空间解析几何基本知识

1、关于空间解析几何基本知识第一张，PPT共六十九页，创作于2022年6月2第一节一、空间直角坐标系二、曲面及其方程的概念 三、几种常见的曲面及其方程空间解析几何基本知识 第七章 第二张，PPT共六十九页，创作于2022年6月3面面面x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)复习1.空间直角坐标系第三张，PPT共六十九页，创作于2022年6月42.平面基本方程:一般式复习平面A x + B y + C z = 0通过坐标原点；3.平面一般方程的几种特殊情况：截距式第四张，PPT共六十九页，创作于2022年6月5平面过x 轴；平面/x 轴；平面Cz + D = 0平行于xoy 坐标面；平面过y 轴；平面

2、/y 轴；平面By + D =0平行于xoz 坐标面；平面Ax + D =0平行于yoz 坐标面.平面过z 轴；平面/z 轴.第五张，PPT共六十九页，创作于2022年6月64.柱面方程的特征：只含两个坐标的方程一定是柱面方程，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴.二元方程都是柱面方程25第六张，PPT共六十九页，创作于2022年6月7引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线故在空间过此点作所形成的曲面称为圆柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,三、

3、柱面第七张，PPT共六十九页，创作于2022年6月8观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所这条定曲线C 叫(1) 定义形成的曲面称为柱面.柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动C一般的第八张，PPT共六十九页，创作于2022年6月9C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第九张，PPT共六十九页，创作于2022年6月10C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面

4、的母线.动第十张，PPT共六十九页，创作于2022年6月11C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十一张，PPT共六十九页，创作于2022年6月12C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十二张，PPT共六十九页，创作于2022年6月13C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线

5、，直线L 叫柱面的母线.动第十三张，PPT共六十九页，创作于2022年6月14C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十四张，PPT共六十九页，创作于2022年6月15C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十五张，PPT共六十九页，创作于2022年6月16C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲

6、线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十六张，PPT共六十九页，创作于2022年6月17C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十七张，PPT共六十九页，创作于2022年6月18C平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所(1) 定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C 叫柱面的准线，直线L 叫柱面的母线.动第十八张，PPT共六十九页，创作于2022年6月19（2）求柱面方程设母线/z轴，准线是xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.设M(x,y,z)

7、是柱面上的任一点，作面于N，则N(x, y)是曲线F(x,y)=0上的点，则得M(x,y,z)点满足的方程为F(x,y)=0.所以柱面方程为：xzyoNM(x,y,z)F(x,y)=0只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，而准线为xoy面上的曲线C.第十九张，PPT共六十九页，创作于2022年6月20g(y,z)=0是母线/x轴,g(y,z)=0所构成的柱面.类似地：准线为yoz面内的曲线h(x,z)=0是母线/y轴,h(x,z)=0所构成的柱面.准线为xoz面内的曲线注意：柱面方程一定是二元方程，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴.第二十

8、张，PPT共六十九页，创作于2022年6月21柱面方程的特征：只含两个坐标的方程一定是柱面方程，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴.二元方程都是柱面方程第二十一张，PPT共六十九页，创作于2022年6月22抛物柱面平面例问方程表示什么曲面？zxyo抛物柱面第二十二张，PPT共六十九页，创作于2022年6月23椭圆柱面xyzo抛物柱面双曲柱面例如：母线/x轴母线/z轴母线/y轴第二十三张，PPT共六十九页，创作于2022年6月24例1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程第二十四张，PPT共六十九页，创作于2022年

9、6月25(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第二十五张，PPT共六十九页，创作于2022年6月26(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第二十六张，PPT共六十九页，创作于2022年6月27(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第二十七张，PPT共六十九页，创作于2022年6月28(1)定义以一条平面这

10、条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第二十八张，PPT共六十九页，创作于2022年6月29(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第二十九张，PPT共六十九页，创作于2022年6月30(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十张，PPT共六十九页，创作于2022年6月31(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线

11、绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十一张，PPT共六十九页，创作于2022年6月32(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十二张，PPT共六十九页，创作于2022年6月33(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十三张，PPT共六十九页，创作于2022年6月34(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所

12、生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十四张，PPT共六十九页，创作于2022年6月35(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十五张，PPT共六十九页，创作于2022年6月36(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴曲面的母线.曲线叫旋转第三十六张，PPT共六十九页，创作于2022年6月37例如 :第三十七张，PPT共六十九页，创作于2022年6月38(2) 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面

13、的方程:给定 yoz 面上曲线 C: 设所求曲面上的动点为则点M一定是曲线上的某点转过来的.故旋转曲面方程为：当绕 z 轴旋转时,设则有则有该点转到第三十八张，PPT共六十九页，创作于2022年6月39思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？总之：旋转曲面的方程方程：yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程：yoz坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面的方程为第三十九张，PPT共六十九页，创作于2022年6月40例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲

14、面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第四十张，PPT共六十九页，创作于2022年6月41旋转抛物面oyzxxyzo第四十一张，PPT共六十九页，创作于2022年6月42例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方第四十二张，PPT共六十九页，创作于2022年6月43该曲面叫圆锥面.方程的特点：叫标准圆锥面.三元二次齐次方程.同理：中心轴是 y 轴中心轴是 x 轴.也是标准圆锥面.也是标准圆锥面.是上半圆锥面.第四十三张，PPT共六十九页，创作于2022年6月44旋转抛物面.旋转双叶双曲

15、面.如第四十四张，PPT共六十九页，创作于2022年6月455、其它的二次曲面三元二次方程 这类曲面通常都可以先经过旋转,然后伸缩变形得到称为旋转+伸缩型二次曲面 .其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )特征：第四十五张，PPT共六十九页，创作于2022年6月461.定义：三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,伸缩法 .其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )相应地平面被称为一次曲面用坐标面和

16、平行于坐标面的平面与曲面相截,了解曲面的全貌，即为截痕法.考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而截痕法：5、其它的二次曲面第四十六张，PPT共六十九页，创作于2022年6月47伸缩法：第四十七张，PPT共六十九页，创作于2022年6月48ozyx将旋转椭球面 沿 轴方向伸缩 倍得：2. 椭球面椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面第四十八张，PPT共六十九页，创作于2022年6月49第四十九张，PPT共六十九页，创作于2022年6月50（2）双叶双曲面ozyxxyoz旋转双曲面 ,沿轴 方向伸缩 倍第五十张，PPT共六十九页，创作于2022年6月51xyzooyzx第五十一张，PPT共六

17、十九页，创作于2022年6月52设a,b均大于0,以平行于xOy面的平面z=z0(z00)截椭圆抛物面,所得截线方程为它表示平面z=z0上一椭圆.以z=0截曲面,截得一点为原点. 第五十二张，PPT共六十九页，创作于2022年6月53以平行于xOz面的平面y=y0截曲面,截线方程为 这是平面y=y0上一条抛物线.以平行于yOz面的平面x=x0截曲面所得截线是平面x=x0上的一条抛物线. 第五十三张，PPT共六十九页，创作于2022年6月54xyzo第五十四张，PPT共六十九页，创作于2022年6月551.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面 柱面-二元方程如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,

18、椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 圆锥面的方程时 叫标准圆锥面.yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程：内容小结第五十五张，PPT共六十九页，创作于2022年6月562. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 第五十六张，PPT共六十九页，创作于2022年6月57BB第五十七张，PPT共六十九页，创作于2022年6月58空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C，是空间一个椭圆.C一、空间曲线的一般方程补第五十八张，PPT共六十九页，创作于2022年6月59又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 由于是上半球面,是圆柱面,交线如图,叫维维尼曲线第五十九张，PPT共六十九页，创作于2022年6月60例如: 下列方程组各表示怎样的曲线？所以，空间曲线的方程是不唯一的.第六十张，PPT共六十九页，创作于2022年6月61三、空间曲线在坐标面上的投影CCC关于 的投影柱面C在 上的投影曲线Oxzy设曲线 则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：第六十一张，PPT共六十九页，创作于2022年6月62例3.解：代入消元求交线C的投影曲线的方程.由所给的方程相减得：消去z得