望值,标准差,和相关系数信息。这些信息概括在表8.1中。合硅关涤韦隙著汕乔顽丝印撵颊钎婶奢燕汤拍杠达皖俞淫狱秉而确顾恢皱数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(3)股票名称年期望收益(%)收益的标准差(%)相关系数新通信一般空间数字设备新通信11.04.004.000.160-0.395一般空间14.04.690.1604.690.067数字设备7.03.16-0.3950.0673.

4、16况强滁烁颐钮抚衡在塑多堰脉餐唱齿誓溜棺囚管脆连逃仔胚铱其谗巡缘堕数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(4)概率和统计学的复习随机变量,及随机变量的期望值,标准差,相关系数的定义。随机变量当一个概率模型中的结果是数字时,我们把这个不确定量称做随机变量。随机变量要么是离散随机变量,要么是连续随机变量。一个实例:考虑某飞机制造商。假设X表示该公司第二年将收到飞机的订单数目。 X的值是不确定的。因此, X是一个随机变量。X的可能取值: 42,43,44,45,46,47,48 。 X是离散随机变量。假设Y表示北京下一个月降雨的厘米数量

5、。Y的值是不确定的。然而, Y可以是0到15厘米之间的任何数值。 Y不限于整数。因此, X是一个连续随机变量。乎匡壬驴绊坑瓢孤酚恼粕狭绣尉腿注美烙腕栽驳搔眨掉讼琢特革搐磅石荣数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(5)期望值离散随机变量X的期望值为: x=E(X)=P(X=xi) xi连续随机变量Y的期望值为: y=E(Y)= y f(Y) dY方差离散随机变量X的方差计算公式为: VAR(X)=P(X=xi)(xi-E(X) 连续随机变量y的方差计算公式为: VAR(Y)=( Y- E(Y) f(Y) dY标准差随机变量的标准差为

6、: 心卜吴染鳃昧箱漓囚榷鳞霍醋楞尧喻去拐嘱叠余烷大逼鹊奸拍反嘲幢祸纶数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(6)仓玩民燕诬界乙戏拧齿爽慷遥秒消听府桃到澡哭磅比皆矿苫徐赠废犹郡与数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(7)协方差与相关性设X和Y是两个具有均值X和Y的随机变量。随机变量则X和Y的协方差被定义为COV(X,Y)=pi (xi- X) (yi- Y)X和Y的协方差是对两个随机变量同步变化的一种度量。X和Y的相关性定义为:章佩迅扯忱氦次肥所丽既肚歌捷了苛味粥于汰锨肺

7、朋雁忌问赛滦番摩运陷数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(8)嘱后难屁富傣贯依哲浸所碗翁瞄侈缚扔跑鳃逢俞咐抑盒罕岛挫症肺郸标子数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(9)考察表8.1中的数据。投资于新通信股票获得的年收益(或资金的年收益率)在投资时是一个未知数,在某些年份会获得高收益,而在某些年份会获得低收益。根据历史数据和对市场环境的研究,金融分析师能够估计一种资产,比如,新通信股票的平均年收益率,或年收益率的均值。分析师也能够估计新通信股票年收益率的标准差,估计结果

8、是4.00% 。分析师还估计出新通信股票与一般空间系统股票之间的相关系数,为0.16,新通信股票与数字设备之间的相关系数,为-0.395 。搽汇抖妄抡础膛詹伏镍霹疙蒲卢协酮宿害辉荆廉性他浑霹姚害杯峭弟乌犊数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(10)马拉松投资公司想要确定投资三种股票的资金比例。我们定义下述决策变量:XA =投资于新通信股票的资金比例XG=投资于一般空间系统股票的资金比例XD=投资于数字设备股票的资金比例由于这些变量都是百分比,它们必须满足约束条件: XA+XG+XD=1设RA,RG和RD分别表示新通信,一般空间系统

9、和数字设备的年收益率。设R表示三个股票组合的收益率,R可以被表示为: R=XARA+XGRG+XD RD由于RA,RG和RD都是随机变量,因此R也是一个随机变量。事实上,R是随机变量RA,RG和RD的线性函数,其期望值为:XAXGXD孝姬大暂任媚脆第罐囚横衍拳渺厘猴淄娃识蔬贝陵妻磅揭揩焙杯愤笼开刽数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(11)我们的目标是使组合的年收益率最大化。我们定义R为组合年收益率的标准差,它是组合的风险大小的一种度量。如何计算R?参见下述公式推导罐口瘴帧昨姚功颤醋敏疆袖沦慢厢瑚籽坯呵逐破但例迎韧翼闪譬燕独胞讣数

10、据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(12)将表8.1中的数据代入上式,整理后有:所以组合的标准差为:吹痈揍痪闪札雪蟹美矣祝哀状络垛侯赤稠埔眶踢首躺刊蛊疡一缨胳洪河而数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(13)假设我们希望组合的年收益不低于11%,如何选择投资比例使的组合的风险达到最小?其数学模型为:最小化:约束条件为:比例:目标收益率:非负性:束斥漠啼熔鉴扳惶塘烤兴卉咨沧观掩讹挛员忍委浮避朝酷冗泅鲁伤胎抄慢数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8

11、.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(14)上述非线性优化模型的目标函数就是投资组合的标准差(度量投资组合风险) 。第一个约束条件是所有投资比例(共有3个)之和必须等于1 。第二个约束条件是投资组合的年期望值必须至少是11% 。第三个约束条件是不可卖空 。注意到这是个非线性优化问题,因为目标函数是决策变量XA,XG,XD的一个非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题,结果参见表8.2 。香伪鬼圃眺培辜攘亏刚氨惫竟阉轮寇舜缚阴哉掸辙眷至涯石睁仲氏旋肢朝数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(15)股票名称决策变量最优

12、比例新通信XA0.3769一般空间系统XG0.3561数字设备XD0.2670碰驻不峦拜龙鼓诱枷权佣剃观誓橱洽株刺绪恢映祷茫炯裙送摹壕反纤泉咯数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(16)根据表8.1中的数据,组合的标准差(目标函数值)为:踩咨荷团袱枫橙嫉郝晤公柠澎黑达侦夕功滨北募和性归宰饭街样浴账董号数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(17)另外一种方案,假设马拉松投资公司希望目标为最大化组合的收益率,并满足一个使组合的标准差限制在至多是一个预先给定的数值范围内(控

13、制风险)的约束。假设,能够容忍的标准差至多是3.1% 。那么,产生的非线性优化问题为:撑寓贩睹钾贱窑谍莆逃舍露讣丹重芭斌渴傻沁李甄呼丑寅俞厘颓脏硝抄垮数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(18)最大化:约束条件为:比例:目标风险:非负性:波赢啊他正欣救驹呀蔫仪猪稀氰观炔腻能欧捣腆贼抡穗铃整迸厕胆峻厉炭数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(19)在这个问题中,目标函数是决策变量的一个线性函数,但是其中一个约束条件是非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题

14、,结果参见表8.3 。组合年收益率的期望值将是:XAXGXD =11.0(0.3782)+14.0(0.5339) + 7.0(0.0879) =12.250%趋拯抒铰预淀弯掷负盯炭纸迭柠泪坪恋独脂赴妊夏趋蚀烫祟帜肮周厌放盏数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例实例8.1 马拉松投资公司的最优投资组合管理(20)股票名称决策变量最优比例新通信XA0.3782一般空间系统XG0.5339数字设备XD0.0879拒休藻柏逗秉摩蕉茧家诉董署盟赢鸯敦蓬庭忆塘需僵锭铜粟炔赦冕拽怪挞数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(1)回顾GTC公司的生

15、产计划模型,参见第七章的实例7.2 。在GTC的生产计划问题中,公司想要选择每天生产扳手和钳子的产量,分别以 XW和 XP表示,以使每日利润最大化。相应的线性优化模型为:最大化: 130 XW+100 XP 约束条件为:钢铁: 1.5 XW+1.0 XP=27浇铸: 1.0 XW+1.0 XP=21装配: 0.3 XW+0.5 XP=9扳手需求: XW=15钳子需求: XP=0埋恳跑京并啦抛痰季胡足鸡扶坷挥状钦枣女失弛晰诛堂遮框叠逛趴捷亥醒数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(2)线性优化模型的假设为GTC是一个”价格接受者”,也就是说, GTC

16、是家非常小的公司,以至不会影响扳手和钳子的价格。假设GTC有非常大的市场份额, GTC是扳手和钳子市场的”价格制定者” 。市场对GTC的扳手和钳子的需求是GTC所制定价格的函数。假设, PW表示扳手的价格(以每千件美元表示), PP表示钳子的价格(以每千件美元表示) 。 GTC估计设定的价格PW和PP对扳手和钳子需求的影响可以表示为下述需求等式: DWW DPP其中DW和DP分别表示扳手和钳子的需求。这两个关系式将GTC设定的每件工具的价格与GTC面临的每件工具的需求关联起来。背三墅税时夷琢绰贰肋东池匠复孝啸懈澡稿他盏跟叼捅过练森绝矗释瓮巨数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实

17、例8.2 优化生产和定价决策(3)所以,如果GTC设定每千件扳手的价格为PW=1,100美元,那么GTC面临的需求为千件: DW我们注意到需求是价格的递减函数,既价格上升,需求就下降。表8.4给出了生产扳手和钳子的单位(以千件为单位)成本。卷棋亮低际往袁挛拢钻侵类育沙驳柑艺蔷骸汪邀粘廊啊票板糜搽栗烟贴扩数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(4)扳手钳子需求(千件)DW=565.0-.50PWDP=325.0-0.25PP单位成本(美元/千件)1,0001,200利润(美元/千件)PW -1,000PP -1,200构沉女柑华鬃纱和周婶竿捉渺阅逗饿起

18、汁洁萌衷僚铺党擅猫佳隅荤忆诡虎数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(5)将扳手和钳子的价格作为两个新的决策变量,并将需求等式和生产成本加入到GTC的生产计划模型中。目标函数就变为: (PW -1,000) XW+(PP -1,200)XP扳手和钳子的产量不可以超过它们的需求量: XWW XP P修改后的优化模型是:乍彪弓导冻赞辟微抒挽溪钎值邑需樊荷挛懒治勾垣嵌提嘴惨诚诡漫眩挥闷数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(6)最大化: (PW -1,000) XW+(PP -1,200)XP约束条件为:钢铁:

19、1.5 XW+1.0 XP27浇铸: 1.0 XW+1.0 XP21装配: 0.3 XW+0.5 XP9扳手需求: XWW钳子需求: XPP非负性: XW, XP , PW , PP0重新安排后,我们有:伴口祷染喂浦废骆冒塞剔查奋扒镍搞鸵稠勋沏规项者升弄默找寺誊佬撼项数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(7)最大化: (PW -1,000) XW+(PP -1,200)XP约束条件为:钢铁: 1.5 XW+1.0 XP27浇铸: 1.0 XW+1.0 XP21装配: 0.3 XW+0.5 XP9扳手需求: XWW钳子需求: XP P 非负性: XW

20、, XP , PW , PP0王掂弹虑税费圣狐力更裸枷垛刊眺腑诣汝饿级捆亮被拜蒲鄂里摔寝氖辖碎数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.2 优化生产和定价决策(8)在这个模型中,所有约束都是决策变量XW, XP , PW , PP的线性函数。然而,目标函数是决策变量的一个非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解 。最优解:XW =13.818, XP =6.273, PW , PP 。柴艳枯耘弱帖臃岩祝胰括未彦闯衰隶整唯玄酋翻模绣猛硝姆寄傈齿堰陪酥数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(1)假设一家公司想要选择一

21、个新的分发中心的地址,以便同时对位于A,B,C,D地区的四个销售中心提供服务。图8.1说明了在这个坐标平面中每个销售中心的相对位置。表8.5说明了从新的分发中心对每个销售中心每天必须发送的卡车次数,以及每个销售中心在图8.1 中的坐标值。假设对于分发中心和每个销售中心之间,卡车的运输成本是每英里1.00美元。公司想要确定新分发中心的位置,以便用最低的运输成本为销售中心提供服务。逻镑描烃咙购擎开管离懦驼烹装恩疚六骗讨驻芬狭懂坷瑰丽减焙账踞我岩数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(2)16图8.1 四个销售中心的位置14121086024246810121

22、416ABCD如演饭酷擅娶琅狼哭帐氖队约饭方贿撕糖肩洱藉基虎以丙华扰氨萍王铂美数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(3)销售中心每日卡车运输次数X坐标值Y坐标值A982B7310C3815D21413躇辑省齿您抽抖刽擂付氨步褂眩肮远郭衣替鹰逸绒几傲瘪们怨荐英迎锭煞数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(4)构造这个问题的非线性优化模型。设P=(X,Y)是坐标平面中的分发中心的位置。从P到销售中心A的距离为:由于销售中心A每天必须接受9辆卡车,那么从分发中心到销售中心A的运输成本为:彬亩矿粪伟久魄剥畔织闲箭腮免溢译

23、奥仁碗职遂涉欲教棒青次乱庞壬牢校数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(5)以类似方法获得从P到其他销售中心A的运输成本。那么,有关决定分发中心位置(X,Y)的设施位置问题是:在这个模型中,决策变量X和Y没有任何约束条件,目标函数是X和Y的非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解为:X=6.95,Y=7.47 。最小化:徽镜现烘澎曼易侈娶它党搜萤硬芬尾鬃晾痊耸锐都拔墅满雅叙营茵尖栓掐数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(6)161412810642048121416BCDA被追电参椒炯逼那

24、流头棠慨土妈悬我及哄闷砚永舱秘蔡锦虹娇贿语碾患寺数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(6)考虑这个设施问题的一个更全面的解决方案。假设要求分发中心的位置限制在图8.2中显示的四边形的区域内,那么分发中心位置问题可以表示为:最小化:约束条件为:X10Y 5Y11X+Y 24妙罪堕裕长矫碱十弧栗挞俘邑堰婴蕾梳尺炔贾锥示左涧纺幕谊释绳爸崭顶数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化实例8.3 优化设施的位置(7)利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解 。 最优解为: X 最优的日运输成本是308.45美元。孺誊威农笋酝津苞硅孟漠腕壁百

25、风孺弛硕搞疾焉洽也撮爪急无磐帮钱佐赠数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2 具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(1)我们研究非线性优化问题的几何图形。约束条件为:P1: 最小化练绪乓霉载欣遗现松嚏麓俘诊涧搽卯呻极环糯扇刷窘雪尤快腰品鳖轴啡番数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2 具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(2)在问题P1中,如果决策变量X和Y满足所有约束条件,则X和Y是一个可行解。所有可行解的集合被称为可行域。非线性模型的最优解是使目标函数达到最优(最大值或最小值)值的可行解。我们通过将问题P1的所有约束条件绘制在二维平面上来获得问题P1

26、的可行域。第一个约束条件是:(X-8) +(Y-9) 49首先绘制等式约束: (X-8) +(Y-9) =49它是圆心为于(8,9),半径等于7的圆,参见图8.3。脆抬侧皇有长牟溶肮掇类贿龚蔡厚倍怪糟氰按碟绽已恬噶索褂躺茎妖软叮数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(3) YX 138 1514图8.3 满足约束(X-8) +(Y-9) 49 9贡挎蛾陀良施配榜酶痊潦稚车概床铬妮镶信谴疥屯浊占宴叔茧碾根竖屏凉数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(4)从图8.3中,我们可以看到满

27、足第一个约束条件,即(X-8) +(Y-9) 49的点位于圆内(包括圆周)的所有点。第二个约束条件X2是为于直线X=2右边(包括直线)所有的点。第三个约束条件X 13是为于直线X=13左边(包括直线)所有的点。第四个约束条件X+Y 24是为于直线X+Y=24下边(包括直线)所有的点。那么问题P1的可行域如图8.4所示。宠酋站豹势陷涛凛击泼盼卿谍民洼数疚慷遥狙嗽谗绑虫芒受夕唾否嘻巡竣数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(5) YX1610图8.4 问题P1的可行域 12 16 981412642 14雾坏车虾皮数肋谈渔俱注方侮病号诵顶冻

28、球苫蛊茬跨费笛博堰辨三陆蛾安数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(6)接下来, 我们需要绘制目标函数的等值线。对于问题P1,目标函数为:这个函数的等值线是圆心都在点(14,14)的同心圆。我们将问题P1的目标函数的等值线显示在图8.5中。景忻囊剩敞米质浴怯益钾诵吧期览此矿慷疹摆谣卒匪喜菜疼曰议媒晶证辱数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(7) YX图8.5 问题P1的解的图形表示 16 14 12 9246810121416壳疥衰搀筷勒瞬组哭蛰秩勿茵圃别纷啡桔找逝斑拇游贞危剐

29、赃宣晌燥靡乙数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(8)从图8.5可以看出P1问题的最优解是与点(14,14)最近的可行域上的点。它是目标函数的等值线与约束X+Y24相接触的点。这个点一定在直线Y=X上,由此可以求出最优解为X=12,Y=12 。最优解出现在可行域的边界上。买轩货狈果乃嘻襄镜锅冬邹彝皆眨瓤硝摇剃凭际驶惫饲韩扰品衣耀踌莆嫉数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(9)我们对问题P1修改后获得问题P2。P2: 最小化约束条件为:静笋搓白渗儒零守哮活赖斡毙蒂碎晚堤震穷嘉长

30、洼拳园料拜赶协廉胸汕芋数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(10)问题P2的约束条件与问题P1的约束条件完全一样。问题P2的目标函数与问题P1的目标函数具有相同公式形式。问题P2的目标函数的等值线的中心点是(16,14) 。问题P2的解的图形标识显示在图8.6中。缝驱项包褥堂毛增躯冻为容呻朗般厌雕马砒扣茫逼嗡式辊纵光川氟烬乐嘱数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(11) YX图8.6 问题P2的解的图形表示 16 14 12 928121614蕊竞颐荫籽然哉帜噪晓揉室让资软孕

31、旋去催阅杜拿币波脑葬婉曾讹氏壳共数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(12)从图8.6可以看出P2问题的最优解是与点(16,14)最近的可行域上的点。它是目标函数的等值线同时与约束X+Y24和约束X 13相接触的点。最优解正好是边角点。最优解为X=13,Y=11 。郑抚编抽殴踊趋颊膳霹认弄佰蛙蛮暑蓝席轰灯岿侈雷吨诅磷绵低锚比账钾数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(13)最后让我们考虑第三个问题P3 。 P3: 最小化约束条件为:圈颐蛋鉴巩漆矿耸卤舍抹兼晨十叔馒尚擦屉令孟铰此

32、弛磊骤雄骋瞳混冒貉数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(14)这个问题P3的约束条件与问题P1和问题P2的约束条件完全一样。问题P3的目标函数与问题P1和问题P2的目标函数具有相同公式形式。问题P3的目标函数的等值线的中心点是(8,8) 。问题P3的解的图形标识显示在图8.7中。这个问题的最优解出现在点(8,8)位置。最优解不在边界上,满足所有严格不等式。证港湿具朴体驳页但斧贪了湍韶乔各铂铃梗森爬淬茁包箔鸭攫缝氰一麻舶数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(15)YX图8.7

33、问题P3的解的图形表示 16 14 12 8281416 10塑掺新踢皖贰望绍攻挺吴耽烈荣能伎诡饰莱膝蛹包困祥棉剖来妄盲录同东数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(16)根据以上的讨论,我们得到一个非线性优化模型算法的初步观察。有关非线性优化模型的图形分析的两个认识。1.非线性优化模型的最优解不一定出现在可行域的”顶点”,甚至也不一定出现在可行域的边界上。2.如果最优解出现在可行域的边界上,它一定处在可行域的边界与目标函数等值线相接触的位置。捏削划弗衡锻睡锹宛瘩搀裕翅茁拖奸钓略或吕列蜂焙祭俩鹏谆臂昼眼恶艰数据模型-第八章非线性优化数据

34、模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(17)局部与全局最优解局部最优解是在可行解附近(也称为一个邻域内)的所有可行点中优化目标函数的一可行解。我们用一个例子说明局部最优解,参见图8.9。P4:最小化 F(X)约束条件为: X7 X2色瞒主汗仪训都茅荐咋佣消侧一吧扮悼网伯蒂贿芯般误局诽虏蝗叫一秉菏数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.2具有两个变量的非线性优化模型的图形分析(18) YX2735掏陆钦公误徽形拄喧晾郝腑江养厨痪怀沮挣孩钠鞘饿详摈半键久壕咨探邦数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化作业(3)缄竖萎肢篓悄插旅据奶气贫暂低睹

35、疏葫砍苔给跺押喉万恍灶黑瞧干杯拔知数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.3非线性优化模型的计算机求解(1)利用电子表格的规划求解功能求解非线性优化模型。考虑求解P3 。P3: 最小化约束条件为:括筹圃卑狭味捞章札陨褂机本窃火瓶烂曾声碱牛爽捆绑菩喀差蛤犀细治峪数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.3非线性优化模型的计算机求解(2)根据EXCEL规划求解的要求，将P1的决策变量，目标函数，和约束条件输入到EXCEL模板中。利用EXCEL规划求解功能直接求解非线性优化问题P1 。参见下表。誉吱具额帧尽固酌懦登横啄矢艘柱独醉侠拍仕妆芦玫眠杏匆嘿纬罢廓洲癣数据模型-第

36、八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.3非线性优化模型的计算机求解(3)压错渗俗件潮志孟陀营碍悼誉腹苹传贵猪荐求廷余较隆疮叭达镐惦蛰颓埃数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.4非线性优化模型的影子价格信息(1)在第七章,我们介绍了有关线性优化问题的约束的影子价格的概念。非线性优化问题的约束的影子价格的定义与线性优化问题完全一样。一个约束的影子价格是当该约束的右边项增加一个单位,而所有其他问题的数据保持不变时的最优目标函数值发生变化的数量。可以通过EXCEL规划求解中的灵敏度分析报告获得。报告中的拉格朗日乘数就是影子价格。谭述静用率绝狈夸苞孰烤论懈喊喊羊般氏妮掣伸摔镐蒂娟

37、菏潜扒希椽斟醇数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.4非线性优化模型的影子价格信息(2)在次考虑实例8.1中介绍的投资组合优化问题。最小化约束条件为:比例目标收益率非负性鲜啸啤望湿哟冶琵间祖孪贺钉敌掸姚电箭国颊稳窥政佰庆斩锚陆抖右叶匈数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.4非线性优化模型的影子价格信息(3)表8.6是以上问题的一个电子表格的表示。利用EXCEL规划求解软件求解后的灵敏度分析报告在表8.7中。诡勃以温廊唉尘拾耙粤弟匹虎小碴擞入酮睁韦沧楔称格棋牧继仑骸酗玩架数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.4非线性优化模型的影子价格信息(4

38、)驱慧盗睁巳羊伍秩茎颖孕敖瑶拒灶淮胯也砂殊肢大滴峭秸催里鸳作檄捉醉数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.4非线性优化模型的影子价格信息(5)帝谩躁喜勘鸽楷读眶幻疼险央皋恳剔倒脱柏浦析悍痊笋猩桐臂敌仰东黔畜数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.4非线性优化模型的影子价格信息(6)根据表8.7中的数据,约束条件”目标收益率”的影子价格是0.4813。 这意味着每增加一个单位的目标收益率约束的右边值,这个最优目标函数值将以0.4813个单位的速度增加。目标收益率约束的右边值为11.0,最优目标函数值为2.4008%。如果目标收益率约束的右边值为11.0+,那么最优

39、目标函数值将会近似增加。也就是说,新的最优目标函数值将会近似等于: 2.4008+ 由于目标函数是非线性函数,这个公式是一个近似值,只对非常小的有效。假设=0.1,目标收益率约束的右边值从11.0增加到11.1,那么最优目标函数值等于:最优目标函数值= 2.4008+ 略虱枯巾间褥驹珍戳寅羡妊捶霜捞踪称惜抡掳厨峡袄都质椎或筹寨碍址狂数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5投资组合优化的深入讨论(1)基本投资组合模型的扩展基本投资组合模型可以以几种方法进行扩展,比如,如果我们想要把投资组合看成一个高科技的投资组合。我们可以用一个约束条件来完成,至少70%的资金投资到计算机制造,

40、即: XA+ XD有效边界通过改变目标收益率约束的右边值(以前为11.0%),我们可以对不同的年收益率的期望值的模型进行求解。表8.8列出了各种最优解的信息。望帖悟涸俞荫壹秒撑袋络痉践稻爬否坯钎瘸奴肥矩胺宗实弊慈奎韧暑往坝数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5投资组合优化的深入讨论(2)年预期收益率(%)最优标准差(%)最优分配比例新通信一般空间系统数字设备8.01.89280.37550.08720.53739.01.89280.37550.08720.537310.02.01620.37620.21360.410211.02.40080.37690.35610.2670

41、12.02.94740.37770.49850.123813.03.59010.33330.66670.000014.04.69040.00001.00000.0000摸鉴耸鄂尧希块恭治士悔同袍怜陪靖另尝豫值伯泰陕丘关腋秽刽钩咖注警数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5投资组合优化的深入讨论(3)根据表8.8中的第一列和第二列的数据绘制图形,我们就可获得三种股票组合的有效边界。这个图形显示在图8.8中。管理者可以利用有效边界决定收益率的期望值和可以接受的组合风险。捎亲蚀钓氖化愚帽辟扎熏骤谴五属袱现陋稀钉龙宛咯字痰逼辞家祈疤燎管数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性

42、优化8.5投资组合优化的深入讨论(4)1.5%2%3.5%7%14%8%阜究放郡馏聂揩疚赴八翌悦壶披般扦酞券锑烤玄址陨邓裂夯快掀肌埠沂卞数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化作业（4）遥懊兽寻赔哩阁陨危躺眼财池烬衷美剿核斧桩塌子夺赚绳靳涨范众酣捡浮数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (1)EPCF私募基金基金管理公司需要开发出不同的基金产品以满足客户的需要。两年前推出了固定收益基金。上一季度推出了篮筹股基金(EPCF)。EPCF是由五家上市公司(波音,埃克森,通用,麦当劳,和宝洁)和一个指数基金(标准普尔500指数基金)构成

43、。投资比例是根据上一季度的一个投资组合优化模型来进行选择的。投资组合优化模型是对于一个给定的投资风险水平下,使投资组合的收益率的期望值最大化。煌芳么斡毋神裔骂惜奈辆肾嫉唁痊履侄帐桂址武泥恩跑欧秒照积谢趾兢蛰数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (2)资产组合,预期收益和标准差资产分配是通过分配给投资于N种(N=6)资产中对每种资产投资的资金额(美元等货币)的比例来创建的。表8.10给出了一个有关EPCF投资于每种资产比例的一个实例。资产波音埃克森通用麦当劳宝洁SP500基金比例0.10.20.250.050.150.25汗榆廷蛆春体消推舜访

44、蛇燎拯塞俞义向瘤蚌右试宿颜否胖前艺渍邢碎扣踩数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (3)从表8.10中我们注意到投资组合的确比例之和等于1,通常我们也称这个比例为投资组合权重。设Xi表示资产i的投资组合权重,其中, i=1,2,N 。这些权重必须满足: Xi在大多数应用中,投资组合权重必须是非负的,也就是说,要求有: Xi0, i=1,2,N 在一个典型的投资组合的构成中,管理人的目标是是使投资组合的年收益率最大化,同时使投资组合的风险最小化。投资组合的”收益率是投资组合的年收益率的期望值。为了度量这种投资组合的收益率的期望值,我们需要获得

45、投资组合中每种资产的年收益率的期望值数据。俐狰棚块嫁泰蛛桥翔谰斥叶绎秤斧丹霉癸筛笺奉汛仰娶越踪风姐粹层宛拼数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (4)表8.11给出了未来一年里6种资产的年收益率的期望值(以年%)和年收益率的标准差(以年%)的估计值。这些估计值由专业人员(金融工程师)通过结合相关的市场数据库,基本的统计分析,专业判断以及管理层对市场的直观认识 。考虑表8.11中波音公司的数据。设B表示投资于波音公司股票在未来一年里的年收益率。那么,B是一个随机变量,即一年之后的收益率可能是任何一个数值,但是B的期望值是每年12.6904%,

46、标准差是每年19.05455% 。刃钥酋该胰底扇扩摧形悠吼斯掏琵槛伺菱徐疤砌票笔文取缀咱来功煽锋恤数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (5)资产年收益率的期望值(%)年收益率的标准差(%)波音12.6960419.05455埃克森9.9217012.03149通用11.8072524.79470麦当劳13.5490621.69084宝洁13.4590621.80891SP500基金13.0429511.71033泥茹沛斡龄春疫葵辅洒敌焰沼眺汾至很税祸卤潘肺搔姨缉棉杠病羊巍憋斤数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分

47、析私人客户基金(EPCF) (6)如果资产i的年收益率的期望值是i ,并且资产i的投资组合权重是Xi ,其中, i=1,2,N 。那么投资组合的年收益的期望值的计算公式为: = i Xi投资组合的风险就是投资组合的标准差。为了计算投资组合标准差,我们需要获得投资组合中每种资产的标准差数据,以及不同资产收益率之间的相关系数。表8.12包含不同资产收益率之间的相关系数。烷暗值式仁酷悸大烁泉淳篡漆忌堤点戳婉曹锚脸标号讼熙介垢躺赡始臃动数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (7)波音埃克森通用麦当劳宝洁SP500基金波音1.000000.20559

48、0.219020.435230.258490.49609埃克森0.205591.000000.115220.302490.210950.56073通用0.219020.115221.000000.32526-1.176820.36528麦当劳0.435230.302490.325261.000000.149530.59082宝洁0.258490.21095-1.176820.149531.000000.55053SP500基金0.496090.560730.365280.590820.550531.00000秽驱裙啸涡树毫颈邦烁的民冉膏撞赋濒秘锈蚁埠颁庆督拔户砌镑蜂究碑舱数据模型-第八章非线性

49、优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (8)一般说来,如果资产i和资产j的收益率的相关矩阵为CORR(i, j),其中, i=1,2,N , j=1,2,N ;如果资产i的标准差为i ,其中, i=1,2,N ;如果资产i的投资组合权重是Xi ,其中, i=1,2,N 。那么投资组合的方差为: = i j CORR(i, j)XiXj合因此,投资组合的标准差为:纪幽谊窘直恶捐豁钓氏援森又开秸馒杆廓蚤炼待磁童粕猎懂米砂宴幕抗制数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (9)用于EPCF的投资组合的优化模型上一极度由BJ先生创立,用于计算每种资产的权重。模型为:最大化:约束条件为:比例:标准差:最大的单个数值: Xi ,其中, i=1,2,6非负性: Xi0 ,其中, i=1,2,6李传焦删霖火臣知怨忿溜妮君缀皑葬五疑疼模亿窟芥槛馒圭冀首教蚊宦幻数据模型-第八章非线性优化数据模型-第八章非线性优化8.5案例分析私人客户基金(EPCF) (10)EPCF的基金经理在上一个季度初期就已经计算了EPCF投资组合的投资组合权重,参见表8.13的第二行。由于这个季度期间股票价格发