人教版数学八年级上册 全等三角形易错题(Word版 含答案)

1、人教版数学八年级上册全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，点0是等边ABC内一点，ZAOB=110,ZBOC=a.以0C为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD,当厶AOD是等腰三角形时，求a的角度为.【答案】110、125、140【解析】【分析】先求出ZDAO=50,分三种情况讨论：AO=AD，则ZAOD=ZAD0,OA=OD,贝Z0AD=ZAD0，OD=AD，贝Z0AD=ZA0D，分另U求出a的角度即可.【详解】解：设ZCBO=ZCAD=a,ZABO=b,ZBAO=c,ZCAO=d,则a+b=60,b+c=180-110=70,c+d=60,.

2、b-d=10,.（60-a）-d=10,.a+d=50,即ZDAO=50,分三种情况讨论：AO=AD，贝yZAOD=ZADO,.190-a=a-60,.a=125；OA=OD，贝yZOAD=ZADO,.a-60=50,.a=110；OD=AD，贝yZOAD=ZAOD,.190-a=50,.a=140；所以当a为110、125、140时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110、125、140.【点睛】本题是对等边三角形的考查,熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.2.如图，P为ZAOB内一定点，M,N分别是射线OA,OB上一点，当APMN周长最小时，ZOPM二50,则ZAO

3、B二.【答案】40【解析】【分析】作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP】，OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时，APHN的周长最短，根据对称的性质可以证得：ZOPM=ZOPM=50,OP=OP2=OP,根据等腰三角形的性质即可求解.【详解】如图：作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP,OP2.则当M,N是P1P2与OA、OB的交点时，APHN的周长最短，连接PO、P2O,TPP关于OA对称，AZP1OP=2ZMOP,OP1=OP,P1M=PM,ZOP1M=ZOPM=50同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP2,AZP1OP2=ZP1OP+ZP2OP=2(ZMOP

4、+ZNOP)=2ZAOB,OP1=OP2=OP,/.p1op2是等腰三角形.ZOP2N=ZOP1M=50,AZP1OP2=180-2x50=80,故答案为：40【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得P1OP2是等腰三角形是解题的关键.3.如图，在AABA中，ZB二20。，AB二AB，在AB上取点C，延长AA到A2,01011012使得AA2=AC；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做JL乙JL乙JL乙J乙J乙法进行下去，第n个等腰三角形的底角上码的度数为.【答案】（2）n-1-80解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出NBA】A。的度数，再根据三角

5、形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出ZCA2A1，ZDA3A2及ZEA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角ZAn的度数.【详解】解：在A0BA1中,ZB=20,A0B=A1B,NBA1A0=180-ZB_180-2022=80，va1a2=a1c,zba1a0是厶a1a2c的外角,ZBAA80.ZCAA=i_=40；2122同理可得，NDA3A2=20，NEA4A3=10，第n个等腰三角形的底角ZAn=（2）n-1-80.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出zca2a1,zda3a2及zea4a3的度数，找出规律是解答此题的关键.4.如图，点P

6、是ZAOB内任意一点，OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点，若PMN周长的最小值为5,贝ZAOB的度数为.BOA答案】30解析】分析】如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P、P，分别连OP、OP、PP交OB、OA于M、N,则可证明此时APMN周长的最小，由轴对称性，可证明厶POP为等边三角形，1ZAOB=ZPOP=30.2解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P、P，分别连OP、O、P交OB、OA于M、N，由轴对称APHN周长等于PN+NM+MP=PN+NM+MP=PP由两点之间线段最短可知，此时PMN周长的最小.PP=5由对称OP=OP=OP=5.POP为等边三角形.ZPOP=

7、60VZPOB=ZPOB，ZPOA=ZPOA1/.ZAOB=ZPOP=30.2故答案为30.【点睛】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5.等腰三角形顶角为30,腰长是4cm,则三角形的面积为【答案】4【解析】如图，根据30角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30，腰11长是4cm,可求得BD=AB=4x=2,因此此三角形的面积为：111S=ACBD=x4x2=8x=4(cm2)222故答案是：46.如图，在ABC中，AB=AC,D、E是厶ABC内的两点，AE平分/BAC,ZD=ZDBC=60，若BD=5cm,DE=3cm,则

8、BC的长是cm.【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出BDM为等边三角形，EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.【详解】解：延长DE交BC于M,延长AE交BC于N,作EFIIBC于F，TAB=AC,AE平分ZBAC,AN丄BC,BN=CN,TZDBC=ZD=60，.BDM为等边三角形,.EFD为等边三角形,TBD=5,DE=3,.EM=2,TBDM为等边三角形,.ZDMB=60,TAN丄BC,.ZENM=90,.ZNEM=30,.NM=1,.BN=4,.BC=2BN=8（cm）,故答案为8【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质7.在AB

9、C中，ZACB=90,D、E分另lj在AC、AB边上，把ADE沿DE翻折得至FDE,点F恰好落在BC边上，若ACFD与ABFE都是等腰三角形，则ZBAC的度数为.【答案】45或60【解析】【分析】根据题意画出图形，设ZBAC的度数为x,则ZB=90-x，ZEFB=135-x,ZBEF=2x-45，当厶BFE都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】VZACB=90，CFD是等腰三角形，.ZCDF=ZCFD=45,设ZBAC的度数为x,.ZB=90-x,/ADE沿DE翻折得到AFDE，点F恰好落在BC边上，.ZDFE=ZBAC=x,.ZEFB=180-45-x=135-x,?ZADE=Z

10、FDE,.ZADE=(180-45)2=67.5,.ZAED=180-ZADE-ZBAC=180-67.5-x=112.5-x,AZDEF=ZAED=112.5-x,.ZBEF=180-ZAED-ZDEF=180-(112.5-x)-(112.5-x)=2x-45,/BFE都是等腰三角形，分三种情况讨论：当FE=FB时，如图1,贝kBEF=ZB,90-x=2x-45，解得：x=45；当BF=BE时，贝kEFB=ZBEF,.135-x=2x-45，解得：x=60,当EB=EF时，如图2,贝S=ZEFB,135-x=90-x,无解，这种情况不存在.综上所述：ZBAC的度数为：45或60.故答案是：

11、45或60.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理,用代数式表示角度,并进行分类讨论,是解题的关键.如图，ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当BPD与氐CQP全等时，v的值为【答案】2.25或3【解析】【分析】分两种情况讨论：若厶BPD9ACPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米,11BP=CP=2BC=2x9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；若9-vt=6BPD9ACQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ,

12、得出，解得：v=3.vt=3t【详解】解：ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，.BD=6厘米，11若厶BPDCPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=2BC=2X9=4.5（厘米），点Q的运动速度为3厘米/秒，点Q的运动时间为：63=2（s）,.v=4.5F2=2.25（厘米/秒）；若厶BPD9ACQP,则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，9vt=6则有|vt=3t，解得：v=3.v的值为：2.25或3厘米/秒故答案为：2.25或3.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.如图，ZAOB=45，点M、点C在射线

13、OA上，点P、点D在射线OB上，且0D=3忑，则CP+PM+DM的最小值是.【答案】；3孑.【解析】【分析】如图，作点C关于0B的对称点，作点D关于OA的对称点D，连接OC，PC，DM，OD，CD，根据轴对称的性质得到OC=OC=2,OD=OD=3話2，CP=CP，DM=DM，ZCOD=COD=ZCOD=45，于是得至ICP+PM+MD=C+PM+DM三CD，当仅当C，P，M，D三点共线时，CP+PM+MD最小为CD，作CT丄DO于点几于是得到结论.【详解】解：如图，作点C关于0B的对称点C,作点D关于OA的对称点D,连接0CPC,DM,0D,CD,贝y0C=0C=2,OD=OD=32,CP=

14、CP,DM=DM,ZC0D=COD=ZCOD=45,:,CP+PM+MD=C+PM+DMACD,当仅当C,P,M,D三点共线时，CP+PM+MD最小为CD,作CT丄D0于点T,则CT=OT=巨,:.DT=4込,cd=34,CP+PM+DM的最小值是V34.故答案为：34.【点睛】本题考查了最短路径问题,掌握作轴对称点是解题的关键.如图，在第1个厶A1BC中，ZB=20,A1B=CB；在边AB上任取一点D,延长CA1到A2，使A1A2=A1D,得到第2个AD；在边A2D上任取一点E,延长A到A3，使A2A3=A2E,得到第3个AAE，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是（1201

15、8【答案】x8012丿O【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出ZBAC的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出ZDA2A1，ZEA3A2及ZFA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以a2019为顶点的内角度数.【详解】解：在CBA1中，ZB=20,A1B=CB,180-ZB.ZBA,C=80，12va1a2=a1d，zba1c是厶a1a2d的外角，11AZDA2A1=-ZBA1C=-X80；11同理可得ZEA3A2=（-）2X80，ZFA4A3=（-）3X80，1第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（-）n-1X80.1.第2017个三角形中以A2019为顶点

16、的底角度数是（-）2018X80，1故答案为：（-）2018X80【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出zda2a1，zea3a2及zfa4a3的度数，找出规律是解答此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11.如图，上MON=30。.点A,a2，A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM上,AA1B1A2，AA2B2A3，AA3B3A4，均为等边三角形，若OA1=1,则AABA的边长为（）201920192020A.22017B.22018C.22019D.22020【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和ZMON=30。，可求得/。呂

17、占二30。，进而证得AOA是等腰三角形，可求得0A2的长，同理可得aa2B是等腰三角形，可得A2B2=oA2，同理得规律AB=OA、AB二OA，即可求得结果.333nnn【详解】解：ZMON=30。，AA1牛A?是等边三角形，.ZBAA=60。，AB=AA121112.ZOBA=ZBAAZMON=30，11112.ZOB1A1=ZMON，则AOA1B是等腰三角形，.AB=OA，111OA=1，1:AB=AA=OA=1，OA=OA+AA=2，111212112同理可得AOAB是等腰三角形，可得AB=OA=2，2222同理得AB=4=AB=8=3，344根据以上规律可得：AB=22018，即AAB

18、2019A2020的边长为2201820192019201920192020故选：B【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键.12.如图，ZAOB=Q，点p是ZAOB内的一定点，点M,N分别在OA、OB上移动,当APMN的周长最小时，ZMPN的值为（）A.90+aB.90C.180aD.1802a2cooo【答案】D【解析】【分析】过P点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P点作OB的对称点弋，过P作

19、OA的对称点咒，连接PP2，交点为M，N，则此时PMN的周长最小，且p比和厶PMP?为等腰三角形.此时ZPJPp=180-a；设ZNPM=x，则180-x=2（ZpP-x。）所以x=180-2a【点睛】求出M,N在什么位子PMN周长最小是解此题的关键.13.如图，AABC的周长为32,点D、E都在边BC上，ZABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,ZACB的平分线垂直于AD，垂足为P,若BC=12，则PQ的长为（）AA.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】首先判断BAEACAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由ABC的周长为32以及BC=12，可得DE=8,利用中位线定理可

20、求出PQ.【详解】VBQ平分ZABC,BQ丄AE,.ZABQ=ZEBQ,VZABQ+ZBAQ=90,ZEBQ+ZBEQ=90,.ZBAQ=ZBEQ,.AB=BE，同理：CA=CD,.点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），.PQ是厶ADE的中位线，.BE+CD=AB+AC=32-BC=32-12=20,.DE=BE+CD-BC=8,PQ=-DE=4.2故选：B.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定,解答本题的关键是判断出BAE、ACAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是AADE的中位线.14.如图，在四边形ABCD中，AB=AC，ZABD=60，ZADB=

21、75，ZBDC=30，则ZDBC=()A.15B.18C.20D.25【答案】A【解析】【分析】延长BD到M使得DM=DC，由厶ADMADC，得AM=AC=AB，得AMB是等边三角形,得ZACD=ZM=60。，再求出ZBAO即可解决问题.【详解】如图，延长BD到M使得DM=DC.VZADB=75，.ZADM=180-ZADB=105.VZADB=75，ZBDC=30，.ZADC=ZADB+ZBDC=105，：.ZADM=ZADC.在厶ADM和ADC中，AD=ADZADM=ZADC，、DM=DC.admAadc,.AM=AC.AC=AB，.AM=AC=AB，ZABC=ZACB.ZABD=60,.

22、AMB是等边三角形，:.ZM=ZDCA=60.VZDOC=ZAOB,ZDCO=ZABO=60,ZBAO=ZODC=30.VZCAB+ZABC+ZACB=180,A30+2(60+ZCBD)=180,:,ZCBD=15.故选：A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形,题目有一定难度.15.如图，AABC中，AB的垂直平分线DG交ZACB的平分线CD于点D，过D作DE丄AC于点E，若AC=10，CB=4，则AE=（）A.7B.6C.3D.2【答案】C【解析】【分析】连接BD、AD,过点D作DF丄CB于点F,利用角平分线及线

23、段垂直平分线的性质可求出BD=AD,DE=DF，依据HL定理可判断出RtAAEDRtABFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得RtCEDRtCFD，证出CE=CF，设AE的长度为x,根据CE=CF列方程求解即可.【详解】如图，连接BD、AD,过点D作DF丄CB于点F.BD=AD,DE=DF.：RtAAED9RtABFD.BF=AE.又,ZECD=ZFCD,ZCED=ZCFD,CA=CA,：RtACED9RtACFD,.CE=CF,设AE的长度为x,则CE=10-x,CF=CB+BF=CB+AE=4+x,.可列方程10-x=4+x,x=3,.AE=3；故选C.【点睛

24、】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质,直角三角形全等的判定定理及性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出直角三角形解答.在平面直角坐标系中，等腰ABC的顶点A、B的坐标分别为(1,0)、(2,3),若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有()个A.9B.7C.8D.6【答案】C【解析】【分析】要使ABC是等腰三角形，可分三种情况(若CA=CB，若BC=BA,若AC=AB)讨论,通过画图就可解决问题.【详解】若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上.TA(1,0),B(2,3),AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C】，C2.若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点(

25、A点除外)C3，C4,C5；若AC=AB,则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9.而C8(0,-3)与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个.综上所述：符合条件的点C的个数有8个.故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键如图，已知等边OABC的边长为4,面积为4朽，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P,由对称的性质可得，PA

26、=PC,故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值.【详解】解：ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，BD丄AC，EC=2,连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，T点E是边BC的中点，AE丄BC，PE+PC的最小值是弋ACEC2=*422=23.故选C.点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.18.如图，ABC，AB=AC，ZBAC二56。，ABAC的平分线与AB的垂直平分线交于0,将ZC沿EF（E在BC上,F在AC上）折叠，点C与0点恰好重合，则ZOEC的度数为（）A.132。B.130。C.112。D

27、.110。【答案】C【解析】【分析】连接OB、OC,根据角平分线的定义求出ZBAO,根据等腰三角形两底角相等求出ZABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得ZABO=ZBAO,再求出ZOBC,然后判断出点O是ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出ZOCB=ZOBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出ZCOE，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB、OC，TABAC=56。,AO为ABAC的平分线.ABAO=-ABAC=-x56。=28。22ZABC二280-ZBACL2Go-56L62:DO是AB的垂直平分线，OA=OB.ZABO=ZBAO=28。,ZOBC=ZABCZABO=62。-28。=34。:DO是AB的垂直平分线，AO为ZBAC的平分线.点0是ABC的外心，OB=OC，ZOCB=ZOBC=34。，.将ZC沿EF（E在BC上,F在AC上）折叠，点C与点0恰好重合OE=CE，ZCOE=ZOCB=34。，在NOCE中，ZOEC=180。ZCOEZOCB=180。34。-34。=112。【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点