《拓扑学》课程教学大纲

1、拓扑学课程教学大纲一、课程概况所属专业:数学与应用数学开课单位：数学计算机科学学院课程类型:院系选修课课程代码:07491240开课学期:5学分：3学时：51核心课程:否拟使用教材： 熊金城.点集拓扑学.高等教育出版社.2011.6.国内(外)现有教材：1. 梁基华, 蒋继光. 拓扑学基础. 高等教育出版社 2005.4.2. J.L. Kelly. 一般拓扑学. 吴从忻, 吴让泉译. 科学出版社 1982.学习参考资料：1. 尤承业. 基础拓扑学讲义. 北京师范大学出版社 1997.2. R. Engelking. General Topology. Springer-Verlag Inc.

2、 1984.二、课程描述拓扑学是研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)下保持不变的性质，即拓扑性质。目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应用。鉴于在中学数学的教学改革中已经渗入某些拓扑知识，因此无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要的。本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论， 注重培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力以及空间想象能力。在讲授此课程时，要注重本课程与相关课程（如数学分析等）之间的联系。课程的主要内容包括拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各种拓扑不变性质，如连通性、分

3、离性、紧致性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的可积、可遗传等性质。三、课程目标1. 学生应系统掌握点集拓扑的基本知识、基本思想与基本方法。 掌握点集拓扑的基本理论, 具备发现问题、提出问题和解决问题的能力。2. 通过本课程的学习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何学的内容，加深对这些课程内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要的基础。 3. 培养学生具有高度的抽象思维能力、逻辑思维能力以及空间想象能力。四、教学要求1. 本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。要求学生通过系统学习，掌握点集拓扑学的基本知识，进一步提高学生应用点集拓扑的推理方法

4、分析问题的能力。从集合论入手，拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等，为其他学科的研究与发展提供广泛的应用工具。2. 注重信息教学手段在教学中的应用，根据每节课的教学内容选择不同的教学手段，不能将课件应用停留在放映幻灯片，应体现课件教学的演示生动性，重实质与效果，而并非只是形式。3. 注意探究式、研究性教学方法的广泛应用。不仅将探究式、研究性学习的方式用于问题提出后的解决方案、途径、技巧的探寻，而且用于课程本身产生、发展的过程介绍，以及许多重要概念提出背景的还原。4. 适当开展一些让学生有充分准备后的讨论课，比如拓扑空间与度量空间的区别与联系，度量空间的开集、闭集与拓扑

5、空间中的开集、闭集的相同之处与不同之处，无限积空间的概念等。5. 作业每星期布置一次，强调写作业的目的不在于完成任务，而在于对知识的充分复习与深入理解，培养数学思维。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：出勤率占20%，平时作业占20%，折算后计入总成绩；期末考试占总成绩的60%。六、课程内容第一章：拓扑空间与连续映射（授课时间：第五学期第一周至第六周）教学目标：本章要求学生掌握集合的一些基本概念，要比较熟练的掌握集合与映射的运算。要求学生掌握拓扑空间的定义、几种典型的拓扑空间的例子，理解邻域、导集、闭集、闭包、内部、边界、基、子基以及拓扑空间中序列的极限等基本概念。

6、掌握连续映射的若干等价刻画。教学重点：拓扑空间与连续映射，邻域与邻域系，导集、闭集、闭包、内部， 基与子基，拓扑空间中序列的极限。教学难点：凝聚点，基与子基。学 时：课堂教学18学时。 教学方法：讲授法、演示法、启发法、探究法。主要内容：（1）朴素集合论（集合、关系、映射）；（2）度量空间的基本概念；（3） 拓扑空间与连续映射；（4）邻域、导集、闭集、闭包、内部，边界；（5） 拓扑空间的基和子基；（6）拓扑空间中的序列。学习方法：研读教材及相关文献，独立思考，小组讨论，做习题。课后作业：教材第10页练习题2；第18页练习题5；第23页练习题1、2；第54页练习题2、5；第62-63页练习题3、

7、7、10；第76页练习题1、2；第81页练习题6；第90页练习题3、5、6；第94-95页练习题1、3。第二章：子空间，有限积空间，商空间（授课时间：第五学期第七周至第八周）教学目标：本章介绍由已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的方法。 要求掌握拓扑空间及其子空间的内在联系与区别，掌握有限积拓扑空间及其若干拓扑性质，了解产生商空间的几何背景（莫比乌斯带、环面及克莱因瓶等）。教学重点：子空间，有限积空间。教学难点：拓扑空间及其子空间的内在联系与区别，有限积空间的构造。学 时：课堂教学6学时。 教学方法：讲授法、演示法、启发法、探究法。主要内容：（1）子空间；（2）有限积空间；（3）商空间（

8、简要介绍）。学习方法：研读教材及相关文献，独立思考，小组讨论，做习题。课后作业：教材第102-103页练习题2、4、6、8；第111页练习题4(1)(2)、5、6(1)。 第三章：连通性（授课时间：第五学期第九周至第十周）教学目标： 掌握拓扑空间的几种拓扑不变性质定义,包括拓扑不变性、在连续映射下保持不变的性质以及有限可积性质。 掌握连通空间的定义以及连通空间的若干性质，了解连通性的某些简单的应用（介值定理、不动点定理、Boruk-Ulam定理及其高维情形），能够用来区分一些互不同胚的空间。教学重点：连通空间。教学难点：隔离子集。学 时：课堂教学6学时。 教学方法：讲授法、启发法、探究法、发现

9、法。主要内容：（1）连通空间；（2）连通性的某些简单应用。学习方法：研读教材及相关文献，独立思考，小组讨论，做习题。课后作业：教材第128-129页练习题5、8、14。 第四章：有关可数性的公理（授课时间：第五学期第十一周至第十二周）教学目标：本章要求学生掌握第一和第二可数性公理的空间的概念及其若干拓扑性质，掌握可分空间的概念及其若干拓扑性质。教学重点：第一和第二可数性公理的空间，可分空间。教学难点：第一和第二可数性公理的空间与可分空间的内在联系。学 时：课堂教学6学时。 教学方法：讲授法、启发法、探究法。主要内容：（1）第一和第二可数性公理的空间；（2）可分空间。学习方法：研读教材及相关文献

10、，独立思考，小组讨论，做习题。课后作业：教材第155页练习题1、4；第159-160页练习题2、4、5第五章：分离性公理（授课时间：第五学期第十三周至第十四周）教学目标：本章要求学生掌握空间和正则、正规空间的概念以及这些拓扑空间之间的区别和联系， 特别注意其中一些反例的构造与选取。了解Urysohn引理和Tietze扩张定理的内容。教学重点：空间和正则、正规空间的概念。教学难点：拓扑空间中反例的构造。学 时：课堂教学6学时。 教学方法：讲授法、启发法、探究法。主要内容：（1）空间；（2）正则、正规空间，空间。学习方法：研读教材及相关文献，独立思考，小组讨论，做习题。课后作业：教材第170-171页练习题3、6、7、9、12；第175页练习题1。第六章：紧致性（授课时间：第五学期第十五周至第十七周）教学目标：掌握紧致空间概念及其等价刻画，掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法。掌握紧致性是否是由连续映射所保持的性质，是否是可遗传的、有限可积的。 掌握紧致空间中各分离性公理的关系。掌握n维欧氏空间中紧致子集的性质。 教学重点：紧致