人教【数学】数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

1、一.平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.四边形ABCD是正方形，AC与BD,相交于点0,点E、F是直线AD两动点，且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：ZDAG=ZDCG：猜想AG与BE的位置关系，并加以证明：（2）如图2,在（1）条件下，连接H0,试说明H0平分ZBHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出ZBH0的度数.【答案】（1）证明见解析：AG丄BE.理由见解析；（2）证明见解析；（3）ZBHO=45.【解析】试题分析：（1）根据

2、正方形的性质得DA=DC,ZADB=ZCDB=45%则可根据“SAS”证明AADGaCDG,所以ZDAG=ZDCG：根据正方形的性质得AB二DC,ZBAD=ZCDA=90%根据SAS证明ABE雯DCF,则ZABE=ZDCF,由于ZDAG二ZDCG,所以ZDAG二ZABE,然后利用ZDAG+ZBAG=90得到ZABE+ZBAG=90%于是可判断AG丄BE；（2）如答图1所示，过点0作0M丄BE于点M,ON丄AG于点N,证明AON雯BOM,可得四边形OMHN为正方形，因此H0平分ZBHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG丄BE；过点0作0M丄BE于点M,ON丄AG于点N,构造

3、全等三角形AAON雯BOM,从而证明OMHN为正方形，所以H0平分ZBHG,即ZBHO=45.试题解析：（1）四边形ABCD为正方形，DA二DC,ZADB=ZCDB=45,在厶ADG和厶CDG中AD=CDaADG=乙CDGDG=DGADG竺CDG（SAS）,ZDAG=ZDCG：AG丄BE.理由如下：四边形ABCD为正方形，AB二DC,ZBAD=ZCDA=90,在厶ABE和厶DCF中AB=DClBAF=乙CDFAE=DFABE竺DCF(SAS),ZABE=ZDCF,ZDAG=ZDCG,ZDAG=ZABE,ZDAG+ZBAG=90,ZABE+ZBAG=90%ZAHB=90,AG丄BE；(2)由(1

4、)可知AG丄BE.如答图1所示，过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,则四边形OMHN为矩形.又OA丄OB,ZAON=ZBOMZAON+ZOAN=90%ZBOM+ZOBM=90,ZOAN=ZOBM在厶AON与厶BOM中，LOAN=乙OBMOA=OB乙AON=LBOMAON娄BOM(AAS)OM=ON,矩形OMHN为正方形，HO平分ZBHG(3)将图形补充完整,如答图2示,ZBHO=45.答图2与（1）同理，可以证明AG丄BE.过点0作0M丄BE于点M,ON丄AG于点N,与（2）同理，口J以证明AON雯BOM,口J得OMHN为正方形，所以HO平分ZBHG,/.ZBHO=45.考点：1、四边

5、形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2.在图1中，正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.操作示例当2ba时，如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG和CG,裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和厶CHD的位置构成四边形FGCH.思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90。到厶FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上.连结CH,由剪拼方法可得DH=BG,故CHD竺CGB,从而又可将ACGB绕点C顺时针旋转90倒ACHD的位置.这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1）,过点F作FM丄AE于

6、点M（图略），利用SAS公理可判断HFM雯CHD,易得FH=HC=GC=FG,ZFHC=90.进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形.实践探究（1）正方形FGCH的面积是_；（用含a,b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.图1=a囹2K2a时（如图5）,能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由.图Y【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析.【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，

7、注意无论等腰直角三角形的人小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半.注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割.详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力：运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的3操作与证明：如图1,把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、C

8、D上,连接AF.取AF中点EF的中点N,连接MD、MN.（1）连接AE,求证：AAEF是等腰三角形;猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1：DM、MN的数量关系是.；结论2：DM、MN的位置关系是一；拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180%其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出ABE雯AADF,得到AE=AF,从而证明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相

9、等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明出11MNIIAE,MN=AE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM=AF,从而得到DM,MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数屋关系得到ZDMN=ZDGE=90.从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析:（1）v四边形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF=90,TCEF是等腰直角三角形，ZC=90%

10、/.CE=CF,/.BC-CE=CDCF,即BE=DF,ABE竺ADF,AE二AF,AEF是等腰三角形；（2）DM.MN的数量关系是相等，DM.IVIN的位置关系是垂直；在RtAADF中DM是斜边AF的中线,/.AF=2DM,/MN是ZkAEF的中位线,/.AE=2MN,-/AE=AF,/.DM=MN；/ZDMF=ZDAF+ZADM,AM二MD,ZFMN=ZFAE,ZDAF=ZBAE,/.ZADM=ZDAF=ZBAE,ZDMN=ZFMN+ZDMF=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZBAD=90%/.DM丄MN；(3)(2)中的两个结论还成立，连接AE,交MD于点G,点M为AF的中点，点N为EF的

11、中点，1/.MNIIAE,MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF,CE=CF,又BC+CE二CD+CF,即BE=DF,二ABE旻ADF,AAE=AF,在RtAADF中,T点M为AF的1中点，DM=AF.DM=MN,TABE雯ADF,/.Z1=Z2,/ABIIDF,/.Z1=Z3,同理可证：Z2=Z4,/.Z3=Z4,DM二AM,/.ZMAD=Z5,/.ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,/MNIIAE,/.ZDMN=ZDGE=90,/.DM丄MN所以(2)中的两个结论还成立.质.如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系：如图2,当ZABO90。时，请判断线段OE

12、与OF之间的数量关系和位置关系，并说明4.在AABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点(点P不与点A,0,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)(2)理由2/3【解析】【分析】【答案】OF=OE；(2)OF丄EK,OF=OE,理由见解析：(3)OP的长为石或(1)如图1中，延长E0交CF于K,证明ZkAOE雯“COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；(2)如图2中，延长E0交CF于K,由已知证明ZkABE妥BCF,AOE雯COK,继而可证得AEFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性

13、质即可得OF丄EK,OF=OE；(3)分点P在A0上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中，延长E0交CF于K,OA=OC,ZAOE=ZCOK,.二AOE竺COK,.二OE=OK,5FK是直角三角形，OF=1-OE;(2)如图2中，延长EO交CF于K,ZABC=ZAEB=ZCFB=90,/.ZABE+ZBAE=90%ZABE+ZCBF=90,/.ZBAE=ZCBF.AB二BC,ABE竺BCF,BE=CF,AE=BF,AOE雯COK,AE=CK,OE=OK,/.FK=EF,EFK是等腰直角三角形,.OF丄EK,OF=OE；(3)如图3中，点P在线段AO,延长E0交CF于K

14、,作PH丄OF于H,A/|CF-AE|=2,EF=2书,AE=CK,/.FK=2,在RtAEFK中，tanZFEK=VI,二ZFEK=30,ZEKF=60,31/.EK=2FK=4,0F=-EK=2,2OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有0F=FP=2,ZBOP=90,0H=2-羽,时，ZPOF=ZPFO=30,综上所述：op的长为点血或芈.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点0作直线EF丄BD,交AD于点E,交

15、BC于点F,连接BE、DF,且BE平分ZABD.求证：四边形BFDE是菱形；直接写出ZEBF的度数；(2)把中菱形BFDE进行分离研究，如图，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连接GD,H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；把中矩形ABCD进行特殊化探究，如图，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF,使DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)详见解析；60。.(2)IH=*FH；(3)EG2=A

16、G2+CE2.【解析】【分析】由NDOEXBOF,推出EO=OF,VOB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可.先证明AABD=2ADB,推出Z408=30,延长即可解决问题.IH=y/3FH.只要证明是等边三角形即可.结论：EG2=AG2+CE2.如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90。得到DCM,先证明DEG竺DEM,再证明ECA4是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，.ADIIBC,OB=OD,ZEDO=ZFBO,在厶DOE和厶BOF中，ZEDO=ZFBOOD=OB,ZEOD=ZBOFDOEBOF,EO=OF,JOB=OD,四

17、边形EBFD是平行四边形，EF丄BD,OB=OD,EB=ED,四边形EBFD是菱形.BE平分ZABD,ZABE=Z.EBDtEB=ED,ZEBD=ZEDB,ZABD=2ZADB9ZABD+ZADB=90。,:.AADB=309ZABD=60。，ZABE=AEBO=ZOBF=30,ZEBF=60.结论:IH=y/3FH理由：如图2中，延长BE到M,使得EM=EJ.连接MJ.四边形EBFD是菱形,Z8=60,EB=BF=ED,dewbf,ZFGH,在DH丿和GHF中，ZDHG=ZGHFDH=GH,zJDH=ZFGHDHJ里GHF,DJ=FG,JH=HF.EJ=BG=EM=BI,BE=IM=BF,Z

18、MEJ=A8=60%ME丿是等边三角形，/.MJ=EM=NI,ZM=ZB=60在厶B/FfflAMJI中，BI=MJZB=ZM,BF=IMBIF里MJI,IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,HJ=HF9IH丄JF,ZBFI+ZB/F=120,ZM/J+ZB/F=120/.ZJ/F=60,JIF是等边三角形，在RtAIHF中，zIHF=90。,ZIFH=609ZF/H=309IH=FH结论：EG2=AG2+CE2.理由：如图3中，将AADG绕点D逆时针旋转90。得到CM,AFED四点共圆，ZEDF=ZDAE=45ZADC=9QZADF+ZEDC=45,ZADF=ZCDM.ZCDM+ZCDE=45=Z

19、EDG,在ADEM和DEG中，DE=DE/2由（2）知,BE=AF,/.AF=73+1.即：当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候，线段AF的长为-1或石+1.&现有一张矩形纸片ABCD（如图）,其中AB=4cm9BC=6cm，点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点过E作EF垂直FC,交BC于F.（1）求处、EF的位置关系：（2）求线段FC的长,并求ABTC的面积.【答案】（1）见解析；（2）BEC=.23【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得BEC是等腰三角形，再有条件证明ZAEF=90即可得到AE丄EF；（2）连接BB,通过折叠，可

20、知ZEBB=ZEBB,由E是BC的中点，可得EB=EC,ZECBz=ZEBZC,从而可证ABBC为直角三角形，在RtAAOB和RtABOE中，可将OB,BB的长求出，在RtABBr中，根据勾股定理可将BC的值求出.【详解】（1）由折线法及点F是BC的中点，EB=EB=EC,ZAEB=ZAEB,BEC是等腰三角形，又EF丄FCEF为ZBEC的角平分线，即ZBEF=ZFEC,ZAEF=180Q-（Z/AEB+ZCEF）=90,即ZAEF=9Q即AE丄EF：（2）连接BB，交AE于点O,由折线法及点E是BC的中点，EB=EB=EC,ZEBB=ZEBB,ZECB=ZEBG又BBlC三内角之和为180,

21、ZBB,C=90；点厅是点B关于直线AE的对称点，AE垂直平分BB：在RtAAOB和RtA30E中,BO2=AB2-AO2=BE2-（AE-AO）2将BE=3cm,AE=5cm,16.*A0=cm,5i12B0=-AO2=cm,/.BB=2B0=cm,5/.在RtABBC中，BC=JbC2BB2=由题意门J知四边形OEFF是矩形，EF=0B，=2,5【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用.关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和人小不变，只是位置变化.9.问题发现如图1,点E.F分别在正方形ABCD的边BC、CD

22、上,ZEAF=45,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由；（2）类比引申如图乙在四边形ABCD中加如ZBAD=90点E.F分别在边BC、CD上上EAFV若ZB,ZD都不是直角，则当Z3与ZD满足等量关系时，仍有EF二BE+DF；（3）联想拓展如图3,在AABC中也BAC=90：AB二AC点D、E均在边BC匕且ZDA&45。，猜想B6DE、ECD【答案】（1）详见解析；（2）详见解析;（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）把AABE绕点A逆时针旋转90。至2XADG,可使AB与AD重合，证出AFG雯AAFE,根据全等三角形的性质得出EF二FG,即可得出答案；把厶ABE绕点A逆时针旋转90。

23、至厶ADG,可使AB与AD重合，证出AFE仝AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案：把厶ACE旋转到ABF的位置，连接DF,证明AFE雯AFG(SAS),则EF=FG,ZC=ZABF=45%ABDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断.AB二AD,.把AABE绕点A逆时针旋转90。至2XADG,可使AB与AD重合，如图1,ZADC=ZB=90o,ZFDG=180o,点F.D.G共线，则ZDAG二ZBAE,AE=AG,ZFAG=ZFAD+ZGAD=ZFAD+ZBAE=90o-45o=45=ZEAF,即ZEAF=ZFAG,在厶EAF和厶GAF中，AF=AF,ZEAF二ZGAF,AE=AG,.AFG雯AFE(SAS),EF=FG=BE+DF：(2)ZB+ZD=180o时，EF二BE+DF：AB二AD,把AABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,可使AB与AD重合,如图2,ZBAE=ZDAG,ZBAD=90o,ZEAF=45o,ZB