用空间向量求空间角

1、关于用空间向量求空间角第一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月复习回顾直线的方向向量:两点平面的法向量：三点两线一方程设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则(1)ab. a1b1a2b2a3b3第二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为n1、n2.则l1l2或l1与l2重合 . l1l2 . 或与重合 . . l或l . l .复习回顾aba tbaba b 0n1n2n1tn2n1t an1 an1n2n1 n2 0n1 an1 a 0第三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月引例：求二面角M-BC-D的平

2、面角的正切值； 求CN与平面ABCD所成角的正切值；求CN与BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值 第四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月范围： 一、线线角：异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：第五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月xzy 向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小结 传统法：平移例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？第六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月所以 与 所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：

3、所以：练习：第七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月悟一法 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角第八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月直线与平面所成角的范围： 结论：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AOB第九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B

4、与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O向量法 传统法第十张，PPT共二十二页，创作于2022年6月N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体 中，练习：第十一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月N又在长方体 中，练习：第十二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月悟一法 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90.第十三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月二面角的平面角必须满足

5、：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：第十四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月ll三、面面角：向量法关键：观察二面角的范围第十五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得例3.已知正方体 的边长为2，O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC;（2）求二面角 的余弦值. B1A1 C1D1DCBAOMxyz第十六张，PPT共二十二页，创作于202

6、2年6月 B1A1 C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角第十七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月悟一法 利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量； (2)求两个法向量夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现第十八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月练 习：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： 异面直线SA和OB所成的角的余弦值， OS与面SAB所成角的正弦值 ， 二面角BASO的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；第十九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz第二十张，PPT共二十二页，创作于2022年6月.由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 又OC面AOS， 是面AOS的法向量，令则有由于所