人教培优平行四边形辅导专题训练附答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2,分别以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形.（1）用尺规将图1中的ABC分割成两个互补三角形：（2）证明图2中的ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为Y17、戸、9勿的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积.若ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边

2、的三角形面积.（图3）（4）【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）62：6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可.（2）根据互补三角形的定义证明即可.（3）画出图形后，利用割补法求面积即可.平移ACHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,只要证明Saefm=3Saabc即可.试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD,AABD和AADC是互补三角形.（2）如图2中,延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.（图2）四边形ABDE,四边形ACGF是正方形,AB=AE,AF二AC,ZBAE=ZCAF=90,ZEAF+ZBAC=180,AEF和厶ABC是两个互补三角形

3、.ZEAH+ZHAB=ZBAC+ZHAB=90,ZEAH=ZBAC,AF=AC,AH二AB,在厶AEH秘ABC中,AE=AB乙EAB=jlBACAH=AC.AEH雯ABC,IAEF=SAEH=SABC（3）边长为U17、尸、1的三角形如图4所示.1/c(4)*abc=3x4-2-1.5-3=5.5,S八边形=17+13+10+4x5.5=62如图3中,平移ACHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,设ZABC二x,(圉3)AMIICH,CH丄BC,AM丄BC,ZEAM=90+90-x=180-X,ZDBI=360-9090 x=180 x,/.ZEAM=ZDBI,/AE=BD,AEM

4、DBI,在厶DBI和厶ABC中，DB=AB,BI=BC,ZDBI+zABC=180%DBI和AABC是互补三角形，AEM=SAEF=SAFM=2Saefm=3Saabc=6.考点：1、作图-应用与设计，2、三角形面枳2.（问题情境）在AABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD丄AB,PE丄AC,垂足分别为D、E,过点C作CF丄AB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：PD+PE=CF.证明思路是：如图2,连接AP,由AABP与AACP面积之和等于AABC的面枳可以证得：PD+PE=CF.（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）

5、，试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成V列两题：（结论运用）（2）如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG丄BE、PH丄BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值.4（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线h：y=-亍x+8与直线12：y=2x+8相交于点A,直线I】、12与x轴分别交于点B、点C.点P是直线I?上一个动点，若点P到直线11的距离为2.求点P的坐标.A.AAAE(03八儿U【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（-1,6）,

6、（1,10）【解析】【变式探究】连接AP,同理利用厶ABP与厶ACP面枳之差等于ABC的面枳可以证得；【结论运用】过点E作EQ丄BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可：【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到X轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3：TPD丄AB,PE丄AC,CF丄AB,且abc=Sacpabp，11ABCF=ACPE-一ABPD22AB=AC,.CF=PD-PE；结论运用:过点E作EQ丄BC,垂足为Q,如图，四边形ABCD是长方形，AD=BC,ZC=ZADC=90/AD=16,CF=6,BF=BC-CF=AD-CF=5,由折

7、叠可得:df=bf,zbef=zdef.DF=5.ZC=90DC=/rF2-CF2=V102-62=8.TEQ丄BC,ZC=ZADC=90,ZEQC=90=ZC=ZADC.四边形EQCD是长方形.EQ=DC=4ADIIBC,ZDEF=ZEFB.ZBEF=ZDEF,ZBEF=ZEFB.BE=BF,由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ.PG+PH=&PG+PH的值为8；AB=牯+8=1，BC=10AB=BC,由结论得:PiDi+PiEi=OA=8p1D1=l=2,PiEi=6即点Pi的纵坐标为6又点Pi在直线12上，y=2x+8=6/.x=-1,即点Pi的坐标为(-1,6)；由结论得：P2E2

8、-P2D2=OA=8P2D2=2,P2E2=10即点Pi的纵坐标为10又点Pi在直线12上，y=2x+8=10,/.x=lt即点Pl的坐标为(1,10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键.3.(1)如图1,将矩形ABCD折叠，使落在对角线3D上，折痕为BE,点C落在点C处，若ZADB=42则ZD3E的度数为ID（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD,=AD=9（画一画）如图2,点E在这张矩形纸片的边4D上，将纸片折叠，使4落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M,N分别在边AD,BC上）,利用直尺和圆规画出折痕MN（不写

9、作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；JC2（算一算）如图3,点尸在这张矩形纸片的边BC上,将纸片折叠，使落在射线7匕折痕为GF,点人3分别落在点A,B处,若4G=,求BQ的长.3【答案】（1）21；（2）画一画：见解析；算一算：BD=3【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】,如图2中，延长BA交CE的延长线由G,作ZBGC的角平分线交AD于M,交BC于N,直线MN即为所求；720【算一算】首先求出GD=9-=,由矩形的性质得出ADIIBC,BUAD二9,由平行线的3性质得出zDGF=ZBFG,由翻折不变性可知，ZBFG=ZDFG,证出ZD

10、FG=ZDGF,由等腰三20角形的判定定理证出DF=DG=y,再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不变性，可知FBTB,由此即可解决问题.【详解】（1）如图1所示:图1四边形ABCD是矩形,/.ADIIBC,ZADB=ZDBC=42,由翻折的性质可知,ZDBE=ZEBC=-ZDBC=21,2故答案为21.【画一画】如图所示：【算一算】如3所示:7/AG=-,AD=9,3.GD=9=,33四边形ABCD是矩形，ADIIBC,BC=AD=9,ZDGF=ZBFG,由翻折不变性町知，ZBFG二ZDFG,ZDFG=ZDGF,20DF=DG=3CD=AB=4,ZC=90.在RtACDF中，由勾股定理

11、得：CF=Jd尸一CD，=J晋)-42=y1611BF=BC-CF=9=33由翻折不变性可知，F咧丁/,2011BZD=DF-FB=333【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题.4.如图1,在正方形ABCD中，AD=6,点P是对角线BD任意一点，连接PA,PC过点P作PE丄PC交直线AB于E.（1）求证：PC=PE;（2）延长AP交直线CD于点F.如图2,若点F是CD的中点，求AAPE的面积；若AAPE的面枳是一，则DF的长为23（3）如图3,点E在边AB上，连接E

12、C交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q,连接PQ,MQ,过点P作PNIICD交EC于点N,连接QN,若PQ=5,MN=Z,则厶MNQ的3面积是AD图1AD图2图3【答案】略；（2）8,4或9；（3）-6【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90。，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证；（2）作出ADP和厶DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可；（3）根据已经条件证出MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】（1）证明：点P在对角线BD上，A

13、DP竺CDP,AP=CP,ZDAP=ZDCP,PE丄PC,ZEPC二ZEPB+ZBPC=90：ZPEA=ZEBP+ZEPB=45+90-ZBPC=135-ZBPC,ZPAE=90-ZDAP=90-ZDCP,ZDCP=ZBPC-ZPDC=ZBPC45：ZPAE=90-（ZBPC-45）=135-ZBPC,ZPEA=ZPAE,PC=PE;（2）如图2,过点P分别作PH丄AD,PG丄CD,垂足分别为H、G延长GP交AB于点四边形ABCD是正方形，P在对角线上，四边形HPGD是正方形，PH=PG,PM丄AB,设PH=PG=a,F是CD中点，AD=6,则FDS.qf,S=S.QP+S=ADxPH+DFx

14、PGf丄ax6+丄dx3=9”解得a=2,22AM=HP=2zMP=MG-PG=6-2=4,又PA=PE,AM=EM,AE=4,S.&E冷E4xMP=*x4x4=8,设HP=b，由可得AE=2b,MP=6-b,S*ape=x2x（6-）=z解得b=2.4或3.6,S=S.QP+S=ADxPH+DFxPGf丄x6xb+LDFxb=DFx6,222当b=2.4时，DF=4；当b=3.6时，DF=9,即DF的长为4或9;(3)如图，E、Q关于BP对称，PNIICD,Z1=Z2,Z2+Z3=ZBDC=45Zz1+Z4=45：Z3=Z4,易证PEM雯PQM,APNQPNC,Z5=Z6,Z7=Z8/EM=

15、QM,NQ=NC/Z6+Z7=90,MNQ是直角三角形，设EM=a,NC=b列方程组3卜屮口J得ab=,26S=2厶MNQ，【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键要注意运用数形结合思想.AABC为等边三角形，AF=AB.ZBCD=ZBDC=ZAEC.求证：四边形初”是菱形.若是ZABC的角平分线，连接AD,找出图中所有的等腰三角形.【答案】证明见解析；（2）图中等腰三角形有A3C,ABDC,ABD,ADF,ADC,ADE【解析】【分析】（1）先求证

16、BDWAF,证明四边形&BDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分ZABC,得到BD垂直平分线段AC,进而证明DAC是等腰三角形，根据BD丄AC,AF丄AC,找到角度之间的关系，证明DAE是等腰三角形，进而得到BC=BD=BA=AF=DF,即可解题，见详解.【详解】如图1中，ZBCD=ZBDC,BC=BD,ABC是等边三角形，AB=BC.AB=AF,BD=AF,ZBDC=ZAEC,BDWAF,四边形ABDF是平行四边形，AB=AF,四边形ABDF是菱形.（2）解：如图2中,BA=BC,BD平分ZABC,BD垂直平分线段AC,-DA=DC,DAC是等

17、腰三角形，/AFWBD,BD丄ACAFAC9ZE4C=90%ZDAC=ZDCA9ZDAC+ZDAE=90。,ZDCA+ZAEC=9QZDAE=ZDEA,DA=DE,DAE是等腰三角形，BC=BD=BA=AF=DF,.BCD,氐ABD,ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有AABC,BDC,AABD,ADF,ADC,AADE.【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD,CB=CD,则线段BD,AC的位置关系为;（拓展探究）（2）如图（2）在RtA

18、ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB,AC为底边，在RtAABC外部作等腰三角形&BD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形&BCD中，AB=2屮,以点人为旋转中心将正方形ABCD旋转60。，得到正方形ABCD，请直接写出BD平方的值.图（1）D【答案】（1）AC垂直平分BD：（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析：（3）16+8?或16-83【解析】【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD：（2）根据RtAABC中，点F为斜

19、边BC的中点，可得AF=CF=BF,再根据等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,即可得到AD=DB,AE=CE,进而得出ZAMF=ZMAN=ZANF=90,即可判定四边形AMFN是矩形；(3)分两种情况：以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60。，以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60。，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论.【详解】:AB=AD9CB二CD,点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，AC垂直平分BD,故答案为：AC垂直平分BD；四边形FMAN是矩形.理由：如图2,连接砧图RtAABC中，点F为斜边BC的中点，.AF二CF二BF,又等腰三角

20、形ABD和等腰三角形ACE,AD=DB,AE=CE9由可得，DFAB9EF丄AC,又ZB4C=90,ZAMFMMANNANF=9Q四边形AMFN是矩形；(3)BD的平方为16+8V7或1683分两种情况：以点A为旋转中心将正方形&BCD逆时针旋转60,如图所示：过D作DE丄AB,交的延长线于E,E”BC由旋转可得，ZDAD=60,Z40=30%砂2护二加，1BE=2寻+魯/.RtABDE中，BDl2=DE2BE2=（任）2+（2任+、伍）2=16+83以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60,如图所示：过B作BF丄AD于F,旋转可得,ZDAD=60Z840=30%AB=2屮二AD,13F

21、寸AF=p耳DF2护-伍，/.RtABDF中，BDJBR+DF2二（p2）2+（2寻器）2=16-83综上所述，BD平方的长度为16+8V7或16-83【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解.解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形.己知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点久C不重合），过点P作PE丄PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC,垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PEx在点P的运

22、动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的人致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，APEC能否为等腰三角形？如呆能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由D【答案】（1）证明见解析：点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为亚；（2）2画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H,如图1.要证PB=PE,只需证到PGB雯PHE即可；连接BD,如图2.易证BOP聖PFE,则有BO=PF

23、,只需求出B0的长即可.（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长.详解：（1）证明：过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H,如图1.图1四边形ABCD是正方形，PG丄BC,PH丄DC,/.ZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45.PG=PH,ZGPH=ZPGB=ZPHE=90.PE丄PB即ZBPE=90,ZBPG=90-ZGPE=ZEPH.在厶PGBAPHE中，ZPGB=ZPHEPG=PH,ZBPG=ZEPHPGB雯PHE(ASA),PB=PE.连接BD,

24、如图2四边形ABCD是正方形，ZBOP=90.PE丄PB即ZBPE=90,ZPBO=90ZBPO=ZEPF.EF丄PC即ZPFE=90,ZBOP=ZPFE.在厶BOP和厶PFE中，ZPBO=ZEPF/22点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为返.2（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示.同理可得:PB=PE,PF=（3）若点E在线段DC上，如图1BGC图1ZBPE=ZBCE=90,/.ZPBC+ZPEC=180.ZPBC90.若APEC为等腰三角形，则EP=EC.ZEPC=ZECP=45,/.ZPEC=90,与ZPEC90矛盾，当点E在线段DC上时，PEC不可能是等腰

25、三角形.若点E在线段DC的延长线上，如图4.若APEC是等腰三角形，ZPCE=135%CP二CE,ZCPE=ZCEP=22.5ZAPB=180-9022.5=67.5ZPRC=90+ZPBR=90+ZCER,ZPBR=ZCER=22.5,ZABP=67.5,ZABP=ZAPB.AP=AB=1.AP的长为1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.&如图，在ZkABC中，AB=7,tanA=4,ZB=45点P从点A出

26、发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ丄AB交折线ACCB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN与AABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）.（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）.（2）当点M落在边BC上时，求t的值.（3）求S与t之间的函数关系式.（4）如图，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH.设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面

27、积分别为S1、S2（平方单位）（OS13S1时t的取值范围.图14图914【答案】（l）PQ=7t（2）t=5（3）当0VtJ时，S=16当5t4,【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时.（2）根据AP+PN+NB=AB,列出关于t的方程即可解答;TOC o 1-5 h z1414（3）当0Vt5时，当5tw4,当4t7时；2856285621丸8刃t5t（4）3刀或915或4.试题解析：（1）当点Q在线段AC时，PQ=tanAAP=4t.当点Q在线段BC上时，PQ=7-t.（2）当点M落在边BC上时，如图，33由题意得：tA3t=7,14解得：J.

28、14当点M落在边BC上时，求t的值为丐.14(3)当0t5时，如图，当5t4,如图,9152413549S=l6f2_2(2t_7)=l6t2+Tt_T当4t7时，如图,1149S=*7一O=空以一7t十2856285621厉心历或歹话或.考点：四边形综合题.9如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.（1）求证：ZAPB=ZBPH：（2）当点P在边AD上移动时，求证：APDFl的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长.【答案】（1）

29、证明见解析.（2）证明见解析.（3）2.【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出ZPBC=ZBPH,进而利用平行线的性质得出ZAPB=ZPBC即可得出答案;（2）首先证明ABP竺QBP,进而得出厶BCH妥BQH,即可得出PD+DH+PH二AP+PD+DH+HOAD+CD二&（3）过F作FM丄AB,垂足为则FM二BC二AB,证明EFM雯BPA,设AP二X,利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析：（1）解：如图1,PE二BE,ZEBP=ZEPB.又ZEPH=ZEBC=90,ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.即ZPBC=ZBPH.又TADIIBC,ZAPB=ZPBCZAPB=ZBPH.(2)证明：如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q由知ZAPB二ZBPH,又/ZA=ZBQP=90,BP二BP,在厶ABP和厶QBP中,Z.APB=乙BPHZ/4=厶BQP=90BP=BPAB