因式分解竞赛题含问题详解

1、因式分解序号公式记忆特性1x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)(十字相乘法)常数项两数枳一次项系数两数和二次项系数为12a2-b2 = (a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2(完全平方公式)4a2+b.2+c2.+2.ab.+2ac+2bc = (a+b+c)2(完全平方公式扩展)三数平方和两两积勺2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3(完全立方公式)对照完全平方公式互相加强记忆6a3+b3 = (a+b)(a2-.ab.+b2)a3-b3

2、= (a-b)(a2+.abb2)近似完全平方公式缺项之完全立方公式(a+b).(a+b.)2-3ab.=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(.a+b)2+.3.ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+.b2+c.2-ab-ac.-.bc)对照公式4互相加强记忆8an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+. +abn-2+bn-1) n=整数(平方差公式扩展)短差长和；a指数逐项递减1；b指数逐项递增1；长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-. +abn-2-

3、bn-1) n=偶数(立方差公式扩展)(1)短式变加长式加减相间；a指数逐项递减1；b指数逐项递增1；(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-. +abn-2-bn-1) n=奇数(立方和公式扩展)对比公式9 1勺异同运用公式法分解因式时，要根据多项式日勺特点，根据字母、系数、指数、符号等对日勺恰本地选择公式.例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解(1)原式二-2xn-iyn(X4n-2x2ny2+y4)=-2xn-iyn (x2n) 2-2x2ny2

4、+(y2)2=-2xn-iyn(X2n-y2)2=-2Xn-iyn (xn-y) 2(Xn+y) 2.原式=X3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)= (x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本题事实上就是用因式分解日勺措施证明前面给出日勺公式(6).分析我们已经懂得公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3勺对勺性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).这个式也是一种常用勺公式，本题就借助于它来推导.解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3

5、】 -3ab(a+b+c)= (a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 -3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).阐明公式(6)是一种应用极广勺公式，用它可以推出诸多有用勺结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc4 :十匚)C 2,i. 1 21J 1 2c1 - Jab - 2b. - 2ca；一：:a + b-c : (a +:)- +，：-取二，显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c0 时，则 a3+b3+c3-3abcN0，即 a3+b3+c3N3abc，并且，当且仅当a=b=c时

6、，等号成立.如果令 x=a3N0，y=b3N0，z=c30，则有等号成立勺充要条件是x=y=z.这也是一种常用勺结论.变式练习1 分解因式：X15+X14+X13+，+X2+x+1.分析这个多项式日勺特点是：有16项，从最高次项X15开始，x日勺次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.解由于X16-1=(x-1)(X15+xm+x13+.X2+x+1),因此+x15-.+k2 -+1)-1俱瓦一=厂x-lK 一 1_(3? + 十 W2 十 十 -1)X -1阐明在本题勺分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(x-1)勺技巧，这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是

7、多项式乘法勺逆运算.在多项式乘法运算时，整顿、化简常将几种同类项合并为一项，或将两个仅符号相反勺同类项互相抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或互相抵消勺项，即把多项式中勺某一项拆成两项或多项，或者在多项 式中添上两个仅符合相反勺项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项勺目勺是使多 项式能用分组分解法进行因式分解.例3分解因式：X3-9X+8.分析本题解法诸多，这里只简介运用拆项、添项法分解勺几种解法，注意一下拆项、添 项勺目勺与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9.原式=X3-9x-1+9= (X3-1)-9x+9= (x-1)(X2+x+1)-9(x-1)= (x-1)(

8、X2+x-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x.原式=X3-x-8x+8二 (X3-x) + (-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)二 (x-1)(x2+x-8).解法3将三次项x3拆成9x3-8x3.原式二9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)二 (x-1)(x2+x-8).解法4添加两项 顼2+乂2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2 (x-1) + (x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)阐明由此题可以看出，用拆项、添项日勺措施分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无-

9、 定之规，重要日勺是要依托对题目特点日勺观测，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸 措施中技巧性最强勺一种.变式练习1分解因式：x9+x6+x3-3；(m2-1)(n2-1)+4mn；(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；a3b-ab3+a2+b2+1.解(1)将-3拆成-1-1-1.原式= X9+X6+X3- 1- 1- 1=(X9-1) +(X6-1) +(X3-1)=(X3-1)(X6+X3+1) +(X3-1)(X3+1) +(X3-1)= (X3-1)(x6+2x3+3)二 (x-1)(X2+x+1)(X6+2x3+3).(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn.原式=(m2-

10、1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn二 (m2n2+2mn+1) - (m2-2mn+w)= (mn+1) 2- (m-n) 2= (mn+m-n+1)(mn-m+n+1).将(X2-1)2拆成 2(X2-1) 2-(X2-1) 2.原式=(x+1) 4+2(X2-1) 2- (x2-1) 2+(x-1) 4=(x+1) 4+2(x+1) 2 (x-1) 2+(x-1) 4 - (x2-1) 2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2二 (2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加两项+ab-ab.原式 =a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab二 (a3b-ab3) + (a2-ab) + (ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)