大数定律与中心极限定理

1、 第五章 5.1 大数定律5.2 中心极限定理大数定律与中心极限定理第五章（3学时）概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才能呈现出来，也就说，要从随机现象中去寻求必然规律，需要研究大量随机现象。大数定律：研究大量的r.v.的算数平均值在什么条件和意义下接近于它们的期望的算数平均值？中心极限定理：研究在什么条件，大量的r.v.之和的概率分布近似于正态分布？大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。5.1 大数定律 第十六讲 例1.在投币试验中，我们说在

2、相同条件下重复n次，表示正面出现的次数，那么大量试验后有例2.在n重贝努利试验中，用 表示在第i 次试验中A出现的次数，当n充分大时， A发生的频率是否接近于A在每次试验中发生的概率p 呢？例3.对一列r.v.当n无限增大时，定义1：设 是一列随机变量，若存在常依概率收敛于a，记为数a 使得任意 有则称或定理1（切比雪夫不等式）设随机变量X 有期望成立，则称此式为切比雪夫不等式。对任意不等式方差证明: 设X为连续型随机变量（离散型可类似证明），其概率密度为说明： 切比雪夫不等式描述了期望和方差的关系，并给出了方差的概率含义，即反映了r.v.取值落在的概率大小。当DX变小, 变大即说明了方差反映

3、了r.v.X 取值偏离均值的波动程度. 使用注意：分布未知但期望和方差已知，可以用切比雪夫不等式来估计X落在 的概率。 使用切比雪夫不等式，需计算EX, DX，找到一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7，求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。解: 设X 为同时开的灯数，则从而有根据切比雪夫不等式得例1几个常见的大数定律定理2（切比雪夫大数定律）设X1, X2, 是一列相互独立的随机变量序列，且则对任意的有切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述.数学期望E(Xi)=, i=1, 2,，则对任给 0 ，（辛钦大数定律）设随机变量序列X1, X2, 独立同分布，具有相同的 辛钦

4、大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。定理3下面给出的大数定律，要求独立同分布，但不要求随机变量的方差存在。A发生的概率，则对任给的0，有定理4（贝努里大数定律）或设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大说明：贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分的偏差概率很小。 下面给出的贝努里大数定律，是定理3的一种特例.设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p 是事件A发生的概率，引入i=1, 2, n；第i 次试验A发生；第i 次试验A不发生.则 表示事件A发生的频率。贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.n 较大时可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.例如：要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，设有n块，可计算其平均亩产量。当 大数定律以