151-153曲边梯形的面积汽车行驶的路程(讲)

1、1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想.（重点）2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号.（难点）1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念这些图形的面积该怎样计算？ 例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积 Archimedes，约公元前287年约公元前212年问题1：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？问题2：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？xy 1.曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯

2、形 如何求曲边梯形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyO 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)探究1: 曲边梯形的面积 直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边梯形）面积S是怎么计算？为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，x yO1方案1方案2方案3解题思想“细分割、近似和、渐逼近” 下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程（1）分割把区间0，1等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作每个区间长度为（2） 近似代替（3）求和(i=1,2,n)（4）取极限演示观察以下演示，注意当分割加细时

3、，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.2观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩

4、形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.区间0,1的等分数nS的近似值Sn20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 38320.317 871 09640.325 561 521280.329 437 262560.3

5、31 382 755120.332 357 4110240.332 845 2120480.333 089 23我们还可以从数值上看出这一变化趋势分割近似代替求和取极限一般地，对于曲边梯形，我们也可采用的方法，求其面积.思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的运动速度？探究2： 汽车行驶的路程思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？Ov t 12探究3： 定积分的定义 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过以下四步: 分割近似代替求和取极限得到解决.2.定积分的定义 定积分的定义的理解: 定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx

6、叫做被积式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间.被积函数被积式积分变量积分下限积分上限Ox yab yf (x) 按定积分的几何意义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为1x yOf(x)=x2 根据定积分的定义，右边图形的面积为 同样地，1.5.2中汽车在0t1这段时间内经过的路程 (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即总结提升：(2) 定义中区间的分

7、法和i的取法是任意的.x yO 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，ab yf (x) y-f (x)=-Sab yf (x)Ox y 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?b yf (x)Ox y探究5： 用定积分表示图中阴影部分的面积a探究4: 定积分的基本性质 性质1 性质2 (k为常数)性质3.定积分关于积分区间具有可加性Ox yab yf (x)(其中acb) 性质3 不论a，b，c的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0ayxf(x)=x20 xyx-12f(x)=x2x-10yxabf(x)=10yx-12f(x)=(x-1)2-1解：xyf(x)=sinx1-12.3.面积值为圆的面积的1.求曲边梯形面积分割近似代替求和取极限2.定积分定义3.定积分几何意义4.定积分计算性质总结提升： 求由连续曲线y=f(x)