离散数学函数

1、关于离散数学函数第一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月第一节 函数的基本概念一、函数的定义二、特种函数第二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月一、函数的定义1、函数2、函数的定义域3、函数的值域4、陪域5、函数相等6、函数的图和矩阵表示7、缩小和扩大(略)第三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月1、函数函数是满足任意性和唯一性的二元关系。f:XY对任意的xX都存在唯一的yY fy=f(x)，任意性唯一性函数映射原像像点第四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月函数举例设X=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3判断下列关系是否是函数？f1=, ,f

2、2=, f3=,第五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答f1=,不是函数。 x2对应两个不同的像点y2和y3不满足唯一性。第六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答f2=,是函数满足任意性和唯一性。第七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答f3=,不是函数。原像x2没有像点不满足任意性。第八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月2、函数的定义域函数f: XY定义域Df第九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月3、函数的值域函数f: XYf(X)是f的值域由像点组成的集合Rff(X) Y第十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月4、陪

3、域函数f: XY陪域第十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定义域、值域及陪域举例f: XYX=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3 ,y4,y5 ,y6第十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月函数举例判断下列关系中哪个能构成函数？(1)f1=|x1,x2N,x1+x210(2)f2=|x1,x2R, x22 =x1(3)f3=|x1 N,x2为非负整数, x2为小于等于x1的素数的个数第十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(1)f1=|x1,x2N,x1+x210不能构成函数。(1)不满足任意性:Df=1,2,3,4,5,6,7,8N(2)不

4、满足唯一性：f1(1)=1, f1(1)=2, f1(1)=8第十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(2)f2=|x1,x2R, x22 =x1不能构成函数。(1)不满足任意性:Df=R+R(2)不满足唯一性：一个x1对应两个不同的x2例如：22=4, (-2)2=4第十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(3)f3=|x1N, x2为非负整数, x2为小于等于x1的素数的个数能构成函数。满足任意性和唯一性：对于任意的一个自然数x1 ，小于x1的素数个数是唯一的。例如: f3(1)=0:小于1的素数不存在； f3(2)=1:小于2的素数有1个：1 f3(3)=

5、2:小于3的素数有2个：1,2 f3(4)=3:小于3的素数有3个：1,2,3第十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月5、函数相等函数f和函数g相等函数f:AB，g:C DA=CB=D对所有xA和xC都有f(x)=g(x)f=g第十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月函数相等举例设f:AB, g:CD, h:EFA=C=E=1,2,3,B=D=a,b,c,F=a,b,c,df(1)=a,f(2)=a,f(3)=c h(1)=a,h(2)=a,h(3)=cg(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gfhBFghDF第十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月6、

6、函数的图和矩阵表示图Gf ：f(x)=y f从x有一条到y的有向弧矩阵Mf ：每一行有且仅有一个元素为“1”。化简的Mf ：二列矩阵第一列： Df第二列： Rf第十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月函数的图和矩阵表示举例X=a,b,c,d,e Y=,f=,求： Df、Rf、 Gf 、 Mf 、简化的MfDf =X=a,b,c,d,eRf =, Y第二十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答X=a,b,c,d,e Y=,f=,第二十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例X=a,b,c Y=0,1问：存在多少个从X到Y的二元关系？ 存在多少个从X到Y的函数？

7、第二十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答XY=,|XY|=6关系是笛卡尔乘积的子集|(XY)|=26结论：存在26个从X到Y的二元关系第二十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答函数是满足任意性和唯一性的二元关系结论：存在|Y|X|=23个从X到Y的函数。第二十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月结论则:|BA|=|B|A|BA:从A到B的所有可能的函数的集合BA=f|f:AB第二十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月7、缩小和扩大(略)f:XY AX(1)g: AY g=f(AY)称g是函数f的缩小，并记作f/A(2)若g是f的缩小，则

8、f是g的扩大。由定义可知：Dg Df g f缩小即原有的对应关系不变，但定义域缩小。第二十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月缩小和扩大举例设A=-1，0，1 f:A2B(1)写出f的全部序偶；(2)求Rf;(3)写出f/0,12中的全部序偶。第二十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月f的全部序偶和Rf(1)A2=AA=-1,0,1-1,0,1=, ,f()=0, f()=-1, f()=-2,f()=1, f()=0, f()=-1f()=2, f()=1, f()=0f= ,0, ,-1, ,-2, ,1, ,0, ,-1, ,2, ,1, ,0 (2)Rf =-2

9、,-1,0,1,2第二十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月0,12 Rf中的全部序偶f/0,12 = f(0,12 Rf )0,12 = 0,1 0,1 =,Rf =-2,-1,0,1,20,12 Rf = ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, , 1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2 , ,-1 , ,0 , ,1 , ,2 第二十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月f/0,12中的全部序偶f/0,12 = f(0,12 Rf )= ,0, ,-1, ,-2, ,1, ,0, ,-1, ,2, ,1, ,

10、0 ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, , 1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2 , ,-1 , ,0 , ,1 , ,2 = ,0, ,-1, ,1, ,0第三十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月缩小的举例X=a1,a2,a3,x4,x5Y=y1,y2,y3,y4,y5A=a1,a2,a3f=, ,求：f/A第三十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答f/A=,第三十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月二、特种关系1、满射函数2、内射函数3、单射函数4、双射函数5、恒等函数第三十三张，PPT

11、共一百三十八页，创作于2022年6月1、满射函数函数f: XY若f(X)=Rf=Y值域陪域f是滿射函数映满的映射f是滿射函数对任意的yY，在X中必有原像x与之对应f(x)=y像点的集合第三十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月满射举例A=a,b,c,dB=1,2,3f:ABf(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2 Rf = 1,2,3=B f是满射函数。第三十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月2、内射函数函数f: XY若RfYf是内射函数映入的映射第三十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月3、单射函数函数f: XY对任意x1，x2Xx1x2f(x

12、1)f(x2)如果原像不同,则像点不同或 f(x1)=f(x2)X1=x2如果像点相同,则原像相同则f是单射函数一对一的映射第三十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月内射、单射举例A=a,b B=2,4,6f:ABf(a)=2,f(b)=4 Rf = 2,4 B f是内射函数且f也是单射函数。第三十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月4、双射函数函数f: XYf是满射的f是单射的f是双射函数一对一映满的映射第三十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月5、恒等函数函数Ix: XX对于所有的xX:Ix=| xX恒等函数双射函数第四十张，PPT共一百三十八页，创作于

13、2022年6月特种函数举例(1)f1(x)=x2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6问以上4个函数各是什么函数？第四十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月 解答(1)f1(x)=x2 f1不是满射函数； f1(x)= f1(x)= x2 f1不是单射函数；Rf1为正实数集合，不是实数集合第四十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(2)f2(x)=2x不是满射函数。是单射函数第四十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(3)f3(x)=x3是单射函数是满射函数是双射函数第四十四张，PPT共一百三十八页，创作于

14、2022年6月解答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是满射函数不是单射函数第四十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月第二节函数的合成和合成函数的性质一、合成函数的定义二、反函数第四十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月一、合成函数的定义函数f: XY函数g: YZgf=|xXzZ(y)(yYy=f(x)z=g(y)f和g的合成函数复合函数函数f和g合成的书写格式:关系R和S合成的书写格式:RSgf从左到右从右到左fg第四十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理函数f: XY函数g: YZgf: XZ是函数(gf)(x)=

15、g(f(x)xX第四十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明显然gf是从X到Z的关系(1)任意性：f是函数:对任意的xX存在yY，使得fg是函数:对任意的yY存在zZ，使得gfg gf由复合关系的定义：对于每一个xX，都存在Z中的某个像点z与之对应DgfX第四十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明（续）(2)唯一性： gf gf假设且z1 z2 gf存在y1Y f g gf存在y2Y f gy1 y2 yz1 z2 z第五十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月合成函数举例设X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b, f=, g=,求gf。gf=,第五十一张

16、，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理函数的合成运算是可结合的，即：h( gf)= (hg)ff: XY g: YZh:Z W第五十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明设： f， g， hfg gfh h(gf)ghhgf(hg)f是任意的h( gf)= (hg)f第五十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月合成函数满足结合律的图解表示fghgfhgh(gf)(hg)f第五十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月合成函数举例设R为实数集合,对xR有：f(x)=x+2, g(x)=2x, h(x)=3x; 求gf，h(gf)，ff，gg，fg，(hg

17、)f第五十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答合成函数不满足交换律gf (x)=g(f(x)=g(x+2)=2(x+2)h(gf)(x)=h(gf(x)=h(2(x+2)=6(x+2)ff(x)=f(f(x)=f(x+2)=(x+2)+2=x+4gg(x)=g(g(x)=g(2x)=4xfg(x)=f(g(x)=f(2x)=2x+2=2(x+1)(hg)f(x)= (hg)(f(x)= (hg)(x+2)=6(x+2)hg(x)=h(g(x)=h(2x)=6x合成函数满足结合律第五十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月函数合成运算结合律的推广f1:X1X2, f2:

18、X2X3, , fn:XnXn+1fnfn-1f2f1 : X1Xn+1若：f1=f2=fn X1=X2=Xn+1，则：fn=ffff : XX第五十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月等幂函数函数f:XXf2=fff等幂函数第五十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理设函数f: XY ,g: YZ,gf是一个复合函数，则： (1) 若g和f是满射的,则gf是满射的. (2) 若g和f是单射的,则gf是单射的. (3) 若g和f是双射的,则gf是双射的.第五十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明（1）对于任意的zZ存在xX,使得： gf对于任意的zZg

19、是满射的存在一个yY，使得g(y)=zf是满射的对于yY，必有xX，使得f(x)=yz=g(y)=g(f(x)= gf(x) gfgf是满射函数第六十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明（2）x1x2 gf(x1)gf(x2)x1x2 f是单射的f(x1)f(x2)y1y2g是单射的g(y1)g(y2)g(f(x1)g(f(x2)gf(x1)gf(x2)gf是单射的第六十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理设函数f: XY ,g: YZ,gf是一个复合函数，则： (1) 若gf是满射的,则g是满射的. (2) 若gf是单射的,则f是单射的. (3) 若gf是双射的

20、,则g是满射的，f是单射的.第六十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明（2）x1x2 f(x1)f(x2)x1x2 gf是单射的gf(x1)gf(x2)g(f(x1)g(f(x2)g(y1)g(y2)函数的唯一性y1y2f(x1)f(x2)f是单射的第六十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理设函数 f: XY, IX是X上的恒等函数，IY是Y上的恒等函数，则 f= fIX= IYf第六十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明设:xX yYIX(x)=xIY(y)=yfIX (x)=f(IX (x)=f(x)fIX=fIYf (x)=IY (f(x)

21、=f(x)IYf = f第六十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理函数 f: XY f-1:f的逆关系，则：f-1是从Y到X的函数f是双射函数第六十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例:f不是满射函数设函数 f: XYX=a,b,c Y=1,2,3,4f=,f的逆关系f-1 =,，不满足函数的任意性不是函数第六十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例:f不是单射函数设函数 f: XYX=a,b,c Y=1,2f=,f的逆关系f-1 =,，不满足唯一性不是函数第六十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月2、反函数设 f: XY是双射函数，则

22、: f的逆关系称f的反函数注意：只有双射函数才有反函数。f-1第六十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明(1) f: XY 则f-1 : YX假设f不是满射函数，则:与函数的任意性相矛盾RfYRf=Df-1Df-1Y第七十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明(2)假设f不是单射函数，则：x1x2f(x1)f(x2)yf(x1)yf(x2)yf-1(y)x1f-1(y)x2原像像点像点与函数的唯一性相矛盾第七十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理设 f: XY是一双射函数,则:f的反函数f-1 : YX也是一个双射函数。第七十二张，PPT共一百三十八

23、页，创作于2022年6月证明(1) f-1 是从 Y到X的函数；(2) f-1是满射函数；(3) f-1是单射函数；第七十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明：f-1 是从 Y到X的函数f是双射函数f是满射函数对任意的yY必存在xXff-1Df-1Yf-1是满足任意性的f是双射函数f是单射函数对任意的yY恰有一个的xXf仅有一个xXf-1f-1是满足唯一性的第七十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明： f-1是满射函数R f-1= f-1是满射函数Df=X第七十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明： f-1是单射函数假设f-1不是单射函数，即：y

24、1y2但是有 f-1(y1) f-1(y2) f是函数f-1(y1) x1f-1(y2) x2x1 x2 f(x1) f(x2) y1 y2与假设相矛盾 f-1是单射函数第七十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理若 f: XY是双射函数,则(f-1)-1=f。证明：对任意的(f-1)-1 f-1 f(f-1)-1=f第七十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理函数 f: XY反函数 f-1: YXf-1f=IXff-1=IY证明：设f(x)=yf-1(y)=xf-1f(x)=f-1 (f(x)=f-1 (y)=x f-1f=IXff-1 (y) =f(f-1 (y

25、)=f(x)=y ff-1=IY第七十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例f: XYX=0,1,2 Y=a,b,cf=,求： f-1f， ff-1第七十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答f-1=,(f-1f)(0)= f-1(f(0)= f-1(c)=0(f-1f)(1)= f-1(f(1)= f-1(a)=1(f-1f)(2)= f-1(f(2)= f-1(b)=2 f-1f=,=IX 第八十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(ff-1)(a)= f (f -1(a)= f(1)=a(ff-1)(b)= f (f -1(b)= f(2)=b(

26、ff-1)(c)= f (f -1(c)= f(0)=c ff-1=,=IYf-1=,第八十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理f: XYg:YZ(g f)-1=双射函数g-1f-1第八十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明f: XYg:YZgf : X Z(gf)-1 : ZX对任意的 (gf)-1gf(y)(yYfg)(y)(yYf-1g-1)(y)(yYg-1f-1) f-1g-1第八十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例X=1,2,3FX:从X到X上的所有双射函数组成的集合求：FX的所有函数及其反函数。第八十四张，PPT共一百三十八页，创

27、作于2022年6月解答f1=,=IXf2=,f3=,f4=,f5=,f6=,FX=f1, f2, f3, f4, f5, f6 f1-1=,=f1f2-1=, =f2f3-1=,=f3f4-1=,=f4f5-1=,=f6f6-1=,=f5第八十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(续)f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f6f5f4f3f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f5f1f3f2f5f5f3f4f2f6f1f6f6f4f2f3f1f5若|X|n,则X上双射函数的个数为n!f3 f2 =,=f5第八十六张，PPT共一百三十八页，创作于202

28、2年6月举例|X|=m|Y|=n问：存在满射函数、单射函数、双射函数的必要条件是什么？mnmnm=n第八十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月第三节 二元运算一、基本概念二、二元运算的性质三、二元运算中的特异元素第八十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月一、基本概念1、二元运算2、n元运算3、二元运算的封闭性第八十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月1、二元运算X:集合f:X2X的映射f为X中的二元运算解释：一个运算符联系着两个运算分量f()=z运算符运算分量运算分量运算结果xfy=zx,y,zXzX封闭性第九十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月

29、2、n元运算X:集合f:XnX的映射f为X中的n元运算运算的阶f=xx1,x2,xn,xX第九十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月3、二元运算的封闭性注意：任意一个二元运算必须满足封闭性A:集合f:A2B的映射BA二元运算是封闭的第九十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月二元运算举例设A=x|x=2n,nN 问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？乘法运算：对于任意的2r 、 2sA2r2s =2r+sA乘法运算在A上封闭；加法运算：21+22 =6 A加法运算在A上不封闭；第九十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？

30、(1)A1=0,1(2)A2=1,2(3)A3=x|x为素数(4)A4=x|x为偶数(5)A5=x|x为奇数22=4A223=6A3第九十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理*:X中的二元运算S1 XS2 X*在S1和S2上是封闭的*在S1S2上也封闭第九十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明对任意的两个元素x,yS1S2 x,yS1x,yS2*在S1和S2上封闭 x*yS1 x*yS2 x*yS1S2 *在S1S2上也封闭第九十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月二、二元运算的性质1、封闭性（通性）2、交换性3、可结合性4、可分配性5、吸收律第九十

31、七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月1、封闭性（通性）*:X中的二元运算对于任意的x,yXx*yX在集合X上满足封闭性第九十八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月2、交换性*:X中的二元运算对于任意的x,yXx*y=y*x*运算是可交换的第九十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月3、可结合性*:X中的二元运算对于任意的x,y,zXx*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*运算是可结合的第一百张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月二元运算性质举例设Q是有理数集合，Q上的二元运算定义为： a*b=a+b-ab a,bQ问*是否可交换？可结合？第一百零一张

32、，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答(1)交换性：b*a=b+a-ba=a+b-ab=a*b *运算满足交换律第一百零二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月(2)结合性：a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c) *运算满足结合律解答第一百零三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月二元运算性质举例A是非空集合，*是A上的二元运算，并定义为：a*b=b,证明*是可

33、结合的。a*(b*c) *是可结合的(a*b)*c=c=a*c=b*c=c第一百零四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月4、可分配性*, :X中的二元运算对于任意的x,y,zXx*(yz)=(x*y) (x*z)(yz)*x=(y*x) (z*x)*对可分配第一百零五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月5、吸收律*, :X中的可交换的二元运算对于任意的x,yXx*(x y)=x(x*y)=xx*和满足吸收律第一百零六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月二元运算性质举例在N上定义两个二元运算*和，对任意的x,yN，有：x*y=max(x,y) xy=min(x,y)

34、验证：*和满足吸收律。第一百零七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答x*(xy)=x*(min(x,y)=max(x,min(x,y)=xyx=yxyx=yxymin(x,x)=xmin(x,x)=xmin(x,y)=x*和满足吸收律第一百零八张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月三、二元运算中的特异元素1、幺元e（左幺元el 、右幺元er ）2、零元（左零元l 、右零元r ）3、逆元（左逆元xl 、右逆元xr ）4、等幂元5、可约的（可消去的）6、由运算表求特异元素第一百零九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月1、幺元e（左幺元el 、右幺元er ）* :X中

35、的二元运算(x)( )xX(el )( )elXel *x=x左幺元(x)( )xX(er )( )erXx*er =x右幺元第一百一十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理* :X中的二元运算如果X对运算*同时存在e l和e re l = e r =e(x)( )xX(e)( )eXx*e=xe*x=幺元单位元素e若存在则必唯一第一百一十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明(1) el = er =ex*e=e*x=xel * e r el是*的左幺元= e rer是*的右幺元= e l=ex*e=e*x=xx第一百一十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年

36、6月e是*唯一的幺元(2)幺元是唯一的证明(续)假设e 是*的另一个幺元e ee* e=ee* e=ee是幺元e是幺元e= e第一百一十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月幺元举例问实数集合R上的加法运算和乘法运算的幺元各是什么？实数集合R上的加法运算：幺元是0实数集合R上的乘法运算：幺元是1第一百一十四张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月2、零元（左零元l 、右零元r ）* :X中的二元运算(x)( )xX(l )( )lXl*x=l左零元(x)( )xX(r )( )rXx*r =r右零元第一百一十五张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月定理* :X中的二元运

37、算如果X对运算*同时存在 l和 r l = r =(x)( )xX( )( )Xx*=*x=零元若存在则必唯一第一百一十六张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月零元举例问实数集合R上的加法运算和乘法运算的零元各是什么？实数集合R上的加法运算：实数集合R上的乘法运算：无零元零元是0第一百一十七张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月3、逆元（左逆元xl 、右逆元xr ）* :X中的二元运算*运算存在幺元exX( xl)( )xl Xexl *x=x的左逆元左可逆的( xr)( )xr Xex*xr =x的右逆元右可逆的x是左可逆的x是右可逆的x是可逆的第一百一十八张，PPT共一百三

38、十八页，创作于2022年6月定理* :X中的二元运算*运算存在幺元e*运算可结合元素xX是可逆的x l = x r =x-1x的逆元x-1若存在则必唯一第一百一十九张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明(1)左逆元等于右逆元xl*x*xr*是可结合的=(xl*x)*xrxl*x=e=e*xr=xrxl*x*xr*是可结合的=xl*(x*xr)x*xr=e =xl*e=xlxl=xr第一百二十张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月证明(2)xl=xr=x-1唯一幺元e的逆元是其本身，零元不可逆假设x1-1和x2-1是x的两个逆元x1-1 x2-1x1-1 = x1-1 *ex2-1是x的逆元= x1-1 * (x* x2-1)*是可结合的=( x1-1 *x)*x2-1x1-1是x的逆元=e *x2-1=x2-1第一百二十一张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月举例(1)实数集合R上的加法运算：求每个实数的逆元(2)实数集合R上的乘法运算：求每个实数的逆元第一百二十二张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月解答实数集合R上的加法运算无零元e=0 x+(-x)=0=ex-1 =-x实数集合R上的乘运算e=10 x 1/x=1=ex-1 =1/xx0第一百二十三张，PPT共一百三十八页，创作于2022年6月4、等幂元x*x幺元和零元都是等幂元