电磁场数值计算1西安交通大学电气工程学院

1、电磁场数值计算之1西安交通大学电气工程学院电磁场数值计算之1西安交通大学电气工程学院16/16电磁场数值计算之1西安交通大学电气工程学院第一章电磁场基本观点11Maxwell方程组（一）maxwell方程微分形式全电流定律DJt电磁感觉定律EBt高斯定律D磁通连续性原理B0电流连续性方程Jt积分形式DHdlJds（1-1）LStEdlB（1-2）SdsLtDdsVdv（1-3）SBds0(1-4)SJdsVdv（1-5）St说明：1、四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；积分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作为稳态场计算）；梯度、散度、旋度的观点（描绘“点”上电

2、磁场的性质）。2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其余两个方程能够由此推出。但独立方程有6个变量（B、H、E、D、J、），因此，方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式，关于简单媒质，本构方程为DEBHJE(1-6)3、材料性质材料是平均的cons，tconst，const材料是非平均：x,y,z，x,y,z，x,y,z材料是各向异性：材料参数用张量形式表示，材料为非线性：材料参数是未知函数的函数E，B，EdDdBdJ（1-7）dEdHdE14、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转变为标量方程才能求解，其他，在边界上不易写出场量边界条件，因此，常

3、化为位函数的定解问题（位函数容易确定边界条件），经过位函数与场量的关系EBAH得出席量。mAE（1-8）t12偏微分方程的基本观点1.2.1偏微分方程的基本观点微分方程分为常微分方程和偏微分方程（又分为描绘不同物理现象的椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程及其线性和非线性方程），电磁场问题多为偏微分方程问题。1、常微分方程未知函数是一元函数（即一个变量的函数）的微分方程（组）。如R、L、C串联电路是两阶常系数非齐次微分方程，d2ucRCducucus（1-9）CL2tdtd关于一个n阶场微分方程，平时可将其分解为有n个随意常数的通解形式，根据初始条件解出常数。2、偏微分方程未知函数是多元函数的微

4、分方程，如uux,y,t。又分为线性和非线性偏微分方程，除了极有限的问题能够用分别变量法求解外，多半问题难以用解析表达式表示。（1）线性偏微分方程设uux,y，ppu,u,u（如：ux,y,Ex,Ey，xyxy如：uAx,y,A,ABx），则Byyx2ub2u2uf0（1-10）a2xyc2xy2fx,y,pdueurusxy中，如果a,b,c,d,e,r,s与p无关，只是x,y的函数，则称式(1-10)为线性微分方程。（2）非线性微分方程a,b,c,d,e,r,s,f中只需有一项不知足上述条件，或未知函数及其偏导数是非线性的微分方程，则都称为非线性微分方程。如恒定磁场中的定解问题1A1A1A

5、xxyyzJzA如：在电磁场中，若c，或媒质不平均时x,y,z，均为线性方程。若B，或A，则为非线性方程。1.2.2偏微分方程的分类宏观电磁场都是二阶微分方程，下面以二阶电磁场偏微分方程为例，看偏微分方程的不同种类所反应的物理现象。以二元函数为例，uux,y，y能够是时间变量t，那么偏微分方程的普遍形式为2ub2u2uf0ueua2xyc2fx,y,pdrusxyxy最高阶项称为主部，主部决定着公式所代表的物理特性：b222，ac1，bac0椭圆型方程，如y20 x2b222，ac1，bac0双曲型方程，如2y200 xb220，a1，bcac0抛物型方程，如2t0 x1、椭圆型方程222如泊

6、松方程、拉普拉斯方程2y2z2x3（与椭圆方程x2y2z21形象比较）a2b2c2特点：所有二阶偏导数的系数同符号，描绘的物理现象：描绘平衡、定常的稳定状态，因此方程与时间无关，定解条件中只有边界条件，没有初始条件。如重力场、静电场、恒定电场、恒定磁场、稳定温度散布过程。2、双曲型方程如波动方程2222u0无损耗，无激励源x2y2z2t2（与双曲型方程x2y2z21形象比较）a2b2c2特点：对时间的偏导数系数与对空间偏导数的系数相差一负号。描绘波的流传过程，它拥有对时间可逆的性质（用（-t）代入方程后，方程不变）如：弦振动、膜振动、声波、电磁波。3、抛物型方程如，热传导方程ua2u2u2uf

7、xyzttx2y2z2,扩散率或导温系数涡流方程2HH，2EE，2JJttt（与双曲型方程x2y2形象比较）z2b2a特点：对时间变量的二阶导数为零。描绘各样场的扩散过程，它拥有对时间不可逆的性质。1.2.3定解问题1、初值问题只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁波流传问题等。2、边值问题只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场4等问题。3、混淆问题既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设施中的瞬态电磁场问题等。4、解的稳定性问题如果定解条件的微小变化只惹起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定的。反之

8、称为不稳定解。（第1次课）13电磁场中的定解问题定解问题=泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件）下面先介绍各样场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。1.3.1静态、稳态电磁场中的泛定方程1、静电场方程静电场的基本方程D,E0泊松方程三维方程xyyzzx若是平均、各向同性介质，上式为2椭圆型方程静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。2、稳态电流场问题稳态（直流）电流场知足的基本方程：J0,E0E说明在导电媒质中，电流不会自成闭合回路（从电源正极出发到电源负极终止），电位知足拉普拉斯方程0椭圆型方程若是平均、线性、各向同性介质，上式为205产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。3、稳态磁场稳态

9、（直流）电流产生的磁场知足的基本方程HJ,B0,BH（1）标量磁位的泊松方程当求解地区内J0，那么H0，必然存在一个标量函数，使得Hm根据B0,BH，上式为拉普拉斯方程m0椭圆型方程上述方程只能用于J0的单连通域（见雷银照教材），因此应用的限制性较小。当磁场所区内存在铁磁质时，展开后为非线性方程为：mmm0 xxyyzz若为线性，则为拉普拉斯方程：2若已知磁化强度M，那么m0B0HM0mM代入B0，获得2m此时，媒质的磁导率为0。（2）矢量磁位的泊松方程M根据HJ,B0,BA，有双旋度方程1AJ取库伦规范A0，及矢量恒等式AAA，得61AJ矢量泊松方程1A1A1AxxyyzJz若为线性、平均媒

10、质2AJ若存在铁磁质，可将其作用等效为磁化电流的作用，它与磁化强度的关系为MJm磁矢位A的方程能够写为真空中的泊松方程2A0JJm1.3.2交变电磁场中的泛定方程时变场中t0，（下面分段没有绝对的分界限）迟缓变化(f10KHz)迅速变化准静态场准静态场电磁波MQS：HJ,B0,EB,D0HJD,B0D,ttEQS：HJB0,E0,D0EB,D0ttMQS场求解时，磁场能够用稳态磁场的方法求解，然后用上述公式求电场；EQS场求解时，电场能够用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。1、扩散方程（抛物型方程）忽略位移电流，MQS场的方程为HJ,B0,EB,D0t由此获得的扩散方程为（对第一式再取旋

11、度）非线性介质1AAJ，0tt线性介质2AAJ，20tt若为正弦交变场，扩散方程为2AjAJ，2j07涡流损耗是惹起导体发热的主要原因。2、波动方程（双曲型方程）一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中流传电磁波，高频下的涡流损耗及磁滞损耗很大，电磁波很快衰减，能量不可能传达很远。因此，场量的波动方程2HH2H0tt22EE2E0tt2取洛伦兹规范A，则位函数知足的波动方程t2AA2AJtt222tt21.3.3定解条件1、初始条件（柯西问题）在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式扩散方程初始条件：ux,y,z,ttt0f1x,y,z,t0波动方程初始条件：ux,y,z,ttt0

12、f1x,y,z,t0tux,y,z,tf2x,y,z,t0tt0如：初始的速度、电流、电压等。2、边界条件（1）第一类边界条件（Dirichlet狄利赫里条件）ux,y,z,tg1x,y,z,t强加边界条件1例1铁磁体的磁场和电容器的电场（二维）8图1-1第一类边界条件（a）磁场问题；（b）静电问题在距离磁体足够远的地方，设磁力线平行于边界，因此能够假定A0。在距离电容器足够远的地方，设等位线平行于边界，能够假定0。重点问题是第一类边界条件取得多远，才能保证计算精度。例2电机的磁场图1-2（a）、（b）：需要考虑定子外的漏磁，因此，第一类边界条件取在大于定子外径20%之处，磁力线于边界平行，能

13、够设A=0。图1-2（c）、（d）：如果定子深度饱和，漏磁很小，能够忽略，可将第一类边界条件取在定子外径，减少计算量。图1-2（e）、（f）：如果要解析远场，第一类边界条件能够取在大于定子外径56倍之处，如图（e）所示。或许用开于边界条件，如Kelvin-transformation边界（后边介绍），边界能够小一些，如图（f）所示。(a)(b)9(c)(d)(e)(f)图1-2电机的磁场计算（第一类边界条件）（第二次课）（2）第二、三类边界条件（Neumann聂以曼条件）ux,y,z,tg2x,y,z,t自然边界条件n2uq3(x,y,z,t)自然边界条件un3（先复习平行平面场、轴对称场及两

14、种场的等A线方程，球对称场）已知边界上的法向导数，代表着几种物理意义：已知边界上的激励源：面电荷散布或面电流散布已知面电荷散布Dng2Enn2222已知面电流散布HtK,BtHt以平行平面场为例：AAz,KKz10如：面电流在边界XOZ平面上，Ht沿x方向，计算场域在y0地区，y0区域场为零（如电流方向相反的一对平行平板电流）（BxAz,ByAz）yx那么BtBxKz则BxAzKz第二类非齐次边界条件y如果面电流在YOZ平面，电流方向不变，Ht沿y方向，计算场域在x0地区那么BtByKz则ByAzKz第二类非齐次边界条件x已知边界为场散布的对称线（面）m0，An0第二类齐次边界条件，自然边界条

15、件n（提问1：磁场对称问题。若平行平面场中，对称线上磁力线与其平行，是哪一类边界条件？（对A而言，由于磁力线为等A线，所以是第一类边界条件，能够设为参照位。对m而言，是第二类边界条件，Bnm0，在Ansoftn中称为偶对称）。垂直呢？（如由于磁力线垂直于对称线，即其切线分量等于零，A0，所以是第二类齐次边界条件，如例3。对m而言，是第一类边界所以n条件，mc。在Ansoft中称为奇对称）。轴对称场中磁场沿轴对称？（如螺线管，磁力线垂直于对称线，所以AA0。如磁力线平行于对称线，则rAc，是第一类边界条件）。nz提问2：电场对称问题。若对称线上电力线与其平行，是哪一类边界条件（齐次序二类边界条件

16、）？垂直呢（第一类，能够设为参照位）？如例4例3如图1-3所示，对称线上磁力线与对称边界垂直，即对称线上只有法向分量根据BA，且二维场中AAzez，则有11BBxexByeyAzexAzeyyx由于Bx0，所以，在对称边界上AzAz0图1-3齐次序二类边界条件n例4如图1-4（）所示，对称线上电力线与之平行，即只有切向分量，等位线与之垂直，根据E-EexeyExexEyeyxy由于Ex0，所以，在对称边界上0。还可进一步简化，再利用xn另一对称边界，如图1-4()所示，电力线与之垂直。在100V电压之间的0V等位线能够作为第一类边界条件。这样只需计算四分之一地区，计算量大大减少。(a)(b)图

17、1-4对称线边界条件例5计算E型、U型电磁铁的磁场散布（近似为二维场，AAz,JJz）两种模型无限远处的磁感觉强度为零，取计算场域足够大时，能够认为模型的截断边界上磁感觉强度为零，所以能够取A=0。关于E型电磁铁，对称轴为y轴，磁力线与y轴重合，是等磁位线。且电磁铁左右两部分中的电流方向相反，两边A值相等，符号相反，故y轴上的A=0，是第一类边界条件。12yy1211BBOxOx图1-5E型、U型电磁铁关于U型电磁铁，对称轴为y轴，但磁力线与y轴垂直，即y轴与等A线垂直（平行平面场中B线就是等A线），因此在y轴上A0，在有限元法中，n这类边界节点不需要办理，按内部节点对待（Ansys中是默认值

18、）。如果这两种电磁铁的构造还拥有上下对称的特点，那么，B线与x轴垂直，Bx0，在x轴上知足第二类齐次边界条件AAn0。y例6：U型电磁铁如图1-7所示（三维），只需计算四分之一区间，即x0,y0，区间（第一象限），三维边界条件分为（三个分量都应有表达式）1、无限远边界条件无限远处B0，所以取三个截断边界面上：AxAyAz02、Hen0边界条件（也能够是,0的边界）U型磁铁对x0平面呈对称，即在边界面yoz上，只有磁场垂直于分界面，即只有Bx分量，故Ax=0，且ByBz0，根据BA，展开AzAyAxAzBzAyAx（1）BxzByxxyyz所以Ax0,AyAz00,xx第一式按强加边界办理，后两

19、式是自然边界条件，且为齐次，不需要特意办理。13图1-7U型电磁铁边界条件2、Ben0边界条件（也能够是的边界）磁场强度H平行于边界面xoz（By0），根据A与B的正交关系，所以在该平面上Ax0,Az0,而Ay0。但因为Bx0,Bz0，无法从A的旋度中写出Ay分量的边界条件（只有ByAxAz0是已知的，而AxAz0。zx反之，如果Ax0,或Az0,则By0），所以，考虑A的散度，稳态场取库伦规范，即AxAyAz0 xyz由于在边界面xoz上，Ax、Az分量处处为零，因此其偏导数也为零，也是齐次序二类边界条件，最终边界条件为Ax0,Ay0,Az0y14第一、三式是第一类边界条件，第二式是齐次序二类边界条件，不需特意办理。例7用三维静磁磁矢位有限元法对CJ20-2