第7抽样率数字信号处理

1、数字信号处理Digital Signal Prosing第 7 章多抽样率数字信号处理，浙江大学信息与电子工程学系1法：y(n)fsf y回到模拟域进行抽样率变换 另法：在数字域对x(n)做抽样率变换抽取(Decimation)插值(olation)有理数抽样2DSP2A/DD/ADSP1A/D数字信号处理Digital Signal ProsingCh7.2 整数D的抽取，浙江大学信息与电子工程学系3每连续D个抽样点中取出一个（抽取因子D为整数）这叫做整数D的抽取(Decimation) 。 x(n) xd(n) 4整数D的抽取将降低抽样率，也称为降抽样或下采样(Down-Sling)一、从

2、连续时域改变抽样率的分析原抽样频率fs，即抽样间隔T，Ch2式(2.94)讲到：降低抽样频率为fs= fs /D，即抽样间隔T=DT：D过大，抽样频率过低会产生混叠失真5X (ei )| X ( j) 1X ( j j 2 k )dT aT aT k 1 X ( j 2 k )DTaDTk X (ei ) | X ( j) 1 X ( j j 2 k ) 1 X ( j 2 k ) TTaTTaTk k 二、直接在序列域用整数D的抽取1. 抽取器的时域、频域分析x(n)x(n)抽样率fs，xd(n)抽样率fs/D设一个中间序列：01 2 369nx(n), n 0, D, 2Dxp (n)xp

3、 (n) 0,otherxp (n) x(n) p(n) x(n) (n iD)i.e.01 2 369nix (n)p(n) (n iD)d其中抽样序列：i xd (n) xp (Dn) x(Dn)01 2 3n6xd (n) x(Dn) njjX(e)x (n)eddn xn(Dn)e jnp j mxp (m)eDm为D整数倍jm D xm(m)epj D ) X p (e7X (e j ) x(n) p(n)e jnpn因为p(n)为周期D的周期序列，有DFS对所以有：8D1 nk 1 j 2 X (e j ) x(n)(eD)e j npn D k 0D1 j ( k )n 1 2x

4、(n)eDD k 0 n 1 D1j ( 2 i )令k iX (eD)D i0D1 j 2 nk：P(k ) p(n)eD 1n01 D1j 2 nk1 D1j 2 nkp(n) P(k )e De DD k 0D k 02 iX (e j )的先移位整数倍相加再D倍扩张，将Dor, 先D倍扩张，再移位2i 相加；然后幅度为1/D。X (e j ) 0,| | , i.e. 当HDDj D1,| | X (e j ) X (e)则dDi.e. 不存在混叠91 D1j 2 iX (e j ) X (eD)dDi0抽取器的框图表示：xd (n)x(n)fsfs fs/ D10D2. 加防混叠滤波

5、器后抽取器的时域、频域分析由抽样定理： 2fh fs，不会产生混叠失真按D抽取，即fs = fs/D 要不产生混叠，则要求2fh fs即fh fs/2D H 2/2D = /D所以，为避免D抽取不发生混叠失真，则在x(n)抽取之前加入防混叠的LPF：111, H (e j ) D 0,otherxd (n)x(n)fsfs fs / Dfsj 2 i Dj 2 i Dj 2 i DD1D11D1D X (e X (ei0(e j) ) X)H (e)dei012DH (e j )xe (n)【例7.1】p371的最后一段描述的修正：采用D=5抽取，如果不加防混叠滤波器，则X(ej)：只有(-3

6、/20, 3/20)内频谱无失真。如果只是这些频谱有用，则可不加抗混叠滤波器。13数字信号处理Digital Signal ProsingCh7.3 整数I的插值，浙江大学信息与电子工程学系14xa(nT)=x(n)代表xa(t)全部信息所以，由x(n)到 Ifs 抽样的xI(n)15整数I的插值将提高抽样率，也称为升抽样或上采样(Up-Sling)1. 序列域的时域上：零值插值器在x(n)每相邻点间(I-1)个零值点，得到xe(n)xe (n)Ifsx(n)fs16x( n ),x (n) Ie0,otherInx (n) x( I ),e0,other17X (e j ) x (n)e j

7、n eenx (n)e jnen I的整数倍x( n )e jn n I的整数倍Imn x(m)e jmIIm X (e jI )2. LPF在频域上滤除镜像频谱xI (n)x(n)fsX e j IfIfss122I倍压缩X (e j )e1 2 2 4 2 43233333jw HI (e)I 33 22j XI (e)LPF在时域上进行内插(也就是平滑操作olation)I 2 4 2 2 423333 3318I , H (e j ) II 0,otherhI (n)Ixe (n)数字信号处理Digital Signal ProsingCh7.4有理数I/D抽样率变换，浙江大学信息与电

8、子工程学系19 xI (n) xID (n)Ix(n)hI(n)hD(n)IDffIfsfIDssD插值抽取将插值低通平滑滤波器hI(n)与抽取防混叠滤波器hD(n)合并为h(n)x(n)fs x1 (n) x2 (n) xID (n)IfsIfsIDfIDfs20I ,| | min( , )H (e j ) 近 H(e j ) IDID0,otherDh(n)I先I插值再做D抽取Note：I/D1(即I D)时，转换后的抽样频率大于原抽样频率，不会造成信号的信息损失；I/D1 (即ID)时，转换后的抽样频率小于原抽样频率，原信号的部分高频(靠近附近， | )信息可能会损失。、|X(ej)|

9、的幅度是|X (ej)|幅度的ID21数字信号处理Digital Signal ProsingCh7.5 多抽样率系统的高效实现，浙江大学信息与电子工程学系22一、FIR直接高效结构1. 抽取系统的FIR直接高效结构线性系统非移不变系统xd (n)fsx(n)fsfsD在fs抽样率下工作，后续抽取每D个值只需一个值，浪费乘法运算23Dh(n)h(n)为防混叠低通滤波器，采用N-1阶FIR滤波器：H (z) h(n)zn n 0h(n)采用直接I型结构：N 1xd(n)x(n)xd(n)x(n)h(0)h(0)Dz1z1z1z1h(1)h(1)h(2)h(2)高效流图z1z1h(N-2)h(N-

10、2)z1h(N-1)z1h(N-1)直接I型乘法运算速率为原来的1/D24DDDDD2. 插值系统的FIR直接高效结构xI (n)Ifsx(n)fsIfsh(n)平滑内插LPF，也采用N阶FIR，直接II型结构：h(0)x(n)xI(n)x(n)xI(n)h(0)z1z1z1h(1)h(1)1zh(2)h(2)高效流图1zz1z1h(N-2)h(N-2)z1h(N-1)h(N-1)直接II型25IIIIIIh(n)I3. 抽取和插值系统的线性相位FIR直接高效结构 N为奇数，h(n)偶对称，D抽取-1z1-1z1x(n)-1z1p305图5.70线性相位 FIR的流图h(N-3/2)h(0)h

11、(1)h(2)z -1z -1z -1111y(n)h(N-1/2)Dx(n)-1z1-1z1-1z1高效流图DDDDDDDDh(0)h(1)h(2)h(N-3/2)z -1z -1z -1111y(n)Dh(N-1/2)26N为奇数，h(n)偶对称，I 插值p305图5.70进行转置p385图7.27有误高效流图27直接型高效结构：降低滤波器相乘运算的速率二、FIR多相高效结构1. 网络级联恒等变换（1）D倍抽取X (e j )Y (e j )(a)x (n)x(n)2fff s DssX (e j )Y (e j )(b)x(n)x (n)1fsDfsDfs28HD (z)y(n)DX (

12、e j )1Dy (n)H(z D ) DX (e j )2X (e j )Y (e j )(b)x(n)x (n)1fsDfsDfs对于(b)框图，有：Y (e j ) H (e j ) X (e j )D1291 D1j 2 iX (e j ) X (eD)1D i0HD (z)y(n)DX (e j )1X (e j )Y (e j )(a)x (n)x(n)2fff s DssjjDjX 2 (e) HD (e) X (e)对于(a)框图，有j 2 i DD11D 1 D1D X (eY (e j ) )2i0jD 2 iDj 2 i DD1 HD (e) X (e)i0j 2 i D

13、D1 H(e j ) X (e)Di0j 2 i DD11D X (e H(e j )D0ijj HD (e) X1(e) Y (e j )30Dy (n)H(z D ) DX (e j )2X (e j )Y (e j )(a)x (n)x(n)2fff s DssX (e j )Y (e j )(b)x(n)x (n)1fsDfsDfs因此，(a)、(b)图等价31i.e.如果D倍抽取器前级联的某子系统的系统函数能表达成H(ZD)形式，则该子系统可以和D倍抽取器次序互换，互换后子系统的系统函数为H(Z)形式，从而降低子系统的运算速率要求。HD (z)y(n)DX (e j )1Dy (n)

14、H(z D ) DX (e j )2（2）I倍插值X (e j )Y (e j )(a)x(n)fsIfsIfsX (e j )Y (e j )(b)x(n)fsfsjjjX1(e) X (e)HI (e)Y (e j ) X (e jI ) X (e jI )H (e jI )1IjjIX 2 (e) X (e)Y (e j ) X (e j )H (e jI )2I X (e jI )H (e jI )I Y (e j )Ifs对于(b)框图，有对于(a)框图，有32Iy(n)HI (z)X (e j )1x1 (n)H (z I )Iy (n)IX (e j )2x2 (n)X (e j

15、 )Y (e j )(a)x(n)fsIfsIfsX (e j )Y (e j )(b)x(n)fsfs所以，(a)、(b)图等价Ifs33i.e.如果I倍插值器后级联的某子系统的系统函数能表达成H(ZI)形式，则该子系统可以和I倍插值器次序互换，互换后子系统的系统函数为H(Z)形式，从而降低子系统的运算速率要求。Iy(n)HI (z)X (e j )1x1 (n)H (z I )Iy (n)IX (e j )2x2 (n)2. 多相分解把系数按不同相位进行分组表示。对FIR，设N=M*LN 1H (z) h(n)znn 0L 1L 1L 1 h(i)zi h(L i)z(Li) h(2L i

16、)z(2Li) 系数L个一段，共M段i 0i 0i 0L 1 h(M 1)L iz(M 1)Lii 0L 1L 1L 1 h(i)zi zL h(L i)zi z2L h(2L i)zii 0i 0i 0L 1 z(M 1)L h(M 1)L izii 0M 1L 1 z jL h( jL i)zij 0i 0L 1M 1 zi z jLh( jL i)i 0j 0系数分成L组，每组M个(组内系数间隔L)L 1M 1 zi h( jL i)(z L ) j 34i 0j 0M 1j 0L jE (z ) h( jL Li)(z )令i所以：L 1 LijH (e) jjE (e)eii 0因此

17、，Ei(ZL)称为多相分量35L 1H (z) E (z L )ziii 0L 1M 1H (z) zi h( jL i)(z L ) j i 0j 03. FIR多相高效结构（1） D倍抽取系统多相分解X (z)Y (z)DE (z D )0z1z1E (z D )1N M DE (z D )2M 1D jE (z) h( jD i)(z)Diz1j 0i 0,1,., D 1E(z D )D 1主体结构：直接I型有D个子系统每个子系统有M个系数36M 1E (z) h( jD i)(z)D jDX (z)Y (z)iDE (z D )j 00z1z1i 0,1,., D 1DE (z D

18、)1E (z D )D2z1DE(z D )D 1多相高效结构X (z)Y (z)DE (z)0z1z1DE1 (z)M 1jE (z) h( jD i)zDE (z)i2j 0z1i 0,1,., D 1DED 1 (z)37【例7.3】 多相高效结构：Y (z)y(n)z1X (z)x(n)h(0)4h(4)z1h(8)h(1)4h(5)z1z1h(9)h(2)4h(6)z1h(10)h(3)4h(7)h(n)运算速率降为1/Dh(11)38需延时器：(D-1)+(M-1)=D+M-2（2） I倍插值系统多相分解Y (z)E (z I )0z1z1E (z I )1E (z I )2z1N M IIEI 1 (z )M 1E (z I ) h( jI i)(z I ) j主体结构：直接II型ij 0i 0,1,., I 1有I个子系统每个子系统有M个系数39X (z)IM 1E (z ) i)(z )I jIh( jIX (z)iY (z)IE (z I )j 00i 0,1,., I 1z1z1E (z I )I1E (z I )I2z1E(z I )II 1多相高效结构X (z)Y (z)IE (z)0z1z1E1 (z)IM 1E (z) h( jI i)z