高等数学竞赛课件微分学部分

1、精选教课课件设计|Excellentteachingplan第二届全国高等数学比赛培训第二讲微分学一、一元微分学（1）导数（微分）的定义fx0fx0fxfaf(a)limlimxa0 xa特别地：a0,fff0fxf00)limlimx0 x0yAxx称函数yfx在点x0处可微分，并称Ax为函数yfx在点x0处的微分，记为dyxx0或dfxxx。当f(x)0时，称dy为y的线性主部01）ydy是关于x的高阶无量小，即limydy0；xx02）x0时，y与dy是等价无量小。3）一阶微分形式的不变性：无论u是自变量还是中间变量，都有dyfudu总成立4）可微可导连续有极限含有抽象函数的0型极限常用

2、导数的定义求解：0 x2tx2t例1：设曲线yf(x)在（1，f(1)）处的切线方程为yx1，求lim0ef(1ee)dt2lncosxx0 x解：依据几何意义可知yf(x)在（1，f(1)）处的切线方程为yf(1)f(1)(x1)与yx1对比较f(1)0,f(1)0 x2x2t1ex2tx2x2ef(1ee)dtx2f(u)duf(u)dulimlimlim2limf(e)e2x0 x2lncosxex2lncosx1x0 x0 x0 x2lncosxx04x32limf(ex2)ex22xlimf(ex2)limf(ex2)f(1)ex21f(1)1321ex212x04xx0exx0 x

3、精选教课课件设计|Excellentteachingplan1f(a)例2：设函数yf(x)与ysinx在（0，0）处相切，求limlimxnn(a0)nxx解：函数yf(x)与ysinx在（0，0）处相切f(0)0,f(0)1f(a)f(0)1n1a1limlimxnnf(limlimxgliman1)aanxxnxnx注意：f(x0)常常包含在条件中，常常是f(x0)0如yf(x)是奇函数x(R,R)f(0)f(x)2,f(x)在x1处连续f(1)0等等0或lim1x1x还有求极限并未说明f()可导不可以用罗比塔法规用定义fln(1x2)exxlimf1u(x)f(1)u(x)1limta

4、nx(1x1)u(x)11x0u(x)0 xx22fln(1x2)exx13f(1)3(1)limx2limx2x0 x0与抽象函数导数相关的命题：例3：对任意x1,x20有f(x1x2)f(x1)f(x2)且f(1)1证明:x0则f1(x)x证明:f(1)f(1)f(1)2f(1)f(1)f(1)0f(x(xhf(x)f(x)f(xhf(x)f(xh)f(x)f(x)limlimxlimxh0hh0hh0hf(xh)f(1)f(1)g1limxg11h0hxxxx例4:(1)设f(x)定义在实数集R上,对任意x1,x2恒有f(x1)f(x2)(x1x2)2求f(x)(2)f(x),g(x)都

5、定义在实数集R上,对任意的x,y恒有下式成立:f(xy)f(x)g(y)f(y)g(x)且f(0)0,g(0)1,f(0)1,g(0)0求f(x)解(1)不如设x1x2由不等式有0f(x2)f(x1)x1x2Qlimx1x20 x2x1x2x1精选教课课件设计|Excellentteachingplan由夹逼性:limf(x2)f(x1)f(x2)f(x1)所以f(x)在xx1可导且0lim0 x2x1x2x2x1x2x1x1f(x1)0由x1的任意性,f(x)在实数集R上可得且f(x)0(2)limf(xy)f(x)y0yf(x)lim0g(y)1yylimf(x)g(y)f(y)g(x)f

6、(x)y0yg(x)lim0f(y)0f(x)g(1)g(x)f(0)g(x)yy(2)判断函数的可导性利用导数存在充要条件及结论即f(x0)存在f(x0)f(x0)f(x0)记住:yf(x)xx0在x0处不行导,在x0处连续y(xx0)xx0在x0处可导.如y(x2x2)x3x不行导为x0,x10(t)dtx0 xt例5:设(x)在(,0可导,且函数f(x)在x0可导,求limn(2x)nx2nx0n(0),(0)并谈论f(x)的存在性.解:x0时,limn(2x)nx2nlimn(2x)nx2n2(夹逼性)max2x,xnnx(t)dtx00t故f(x)2x0 x2x2x2因为f(x)在x

7、0可导则在x0处连续,所以xlimf(x)limx0 x00(t)dtlimf(x)lim2x0,tx0 x0 xlim00(t)dtlim()(0 x)0 x0tx0所以lim()lim()(x)0Q1所以(0)lim()0 x0 x0 xxx0精选教课课件设计|Excellentteachingplan(0)f(0)(0)f(2)f(x)练习:设f(x)f(0)x(t)dt(x)(x)(0)0tlimlimlimlim(0)x0 x0 x0 xx0 xx0 x0limf(x)f(0)lim2x02因为f(x)在x0可导所以x0 x0 x0 x0f(x)f(2)2x4f(0)(0)=-2又f

8、(2)limlimx2x2x2x22limf(x)f(2)limx244f(2)f(2)在x2不行导x2x2x2x2(x)x0 x20 x2不存在x22xx21x0f(xt)dtf(x)02,令F(x)0 x0f(x)是连续的,且limxx01x1x0 x1求F(x)解:x0,F(x)1x1du1xf(u)du,F(x)1xf(u)duf(x)f(xt)dtf(u)xxx2x00000 x1,F(x)1x1x,F(x)1121x21x0时,有F(0)limF(x)F(0)1当xlimxx0 x0 x0 x0f(u)dulimf(x)1xx02xF(0)limF(x)F(0)lim1x1xlim

9、2x1x0 x0 x0 xx0 x(1x1x)所以F(0)11xf(x)2f(u)dux0 x0 x综上,有F(x)1x0110 x121x21x练习:精选教课课件设计|Excellentteachingplanf(x)在(,)内有定义.x(,),f(x)kf(x2)x0,2,f(x)x(x24)(1)求f(x)在-2,0处表达式(答案:f(x)kx(x2)(x4)(2)k为什么值时?1)f(0)存在(答案:k2f(x)limx2en(x1)axb到处可导,试确立a,b的值.(答案:a2,b1.1n(x1)ne(3)求导法规1.复合函数求导2.参数方程求导(二阶)3.隐函数求导(二阶)(幂指函

10、数,多因子乘积,根式,乘方等)练习:若方程yxt(1t)0d2y0（答案：1,2y(x)由方程组yy1求dx2te2）te0e4.高阶导数计算简单函数f(x)的高阶导数时,先想法把f(x)表示成一些常用函数如xm,ax,1bm,lnaxb,sinaxb,cosaxb等的线性组合,再利用常用函数的axn阶导数求导.不然利用数学归纳法平分析规律进行计算.f(x)f(n)(x)u(u1).(un1)xunxu当u为非负整数且nuf(n)(x)0ln(axb)(n1(nan1)1)!b)n(axakx(Klna)nakxsinkxknsin(kx2)coskxkncos(kx2)例:设yx(2x3)2

11、(3x1)3求y(6)精选教课课件设计|Excellentteachingplan解:y2233x6P5(x)所以y(6)2233x6例:设y1arcsinx,求y(n)(0)1x2解:y1xarcsinx(1x2)yxy10(1x2)y3xyy01x2(1x2)1x2(1x2)y5xy4y0.(1x2)yn12n1xy(n)n2y(n1)0令x0得yn10n2yn10因为y01,y(0)y(0)0所以y2n00,y2n104n(n!)2:设yxn1lnx求y(n)解:y(n1)xn2(lnx1)n1y(n1)(n2)xn3(lnx11)(n1)!xn3(lnx11)n1n2(n3)!n1n2

12、由假设y(k)(n1)!xnk1(lnx11.1)(nk1)!n1n2nk则y(k1)(nk1)!xnk2(lnx(n2)!(n1)!xnk2(lnx(nk2)!所以对k都成立.当kn1时,y(n1)(n1)!x0(lnx1n1牛顿-莱布尼兹公式:11.1)(n1)!xnk11n1n2nk(nk1)!x1111)n1n.nknk211.11)所以y(n)(n1)!n22xn(uv)(n)Cniu(i)v(ni)i0例:f(x)(x23x2)ncosx2(n)(2)求f16解:f(x)(x1)n(x2)ncosx216精选教课课件设计|Excellentteachingplan令u(x)(x2)

13、n,v(x)(x1)ncosx2Qu(2)u(2).u(n1)(2)016un(2)n!f(n)(2)v(2)u(n)(2)nv(2)u(n1)(2).v(n)(2)u(2)v(2)u(n)(2)n!cos416(3)利用中值定理构造辅助函数证明某些命题或不等式中值定理回顾1、罗尔中值定理：假如f(x)满足（1）在a,b上连续；（2）在(a,b)内可导；（3）f(a)f(b)；则在(a,b)内最少存在一点，使f()0。2拉格朗日中值定理：假如f(x)满足（1）在a,b上连续；（2）在(a,b)内可导；则在(a,b)内最少存在一点，使f()f(b)f(a)或f(b)f(a)f()(ba)ba3.

14、柯西中值定理:假如f(x),g(x)满足:（1）在a,b上连续；（2）在(a,b)内可导；(3)对任一点x(a,b),g(x)0;则在(a,b)内最少存在一点，使f()f(b)f(a)g()g(b)g(a)4.泰勒中值定理:假如f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)拥有直到n1阶的导数,则对任一x0(a,b),有:f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2.f(n)(x0)(xx0)nf(n1)()(xx0)n12!n!(n1)!例题选讲及总结:例1:设f(x)在ax1x2b上可导,且有f(x1)f(x2)0.证明:最少存在一点x(x1,x2),使f(x)f(x)0精选教课

15、课件设计|Excellentteachingplan分析:F(x)f(x)f(x)0(exf(x)ex(f(x)f(x)0证明:设:F(x)exf(x).明显F(x)exf(x)在x1,x2上连续,在(x1,x2)内可导,由罗尔定理最少存在一点x(x1,x2)使F(x)(exf(x)ex(f(x)f(x)0即f(x)f(x)0.罗尔定理的应用：常用罗尔定理考据f()0。步骤以下：1）找出f(x)及区间a,b；2）说明f(x)在a,b连续，在(a,b)可导；3）考据f(a)f(b)04）说明结论：“由罗尔定理”练习:已知f(x)在0,1连续,在(0,1)可导,且f(1)0,求证:在(0,1)内最

16、少存在一点,使得f(x)f(x)xf(x)分析:f(x)xf(x)f(x)0令F(x)xf(x)x1例3:已知f(x)在0,1连续,在(0,1)可导且f(0)f(1)0,f()1.试证:(1,1)使f(2(1)存在)2(2)对任意实数,必存在(0,),使得f()f()1分析(1)f()说明是函数F(x)f(x)x在(1,1)的零点,只要说明F(x)在1,1满足零点定理条件即可.22(2)f()f()1f()1f()0这里F()f(),F()f()1上式为F()F()0注意到exex将上式两边同乘以ex即ex(F()F()0G()0此中G(x)exF(x),所以只要证明G(x)exF(x)在0,

17、满足罗尔定理常设辅助函数有：F(x)xf(x)；F(x)xkf(x)；F(x)f(x)；F(x)exf(x)；xF(x)ekxf(x)；F(x)f(x)kx。精选教课课件设计|Excellentteachingplan练习:设fx在a,b上一阶可导，在a,b内二阶可导，fafb0,fafbb0。（f(x)dx0）a证明：（1）存在a,b，使f0；（ff()）（2）存在a,b，使ff.(提示:先证F(x)exf(x)有两个零点，再证G(x)ex(f(x)f(x)有零点。拉格朗日中值定理的应用：常用于证明含函数值与导数值的恒等式或不等式。证不等式步骤：1）找出f(x)及区间；2）说明f(x)在a,

18、b连续，在(a,b)可导；）说明结论“由拉格朗日中值定理”注：夹在中间的函数为同一种类的函数时，其不等式的证明用拉格朗日中值定理，不然利用单调性更为简单。如：当0,cos2tantancos2；2当xy0,n1，ny(n1)(xy)xnynnxn1(xy)。证恒等式：1）试恒等式为f(x)，a,b为x的范围；2）考据f(x)0；3）说明“由拉格朗日定理推论得f(x)C”；4）在a,b内任取必定值x0代入f(x)中，求得常数Cf(x0)。如arctanx1arccos2x421x2证含有函数f(x)及导函数f(x)的等式。例4：设f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0。证明

19、：在(a,b)内至少存在一点,，使得f()ebeaef()baf()ebeaf()f(b)f(a)分析：将变形为ba则只要将f(x)在a,b上应用f()bef()f(b)f(a)aeebea拉格朗日中值定理，将f(x)与ex在a,b上应用柯西中值定理精选教课课件设计|Excellentteachingplan练习:设f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导。证明：在(a,b)内最少存在一点，使得bf(b)af(a)f()f()ba设f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导。且f(a)f(b)1。试证：存在,(a,b)，使得ef()f()1。提示：可设F(x)exf(x)再令g(x)

20、ex分别在应用拉格朗日中值定理。例5：设f(x)在区间a,b上二阶连续可导，证明在(a,b)内最少存在一点，使得bab(ba)3f()f(x)dx(ba)f()a224证明：设F(x)xab处睁开成三阶泰勒公式，得f(t)dt，将F(x)在xa2abababF(ab)abF(3)()abF(x)F()2(x23)F()(x22!)(x)2223!2此中在x与ab之间。令xa,xb得2F(a)F(ab)F(ab)baF(a2b)(ba)2F(3)(1)(ba)31(a,2222!23!2F(ab)(3)b)2F(b)F(ab)F(ab)ba2(ba)2F(2)(ba)32(a2222!23!2b

21、将上两式相减，并注意F()0,()(),F(x)f()有：aFbftdtxab3(ba)f(1)f(2)f(x)dx(ba)f(ab)a2242因为f(x)在区间a,b上二阶连续可导，由介值定理，存在(1,2)使得b3f(1)f(2)(ba)f()。f()所以f(x)dx(ba)f(ab)2a224b2,b)例6：设函数fx在区间a,上拥有二阶导数，fxM0，0fxax.证明：fx2M0M2M2，证明：关于xa,)及h0有泰勒公式：精选教课课件设计|Excellentteachingplanf(xh)f(x)f(x)hf()h2,xxh2!ff(xh)fxfh(x)h2f(x)f(xh)fxf

22、hf(xh)fxfhh2h2f(x)2M0M2h对h0都成立。令g(h)2M0M2hh2h2求g(h)2M0M2h在(0,)内的最小值，g(h)2M0M2,g(h)4M0h2h22h3令g(h)0h2M0是唯一驻点g(2M0)0，M2M2ming(h)g2M02M0M2当h2M0，f(x)2M0M2h成马上：h0M2M2h2fx2M0M2。(4)导数的应用1函数的单调性1）假如函数f(x)在区间(a,b)内可导且f(x)0，则f(x)在(a,b)2）假如函数f(x)在区间(a,b)内可导且f(x)0，则f(x)在(a,b)2函数的极值内是严格单调增添；内是严格单调减少。1）函数f(x)在点x0

23、的邻域内有定义x(x0,x0)U(x0,x0)，有f(x)f(x0)，则f(x0)为一个极大值，x0是一个极大值点；x(x0,x0)U(x0,x0)，有f(x)f(x0)，则f(x0)为一个极小值，x0是一个极小值点；注：极值是考虑函数在局部范围内取值状况；使函数获得极值的点x0称为函数的极值点。2）极值存在的必需条件：设函数f(x)在x0处可导且在x0处获得极值，则f(x0)0。3）极值存在的第一充分条件：设函数f(x)在x0的某个去心邻域内可导，在x0处连续，则精选教课课件设计|Excellentteachingplan当f(x)的符号在x0双侧左正右负时，f(x0)为极大值。当f(x)的

24、符号在x0双侧左负右正时，f(x0)为极小值。2）极值的第二充分条件：设函数f(x)在x0处二阶可导且f(x0)0,f(x0)0，则当f(x0)0时，f(x0)为极小值；当f(x0)0时，f(x0)为极大值。3函数最大值、最小值某函数f(x)在闭区间a,b上连续，则可先求出函数f(x)在(a,b)内全部驻点及导数不存在的点处的函数值并与f(a),f(b)比较，此中最大者是函数f(x)在a,b上的最大值，最小者是函数f(x)在a,b上的最小值。4曲线的凹凸性与拐点1）若函数f(x)在(a,b)内连续且有一阶、二阶导数，则当f(x)0时，曲线yf(x)是凹弧；当f(x)0时，曲线yf(x)是凸弧。连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。2）曲线拐点的鉴识若函数f(x)在(a,b)内拥有二阶连续导数f(x)，而且f(x0)0。假如f(x)在x0左右双侧符号相反，则点(x0,f(x0)就是曲线yf(x)的拐点。二阶导数不存在的点，也可能是曲线的拐点。5、曲线的曲率、曲率半径若函数yf(x)在点x处二阶可导，1）在点(x,y)