线性代数第一次讨论课答案

1、第 1 次课内容一元多项式的整除性与因式分解线性子空间教学要求熟练掌握带余除法求商式和余式;掌握代数基本定理、根与系数的关系及复数域和实数域上的因式分解;理解并掌握线性空间、子空间的概念，会判断集合对给定运算是否个线性空间、子空间；掌握子空间的交、和与直和等概念；会用直和中元素的表示式及维数定理的证明方法证明一些问题.一Exercise 1 设 a, b, c 是三个不同的数，用 x a, x b, x c 除一元多项式 f (x) 的余式依次为 r, s, t，试求用 g(x) = (x a)(x b)(x c) 除 f (x) 的余式。解： 设 f (x) = q(x)g(x) + r(x

2、)，则可设 r(x) = a2x2 + a1x + a0，由 于 g(x) 是 三 次 多 项 式 ，故，r(x) 不超过二次。由于 g(a) = g(b) = g(c) = 0。则 r(a) = f (a) = r，r(b) = f (b) = s，r(c) = f (c) = t。故有如下方程组： 111a2 b2 c2ab ca0a1 a2rs t = 容易通过这个方程组解出 a0, a1, a2 的值，从而得到 r(x)。Exercise 2 求 p, q, r 之间的关系，使得 x3 + px2 + qx + r 的根成等比数列。解： 设 x3 + px2 + qx + r 的三个根

3、分别为 x0 , x0, ax0，则有 x3 + px2 +ax0qx + r = (x )(x x )(ax )。x a00将右式展开，便有：xp = (+ x + ax )0a002xq =+ x + ax022a00r = 3x0由此，便有 ( q )3 = r。pExercise 3 如果任意多项式或者与多项式 p(x) 互素，或者能被 p(x) 整除，试证明 p(x) 不可约。1证明： 用反证法。假设 p(x) 可约，则不妨设 p(x) = p1(x)p2(x)，其中，deg pi(x) deg p(x),i = 1, 2。从而 p1(x) 既不与 p(x) 互素，又不能被 p(x)

4、 整除。故，p(x) 不可约。证毕。！Exercise 4 集合 Rn = (a1, a2, . . . , an)T |ai R 关于矩阵的加法和数乘是否是否有理数域上的线性空间？复数域上的线性空间？解： (1) 显然，Rn 关于矩阵的加法和数乘，间。有理数域上的线性空由于 Rn 对于实数域线性空间，而有理数域包含于实数域，因此其对于有理数域必空间。线性(2) Rn 关于矩阵的加法和数乘，不复数域上的线性空间。显然对矩阵的加法成 Abel 群，但对于定义在复数域上的数乘不封Rn闭。例如，a Rn， = i C，但 a / Rn。Exercise 5 如果向量 不在子空间 S 中，但是在向量

5、和 S 生成的子空间中，试证明 必在 和 S 生成的子空间中。证明： 设向量 和 S 生成的子空间是 L(, S)，则已知 / S 但 L(, S)，故可以设 = k + ，其中， S，且可知 k 6= 0。若 k = 0，推出 S，。11因此， = L()。证毕。, SkkExercise 6 设 W, W1, W2 都是线性空间 V 的子空间，其中 W1 W2，且 W W1 = W W2，W + W1 = W + W2。试证明 W1 = W2。证明 1： 只需证 W2 W1，即证： W2 都有 W1。已知 W +W1 = W +W2，则可知存在 W1, W ，使得 = +。又已知 W1 W

6、2，故 W2。从而，有 = W W2。再由已知 W W1 = W W2 得 W W1 W1，从而 W1。所以，W1 = W2。证毕。证明 2： 根据维数定理，W + W1 = W + W2W W1 = W W2此证明方法只适用于有限维情况。? dim W1 = dim W2。不妨设dim W1 = r，1, 2, . . . , r 是 W1 的一组基。那么，1, 2, . . . , r在 V 中线性无关。由 W1 W2，有 1, 2, . . . , r W2。又由于dim W2 = r 以及1, 2, . . . , r 在 V 中线性无关，那么1, 2, . . . , r也是 W2

7、的一组基。故对于 W2， 可表示为 1, 2, . . . , r 的线性组合，从而 W1。所以，W1 = W2。证毕。Exercise 7 设 W1, W2 是数域 F 上 V 的两个子空间，, V，其中 W2 但 / W1，又 / W2，证明：(1) k F， + k / W2；(2) 至多有一个 k F，使得 + k W1。2证明： (1) 用反证法。假设存在一个 k F，使得+k W2，设 = +k，则由, W2有 = k W2。故 k F， + k / W2。证毕。(2) 用反证法。假设存在 k1, k2 F 且 k1 6= k2，使得 + ki W1, i = 1, 2。则 +k1

8、 ( + k2) = (k1 k2) W1，于是 W1。因此，至多有一个 k F，使得 + k W1。证毕。Exercise 8 设 S 和 T 都是 R3 的子空间，其中 S 是形如 (0, x2, x3)T的向量的，T = L(1, 2, 0)T , (3, 1, 2)T )，试求 S T 和 S + T，并求它们的维数。解： 由已知易见 S = L(0, 1, 0)T , (0, 0, 1)T )。可以算出：1 3 0?2 1 0= 0?6?0 2 1?于是有 S + T = R3，即 dim(S + T) = 3。1312 S T，由于 T，可设 = k1 2 + k2 。0又由于 S

9、，便有 k1 + 3k2 = 0。0 = k。5通过计算，2从而，S T = L(0, 5, 2)T )。Exercise 9 设 1 = 3x2 + 1，2 = x 1，试求 F3x 的两个子空间 W1和 W2，使得 F3x = W1 L(1, 2)，且 F3x = W2 + L(1, 2) 但不是直和。试：满足条件的 W1 和 W2 是否唯一？试将本命题在 R3 中重新描述，并给出几何解释。解：(1) 显然 L(1, 2) 的维数是 2，故 W1 的维数是 1。从而 W1 应由一个不为 0 的多项式 g(x) 生成，且 g(x) / L(1, 2)。可以取 g1(x) = 1 或 g2(x

10、) = 3x2 + x + 1， 其均不属于 L(1, 2)。知 L(g1(x) 6= L(g2(x)，但 L(g1(x) L(1, 2) = L(g2(x) L(1, 2) =F3x，所以满足条件的 W1 不唯一。对于 W2，显然其维数应为 2 或 3，故 W2 可取 F3x，也可取 L(g1(x), 2)。故取法不唯一。(2) 命题在 R3 中的重新描述如下：1 = (3, 0, 1)T ，2 = (0, 1, 1)T ，试求 R3 中的两个子空间 W1 和 W2，使得 R3 = W1 L(1, 2)，且 R3 = W2 + L(1, 2) 但不是直和。几何解释如下：3W1 为 1 维子空

11、间，由不属于 L(1, 2) 平面的某向量生成。W2 为 2 维或 3 维子空间。当 W2 为 2 维子空间时，其为不与 L(1, 2)重合的平面。当 W2 为 3 维子空间时，其为 R3。注：性空间中，任意子空间均含有 0，故此时不存在平行平面的情况。= L ? , ?，求 M2(F) 的一个子32110514Exercise 10 设 W空间 W 0，使得 W W 0 = M2(F)。解： 知 M2(F) 同构于 R4。故只需找到两个线性无关的向量， 使之与 1 = (3, 1, 2, 1)T , 2 = (0, 1, 5, 4)TR4 的一组基即可。法一：观察法。直接观察得到 (0, 0, 1, 0)T 和 (0, 0, 0, 1)T 。则W 0 = L ? , ?01000001法二：取与1, 2 正交的两个向量3 = (x3, x3, x3, x3)T , 4 = (x4, x4, x4,