工科数学分析基础课件4

1、工科数学分析基础西安交通大学理学院hqlee第章无穷级数第一节常数项级数函数项级数幂级数 Fourier级数第二节第三节第节Fourier级数2010-12-232/39四四第四节Fourier级数习题4.42，4，5(2)(5), 6(4), 7(2)，8,9Fourier级数2010-12-233/394.1三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 : y Asin( t )(谐波函数)为角频率, 为初相 )n sin(n t n )( A为振幅, y :复杂的周期运动0n1(谐波迭加)sin cos nt Acos sin n tAa0a Asin b Acos t x A ,令nn0

2、2a0 (x bn sin nx )n cos得函数项级数2k 1称上述形式的级数为三角级数.Fourier级数2010-12-234/39本节主要三个问题：(1)怎样将函数展开为三角级数？a0()(acnoxssnbinn)x.n2n1和n 1,2,)其中系数a0都是实常数.(2)三角级数的收敛性问题.(3)三角级数的和函数问题.Fourier级数2010-12-235/39组成三角级数的函数系：,1cosxsin, xcos ,x2sin,x2, 上正交,sin,nx , 在, cos nx即其中任意两个 上的积分等于 0 .但是两个相同不同的函数之积在xd 上的积分不等于 0 .的函数的

3、乘积在nxn xd 01 , 2,)sinnx证:当cos1 时,kcos) 01)0cokks(sincos(xdcosxxd2同理sin x d cosx dk,x0ksinx 11dd , 2, ) 而n reiruoF级数2010-12-236/394.2周期函数的Fourier展开假定f(x)在 上能展开为三角级数，即 a0(an cos nx bn sin nx).)(2n1 bk- a0f ( x)sin kxdx则fd af ( x)cos kxdxk系数由这个公式确定的三角级数称为 f 的Fourier级数，这些系数称为 f的Fourier系数。Fourier级数2010-1

4、2-237/39b 1f ( x)sin kxdxk ,2,)ka 1f ( x)cos kxdx(k 0,1,2,)k a0(an cos nx bn sin nx) s(x)n1)(2 1(k 0,1,2,)(k 1,2,) 上分段单调，af ( x)cos kxdx其中k 1bf ( x)sin kxdx设函数 f 在kDirichlet定理：而且除有限个第一类间断点外是连续的，那么它的 Fourier级数在区f间上收敛，其和函数为为连续点x ) f ( x 0) ,fx为间断点x S2 ) f ( 0) ,fx 2Fourier级数2010-12-238/39 上,但由于虽然Diric

5、hlet定理中的f仅定义在Fourier级数的各项是以2为周期的函数,所以它的和2f 按照周期 2为周期的函数.只要将函数也是以向左右延拓， 那么它的Fourier级数就在整个数轴上f 的连续点处都收敛于 f 了。即有：)yxo 335Fourier级数2010-12-239/39( a0 (a cos nx b sin nx),x (,).2nn为连续点n1例1：设周期函数在一个周期内的表达式为y,1x2 x 0 x f1o 10 x x则它的Fourier级数在x 处收敛于 24 处收敛于 .0在 x ,2解: f( ) 2f24( ) 22 ) (00 ) 0222Fourier级数20

6、10-12-2310/39例2 设 f 是以 2在 上的定义为为周期的函数，它 x ,0 ,0)( ,求 f的Fourier级数及此Fourier级数的和函数S(x). 上满足Dirichlet条件。由系数公式解。函数 f 在 1 1 x dx xdx 0,20 1f ( x)cos nxdx 10ax cos nxdxn 1cos nx 1sin n sin nx 0 dxn2n(1n2n200 n 1 n2Fourier级数2010-12-2311/392 1 112an f (nxdxn 2bx )sin0sinnxdxn0 )n1a1 cos n10cos nxdx2n0 ) 时，x

7、因此，根据Dirichlet定理，当 2cos5(4 )(123252(sin x sin24 )34 )k 12k 121)sinkc2os(kx;) ( k 4reiruoF级数2010-12-2312/39 )k 1 2cos(2 1)x sin kxS) k 24(kk 10 x ,0将x 代入 f 的Fourier级数， x 02 )k 12 k 1cos(2k 1) sin k ;) k 242(kyx3o 3Fourier级数2010-12-2313/391 2 ( n )28n1奇函数或偶函数的Fourier级数 上是奇函数，那么如果 f ( x)在 1f ( x)cos nx

8、dx 0(n a21,)n 1f ( x)sin nxdx 20(n 1,2,).bf ( x)sin nxdxn从而，它的Fourier级数变为称为 f 的Fourier正弦级数。f () n sin nx, x (,)n1如果 f 在 上是偶函数，那么它的Fourier级数a0 , x (,),)(n cos n只含余弦项，即2n1 2称为 f 的Fourier余弦级数。( x)cos nx (n 0,1,2,),n0Fourier级数2010-12-2314/39 x 00 x ,例3设(求)(解的Fourier级数及此Fourier级数的和函数S(x).22xdx ,b ,0 x dx

9、 n000 2 2f (nxdxax )coscosnxdx)n002 sinnncxo2(1n xn2n 2n2)n0y4cos(1 )(n )22(xn1 ) ( fo ) , x )( 2Fourier级数2010-12-2315/39s 4cos(2n 1) 0 x ,021f (0( n )2 n1 2 则有n )28 (n1 42记 2 4 1 2 522 21 4 2 26 2 3 4213212Fourier级数2010-12-2316/394.3周期为2 l的函数的Fourier展开设 f 是周期为2 l 的函数，并且在- l , l上满足Dirichlet条件.l tl t

10、 ).x f (作变量代换则lg(t ) 不难验证g是周期为 2 的函数，并且在记 上满足Dirichlet条件t x 代回，即得 f将gFourier级数，然后以l的Fourier级数.Fourier级数2010-12-2317/39g的Fourier级数为(n1) 1g c 0,n 1,a(dt2,),其中n1( )gbd(t1 n,2,).n 将t x代入上式便得到 f 在l,l-上的Fourier展开式：la(bsin0 2)(acos),nn lln1 1l(a)cosx,1,2,),2,).其中nl ll 1ll (b)sinxn llreiruoF级数2010-12-2318/3

11、9y将以4为周期，在-2，2上定义为例3 1x )( 2x 20 x 2o 2,2,),的函数 f 展开为Fourier级数。 0解由于它是偶函数，所以n2l 1 1lddx af20200n 1 21ll dx 2 cosdx sinnn a() cos,2,).nl2200因此，当x 2, 1 , ,2时，x)(sincos;4n22n114x 当时，它的级数收敛于Fourier级数2010-12-2319/39定义在0，l上函数的Fourier展开4.4设函数f 定义在 0，l 上,满足Dirichlet条件,上满足Dirichlet 条件的函数构造一个在 l f (,)( x 0)将F

12、(x)在-l,l上展开为Fourier级数，a0(an cosbn sin)（1）2lln1然后将 x限制在区间 0 l 上，那么级数（ 1）就是f (在 0,上的Fourier 展开式。Fourier级数2010-12-2320/39（1）将f 偶延拓展为余弦级数 0(,)( 令)在 , l )上是偶函数，称为偶延这时F (拓，它的Fourier级数为余弦级数 :a0an cos2ln1nx 2ll a()cosx(21,),nl0y偶延拓3lxllo2lFourier级数2010-12-2321/39（2）将f奇延拓展为正弦级数(f,)( 令 x 0)在 , l )上（除去点x )0是奇函

13、数，称为奇延拓，这时F (它的Fourier 级数为正弦级数 :n 1b nsindx.l 2ll b() sinx,2,).奇延拓ynl03lxol2llFourier级数2010-12-2322/39 2(例1将函数在0，2上展开为Fourier正弦级数。 0 (21,)x)将f(x)作奇延拓。有：解nnxnxnx 212sindx x sin 2dx( 2 ()xsin dxn220018 )k) n8n sin(k 2)1)k(2 x 从而得)(2 sin0,2k k 0 ()2Fourier级数2010-12-2323/39x 1(函数奇延拓后如下图所示y 21xo2614根据 Di

14、richlet 定理)1)k (k 0)2 sinf (,0,2 2k 2(Fourier级数2010-12-2324/39 例2 将f ( x)展开为正弦级数和余弦级数。an 0 xsin解将fx作奇延拓得 22 2 n n1nxdx cos(n ybx),2,)nnn00, 上的正弦级数为故f (在xo 由 Dirichlet定理得(x 2 )n1sin nxn0n1令x 得 1 1 1 （ 1）n112n 1,2357Fourier级数2010-12-2325/39x 1)n1 2 sin nxn1n 20 xdx x x,0将f作偶延拓, 得ban0 2nxdx 210(cos n 1

15、)axcosn2ny0 x， o( k )2在 0, 上的余弦级数为f ( x 210 ) x cos(k )22(k 1在上式中，令x ,0 2 1 0 2k k )2)2 (8 (k 1k 1Fourier级数2010-12-2326/39 x 证明在 例3(1)n1(28 sin1) (2)n )3(n1yxoFourier级数2010-12-2327/394.5Fourier级数的复数形式 ,由Euler公式，令lcosnx 1inxinx ), cos nx (l2sin nx sin1 ( een n),l2i代入 f 在- l,l 上的Fourier展开式得 n nn n) 02

16、 n 2 n 2)()n1ibi (n1n n0nnee).222Fourier级数2010-12-2328/39于是，得到 f的Fourier级数的复数形式x c n1nnfe,nnn1l a01其中cf (d022ll i 1lx )(cos c n(f isindx)22ll1l2l nn fxd,2,),ln： fe写成形式nn1l n cn 1,2,).f ( xd其中n2llFourier级数2010-12-2329/39内容小结1. 周期为 2 的函数的Fourier展开 a0 (n1x bn sin n x)fxn cos( x为连续点)21(n 21,)( x)cos n x

17、dxn其中 1 n , 2,)( x)sin n xdxn )(x0 为间断点, 则级数收敛于002若Fourier级数2010-12-2330/392. 周期为2l的函数f 的Fourier展开式：a0 (an cosn1bn sin)(),2ll其中 1ll (a()cosx21,),nll 1ll 1,2,).b()sinx (nllFourier级数2010-12-2331/393. 定义在0，l上函数的Fourier展开（1）将f 偶延拓展开为余弦级数a0an cos)(2ln1nx 2ll a()cosx(21,),nl0（2）将f 奇延拓展开为正弦级数f () n sinn1dx

18、.l 2ll b() sinx,2,).nl0Fourier级数2010-12-2332/394.Fourier级数的复数形式周期为2l 的函数f 的Fourier展开式 的复数形式nnfen其中1l ncn 1,2,). f ( xdn2llFourier级数2010-12-2333/39练习 x 0 x ,11)( 上.1写出函数在Fourier级数的和函数 . x 0 x x 0 x ,1y1o1,0,0fxx: Sx 1Fourier级数2010-12-2334/39 )上是周期为2 的周期函数,它在. 设fx的表达式为 f (x)x , 将 f (x)Fourier级数.k )解: 若不计 x (k 0, 1, 2,),y)(则是周期为 2 的奇函数, 因此 0(21 , )nox 20()