高中数学必修二 (教案)空间点、直线、平面之间的位置关系

1、 14/14空间点、直线、平面之间的位置关系【第一课时】【教学目标】1了解平面的概念，会用图形与字母表示平面2能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系3能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用【教学重难点】1平面的概念2点、线、面的位置关系3三个基本事实及推论【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1教材中是如何定义平面的？2平面的表示方法有哪些？3点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？4三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？二、基础知识1平面（1）平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象

2、出来的平面是向四周无限延展的（2）平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向（3）平面的表示方法我们常用希腊字母，等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称如图中的平面，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD名师点拨：（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的2点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，

3、m是直线，是平面文字语言符号语言图形语言A在l上AlA在l外AlA在内AA在外Al在内ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“ ”表示（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“ ”表示（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示3平面的性质基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C基本事实2如果

4、一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl名师点拨 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些如下图，图所示：4平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面如图（1）推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面如图（2）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面如图（3）三、合作探究图形、文字、符号语言的相互转化例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图

5、形平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示l，Al，AB，AC.【解】（1）符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.用图形表示如图所示（2）文字语言叙述为：点A在平面与平面的交线l上，直线AB，AC分别在平面，内，图形语言表示如图所示eq avs4al()规律方法三种语言的转换方法（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和

6、虚线的区别 点、线共面问题例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内【解】已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内证明：法一：（纳入平面法）因为l1l2A，所以l1和l2确定一个平面.因为l2l3B，所以Bl2.又因为l2，所以B.同理可证C.又因为Bl3，Cl3，所以l3.所以直线l1，l2，l3在同一平面内法二：（辅助平面法）因为l1l2A，所以l1，l2确定一个平面.因为l2l3B，所以l2，l3确定一个平面.因为Al2，l2，所以A.因为Al2，l2，所以A.同理可证B，B，C，C.所以不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面

7、内所以平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内规律方法eq avs4al()证明点、线共面的常用方法（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合 三点共线、三线共点问题例3：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点【证明】连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EFeq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)A1B.又因为A1Beq o(sdo3(),sup3()D1C，所以E

8、Feq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，所以据基本事实3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点变条件、变问法若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1FCEM”，求证：点D、A、M三点共线证明：因为D1FCEM，且D1F平面A1D1DA，所以M平面A1D1DA，同理M平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA平面BCD

9、AAD，所以MAD成立所以点D、A、M三点共线规律方法eq avs4al() 【课堂检测】1能确定一个平面的条件是（ ）A空间三个点B一个点和一条直线C无数个点 D两条相交直线解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确2经过同一条直线上的3个点的平面（ ）A有且只有一个 B有且只有3个C有无数个 D不存在解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点3如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，Ml，Nl，则（ ）Al BlClM DlN解析：选A.因为Ma，a，所以M，同理，N，又Ml，Nl，故l.4

10、如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）A没有其他公共点 B仅有这一个公共点C仅有两个公共点 D有无数个公共点解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线5说明语句“l，mA，Al”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形解：直线l在平面 内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示【第二课时】【教学目标】1了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义2了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示3了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用

11、符号语言和图形语言表示【教学重难点】1空间两直线的位置关系2直线与平面的位置关系3平面与平面的位置关系【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1空间两直线有哪几种位置关系？2直线与平面的位置关系有哪几种？3平面与平面的位置关系有哪几种？4如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？5如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？二、基础知识1空间中直线与直线的位置关系（1）异面直线定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；画法：（通常用平面衬托）（2）空间两条直线的位置关系eq blc(avs4alco1(共面直线blc(avs4alco1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个

12、公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.)名师点拨 （1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a，b，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为abO，所以a与b不是异面直线2空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示名师点拨 一般地，直线a在平面内时，应把直线a画在表示平面的平行四边形内；直线a与平面相交时，应画成直线

13、a与平面有且只有一个公共点，被平面遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面平行时，应画成直线a与表示平面的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面的平行四边形外3空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）符号表示l图形表示名师点拨 （1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面三、合作探究空间两直线位置关系的判定例1：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A

14、1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面同理，直线AB与直线B1C异面所以应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”【答案】平行异面相交异面规律方法eq avs4al() （1）判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断 （2）

15、判定两条直线是异面直线的方法定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线（如图）直线与平面的位置关系例2：下列命题：直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为（ ）A1B2C3 D4【解析】因为直线l虽与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内，所以l不一定平行于，所以是假命题因为直线a在平面外包括两种情况：a和a与相交，所以a和不一定平行，所以是

16、假命题因为直线ab，b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，所以a不一定平行于，所以是假命题因为ab，b，所以a或a，所以a可以与平面内的无数条直线平行，所以是真命题综上，真命题的个数为1.【答案】A归纳反思eq avs4al()判断直线与平面的位置关系应注意的问题（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断 平面与平面的位置关系例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行

17、，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）A平行 B相交C平行或相交 D以上都不对【解析】如图，可能会出现以下两种情况：【答案】C1变条件在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a，b，a，b异面，则两平面平行或相交2变条件在本例中，若将条件改为平面内有无数条直线与平面平行，那么平面与平面的关系是什么？解：如图，内都有无数条直线与平面平行由图知，平面与平面可能平行或相交3变条件在本例中，若将条件改为平面内的任意一条直线与平面平行，那么平面与平面的关系是什么？解：因为平面内的任意一条直线与平面平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平

18、面与平面平行规律方法eq avs4al() （1）平面与平面的位置关系的判断方法平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点（2）常见的平面和平面平行的模型棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；长方体的六个面中，三组相对面平行 点、线、面位置关系图形的画法例4：如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线（1）过点G及AC.（2）过三点E，F，D1.【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线如图所示（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线如图所示规律方法eq avs4al()直线与平面位置关系的图形的画法（1）画直线a在平面内时，表示直线a的线段只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外（2）画直线a与平面相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面的平行四边形之外，这样既能与表